【人教A版2019选择性必修第二册】高二数学同步教学课件5.3.1函数的单调性（第1课时）

第五章

一元函数的导数及应用人教A版2019选择性必修第二册·高二5.3导数在研究函数中的应用

5.3.1函数的单调性（第1课时）

章节导读导数概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用平均变化率瞬时速度导数的几何意义平均速度曲线的割线斜率、切线斜率基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值与最大（小）值学

习

目

标123结合实例，借助几何，直观了解函数的单调性与导数的关系，培养学生直观想象的核心素养能利用导数研究函数的单调性，培养学生逻辑推理的核心素养了解函数与其导函数图象之间的关系.新知导入

在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.判断函数单调性的方法有哪些呢?复合函数同增异减法函数单调性的判断方法定义法性质法图像法新知导入

在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.

能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢?本节我们就来讨论这个问题.我们先来研究前面学习过得高台跳水问题．新知探究情境图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=ￚ4.9t2+2.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=ￚ9.8t+2.8的图象.a=,b是函数h(t)的零点.thaOb(1)thaOb(2)新知探究问题1运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？thaOb(1)thaOb(2)观察图象可以发现:

(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h'(t)>0.

(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h'(t)<0.新知探究问题2我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系.那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢?thaOb(1)thaOb(2)对于高台跳水问题，可以发现:

当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)内单调递增；

当t∈(a,b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)内单调递减.追问

这种情况是否具有一般性呢？新知探究问题3

观察下面一些函数的图象，你能说明函数的单调性与导数的正负的关系吗？xyO(1)xyO(2)xyO(3)xyO(4)我们逐一的来说一说！新知探究xyOy＝xxyOy′＝1原函数导函数导函数符号与原函数的单调性关系y＝xy′＝1新知探究xyO

y＝x2xyOy′＝2x原函数导函数导函数符号与原函数的单调性关系新知探究xyOy＝x3xyOy′＝3x2原函数导函数导函数符号与原函数的单调性关系新知探究xyOxyO原函数导函数导函数符号与原函数的单调性关系新知探究追问

能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系？xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))

如图示，导数f

'(x0)表示函数y=f

(x)的图象在点(x0,f

(x0))处的切线的斜率，可以发现:在x=x0处f′(x0)>0函数y=f(x)的图象上升，在x=x0附近单调递增切线“左下右上”上升在x=x1处f′(x1)<0函数y=f(x)的图象下降，在x=x1附近单调递减切线“左上右下”下降定义新知函数的单调性与导数的关系：一般地，函数

f(x)的单调性与导函数

f'(x)的正负之间具有如下的关系:

在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.新知探究追问1

如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f

(x)有什么特性?结论：新知探究追问2存在有限个点使得f'(x)=0,其余点都恒有f′(x)>0,则f(x)有什么特性?f

(x)仍为增函数.例如:对于函数y=x3，y′=3x2.当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0，

而函数y=x3在R上单调递增.xyO结论：“f′(x)>0”是“函数f(x)在区间(a,b)上单调递增”的充分不必要条件。新知探究问题4

由导数的正负来判断函数的单调性，与我们之前学习的函数单调性定义是否一致？函数

y=f(x)在给定区间

I

上，当x1、x2∈I且x1＜x

2时（1）都有f(x1)＜f(x2)，则

f(x)在I

上是增函数；

（2）都有f(x1)＞

f(x2)，则f(x)在I

上是减函数；函数的单调性的定义新知探究追问1

由函数单调性的定义，你能用平均变化率来表示函数的单调性吗？

（1）∀x1、x2∈I，都有

，那么

f(x)在区间I上单调递增

（2）∀x1、x2∈I，都有

，那么

f(x)在区间I上单调递减

函数的单调性定义的变形形式：新知探究追问2

对于在区间（a,b）上的单调函数

y=f(x)，其平均变化率的几何意义与

f

'(x)的正负有什么关系？

abxoyAB

∀x1、x2∈（a,b）,经过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线AB的斜率就是平均变化率

设函数

f(x)在区间（a,b）上的导数f

'(x)为正，

直观上，能找到一点T(x0，f(x0))，使函数

f(x)的图像在点T处的切线与直线AB平行，即

T从而函数

f(x)在区间（a,b）上单调递增用此方法同样可以说明函数

f(x)在区间（a,b）上单调递减，结论：利用导数的正负来判断函数的单调性，与函数单调性定义是一致的。（1）因为

，其定义域为R.所以典例分析例1

利用导数判断下列函数的单调性:解：xyO(1)典例分析例1

利用导数判断下列函数的单调性:xyO(2)π-π解:（2）因为所以典例分析例1

利用导数判断下列函数的单调性:xyO(3)11解:归纳小结①求出函数的定义域；②求出函数的导数f

(x)；③判定导数f

(x)的符号；④确定函数f(x)的单调性.判定函数单调性的步骤：追问

能否归纳判断函数单调性的步骤？典例分析例2

已知导函数的下列信息：试画出函数f(x)图象的大致形状.

分析：解:

当1<x<4时,

可知在区间(1,4)内单调递增;

当x>4,或x<1时,

可知f(x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)区间内单调递减;

综上,函数

图象的大致形状如右图所示.xyO14课后练习课本练习课本P871.判断下列函数的单调性:解：课后练习课本练习课本P871.判断下列函数的单调性:解:

(2)因为f(x)=exￚx，其定义域为R.所以f′(x)=exￚ1.

令f′(x)=0，得x=0所以当x∈(ￚ∞,0)时，f′(x)<0当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0

.

所以，函数f(x)=exￚx在(ￚ∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.课后练习课本练习课本P87解：xyOabxyOab函数图象与导函数图像的关系题型一题型探究

DA.

B.

C.

D.

函数图象与导函数图像的关系题型一题型探究

DA.

B.

C.

D.

函数图象与导函数图像的关系题型一题型探究提分笔记解决函数与其导函数图象的关系问题时，要抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点观察其图象在哪个区间内上升或下降，而对于导函数，则应观察其函数值在哪个区间内大于零、小于零，并且这些区间与原函数的单调区间是否一致.利用导数判断函数的单调性题型二题型探究【例2】

利用导数求下列函数的单调区间:

利用导数判断函数的单调性题型二题型探究【例2】

利用导数求下列函数的单调区间:

利用导数判断函数的单调性题型二题型探究解题感悟利用导数判断函数的单调性（1）坚持定义域优先原则，要特别注意分式函数以及对数函数的定义域.

含参数函数的单调性研究题型三题型探究

含参数函数的单调性研究题型三题型探究解题感悟在求含有参数的函数的单调性时，需要先确定函数的定义域，若函数解析式中的参数不确定，需对参数进行分类讨论后再求函数的单调区间.在求解过程中对参数分类讨论的原则是“不重复，不遗漏”.课堂达标

C

课堂达标

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A.