余弦定理、正弦定理（第2课时+正弦定理）2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理学习目标1.掌握正弦定理及其变形.2.借助向量的运算,探究正弦定理的证明过程.3.掌握三角形正弦面积公式及其应用.4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.基础落实·必备知识一遍过知识点

正弦定理

1.名师点睛

2.三角形的面积公式名师点睛三角形面积公式的其他形式思考辨析1.如果已知三角形的两个内角及一条边,那么这个三角形的其他元素唯一确定吗?提示

唯一确定,因为三角形的两个内角及一条边确定,满足三角形全等的判定定理,所以这个三角形的其他元素唯一确定.2.在△ABC中,A>B是sinA>sinB的什么条件?提示

在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin

A>sin

B,所以A>B是sin

A>sin

B的充要条件.自主诊断1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=120°,b=3,c=8,则△ABC的面积等于(

)BB3.(北师大版教材习题)在△ABC中,c=4,a=2,C=45°,则sinA=

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重难探究·能力素养速提升探究点一已知两角和一边解三角形【例1】

在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.规律方法

已知两角及一边解三角形的解题方法(1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.

C

探究点二已知两边和其中一边的对角解三角形【例2】

在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,解三角形.变式探究1本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=60°”,解三角形.变式探究2本例中,将条件“a=2”改为“a=”,求角B.变式探究3本例中,将条件“a=2”改为“a=3”,求cosB.规律方法

已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角.(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.探究点三判断三角形的形状【例3】

(1)已知在△ABC中,角A,B所对的边分别是a和b,若acosB=bcosA,则△ABC一定是(

)A.等腰三角形

B.等边三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形A解析

由题意及正弦定理知sin

Acos

B-cos

Asin

B=0,即sin(A-B)=0,因为A,B是三角形的内角,所以A-B=0,即A=B.故选A.(2)在△ABC中,边a,b,c分别是角A,B,C的对边,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角.∵A=180°-(B+C),sin

A=2sin

Bcos

C,∴sin(B+C)=sin

Bcos

C+cos

Bsin

C=2sin

Bcos

C,∴sin(B-C)=0.又-90°<B-C<90°,∴B-C=0,∴B=C,∴△ABC是等腰直角三角形.变式探究在本例(1)中,将“acosB=bcosA”改为“acosA=bcosB”,判断△ABC的形状.

规律方法

三角形形状的判断方法

变式训练2(1)在△ABC中,已知3b=2asinB,且cosB=cosC,A是锐角,则△ABC的形状是(

)A.直角三角形

B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形D(2)在△ABC中,若acosC+ccosA=bsinB,则此三角形为(

)A.等边三角形

B.等腰三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形C解析

∵acos

C+ccos

A=bsin

B,∴sin

Acos

C+sin

Ccos

A=sin2B,即sin(A+C)=sin2B,∵A+C=π-B,∴sin

B=sin2B,即sin

B=1,又0<B<π,∴B=90°.∴△ABC是直角三角形.探究点四三角形面积公式的应用【例4】

(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2,C=,且a+b=3,则△ABC的面积为(

)D

D

规律方法

三角形面积的求解思路求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用公式求解.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出时,常利用

求解面积.变式训练3(1)在△ABC中,若A=60°,b=16,S△ABC=64,则c=

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本节要点归纳1.知识清单:(1)利用正弦定理解三角形.(2)三角形形状的判断.(3)三角形面积公式.2.方法归纳:转化化归、数形结合.3.常见误区:已知三角形的两边及其中一边所对的角,三角形解的个数的判断.学以致用·随堂检测促达标123451.

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b=,B=60°,则A=(

)A.30° B.30°或150°C.60° D.60°或120°A123452.已知△ABC中,AB=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(

)C12345C123454.

在△ABC中,a=5,b=5,A=30°,则B=

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60°或