直线与平面垂直-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直学习目标1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“任意”两字的重要性.2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,能证明性质定理,并能解决有关线面垂直的问题.3.了解直线和平面所成的角的含义,并知道其求法.4.了解点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离的含义,并能求解空间距离.基础落实·必备知识一遍过知识点1

直线与平面垂直的定义

定义一般地,如果直线l与平面α内的

直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直

定义可表示为∀a⊂α,l⊥a⇔l⊥α

记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的

,平面α叫做直线l的

.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做

图示

画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条

垂线

垂面垂足名师点睛1.定义中的“任意一条”与“任何直线”“所有直线”意义相同,但与“无数条直线”不同,即定义是说这条直线和平面内所有直线都垂直.2.直线和平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.3.由定义可知,若直线垂直于平面,则直线垂直于平面内任意一条直线,这是证明线线垂直的一种重要方法.思考辨析直棱柱的侧棱与底面内的每一条边都垂直吗?直棱柱的侧面是什么图形?提示

垂直.侧面都是矩形.自主诊断1.直线l与平面α内的无数条直线垂直,则(

)A.l和α相互平行 B.l和α相互垂直C.l在平面α内 D.l和α的位置关系不能确定D解析

直线l和α相互平行或直线l和α相互垂直或直线l在平面α内都有可能,如图所示.2.[苏教版教材习题]如果直线a与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a垂直的直线(

)A.只有一条B.有无数条C.是平面α内的所有直线D.不存在B知识点2

直线与平面垂直的判定定理

文字语言如果一条直线与一个平面内的两条

直线垂直,那么该直线与此平面垂直

图形语言

符号语言l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,

⇒l⊥α

作用判断直线与平面

相交a∩b=P垂直

名师点睛1.“两条相交直线”是关键词语,是不可忽视的条件.2.要证一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交的直线都和该直线垂直即可,不需要找到所有直线,而且这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.3.定理体现了相互转化的数学思想,即由要证线面垂直转化为证线线垂直.思考辨析有两个相邻的侧面是矩形的棱柱一定是直棱柱吗?提示

此时侧棱一定垂直于底面,棱柱是直棱柱.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一条直线垂直于三角形的两边,那么这条直线就垂直于三角形所在的平面.(

)(2)一条直线垂直于圆的两条直径,那么这条直线就垂直于圆所在的平面.(

)√√2.在围成长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与直线BB1垂直的面的个数是(

)

A.1 B.2 C.3 D.4B解析

如图,仅有平面ABCD和平面A1B1C1D1与直线BB1垂直.故选B.知识点3

直线与平面所成的角一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的

,斜线和平面的交点A叫做

.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的

.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

斜线斜足射影名师点睛1.斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.2.直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.特别地,当θ=90°时,直线与平面垂直.思考辨析

如图,PO是平面α的一条垂线,点O是垂足,则斜线PA与平面α所成的角是图中的哪个角?△PAO是什么三角形?提示

斜线PA与平面α所成的角是∠PAO,△PAO是直角三角形.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)直线l垂直于平面α,则l与平面α内的任意一条直线所成的角均为90°.(

)(2)如果直线l与平面α所成的角为0°,那么l∥α.(

)√××2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于

;AB1与平面ADD1A1所成的角等于

;AB1与平面DCC1D1所成的角等于

;AB1与平面A1BCD1所成的角等于

.

45°45°

0°解析

∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°;易证AB1⊥平面A1BCD1,所以AB1与平面A1BCD1所成的角是90°.90°知识点4

空间距离

这样的直线有且只有一条1.过一点作

于已知平面的直线,则该点与

间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,

叫做这个点到该平面的距离.

2.一条直线与一个平面

时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.

3.如果两个平面

,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都

,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

垂直

垂足垂线段的长度平行平行相等名师点睛1.求空间距离最终转化为求垂线段的长,先要找垂线,归结为线面垂直问题.2.空间距离可应用于求几何体的高.思考辨析如果直线上有两个点到平面的距离相等,那么这条直线与平面的位置关系是怎样的?提示

当这两个点在平面的同侧时,直线与平面平行;当这两个点在平面的异侧时,直线与平面相交.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)直线到平面的距离以及两平面之间的距离都要转化为点到平面的距离.(

)(2)如果一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等,那么这两个平面平行.(

)√×2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为(

)B解析

如图,连接AC,与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,BB1,DB⊂平面BDD1B1,∴AC⊥平面BDD1B1.∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.知识点5

直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线

符号语言图形语言

作用证明两条直线

平行

a∥b平行

自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果l∥m,l⊥α,那么m⊥α.(

)(2)如果l⊥α且l⊥β,平面α∥平面β.(

)√√2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,不与直线BB1重合的直线l垂直于平面ABCD,则有(

)A.BB1⊥lB.BB1∥lC.BB1与l异面D.BB1与l相交B解析

因为l⊥平面ABCD,且BB1⊥平面ABCD,直线l与直线BB1不重合,所以BB1∥l.故选B.重难探究·能力素养速提升探究点一证明直线与平面垂直【例1】

如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.证明

(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,易知AD=BD.由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,BD⊂平面ABC,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC=D,SD,AC⊂平面SAC,所以BD⊥平面SAC.规律方法

直线与平面垂直的判定方法判定直线与平面垂直,可以用定义,即证明这条直线与平面内的任意一条直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.变式训练1(2025河南安阳高一期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AP=AB,E,F分别为BC,PD的中点.求证:(1)EF∥平面PAB;(2)PD⊥平面AEF.

(2)因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,E是BC的中点,所以AE⊥BC,则AE⊥AD,又PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以AE⊥PA.因为AD∩PA=A,PA,AD⊂平面PAD,所以AE⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以AE⊥PD.因为AP=AB=AD,F是PD的中点,所以AF⊥PD,又AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,所以PD⊥平面AEF.探究点二证明两直线垂直【例2】

如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.证明

∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.变式探究1若本例中其他条件不变,作AE⊥PC交PC于点E,求证:AE⊥PB.证明

由例2知BC⊥平面PAC,∵AE⊂平面PAC,∴BC⊥AE.∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,PC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AE⊥平面PBC.∵PB⊂平面PBC,∴AE⊥PB.变式探究2本例中的三棱锥P-ABC中有几个三角形为直角三角形?解

4个,分别为△PAB,△PAC,△PCB,△ABC.规律方法

1.直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b.2.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.探究点三求直线与平面所成的角【例3】

(1)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,则AB1与平面AA1C1C所成角的余弦值为(

)A解析

如图,取A1C1的中点D,连接B1D,AD.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,∵△A1B1C1是正三角形,∴B1D⊥A1C1.∵CC1⊥底面A1B1C1,B1D⊂底面A1B1C1,∴CC1⊥B1D,又CC1∩A1C1=C1,CC1,A1C1⊂平面AA1C1C,∴B1D⊥平面AA1C1C,∴∠B1AD为AB1与平面AA1C1C所成的角.∵B1D⊥平面AA1C1C,AD⊂平面AA1C1C,∴B1D⊥AD.(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B和平面A1B1CD所成的角的大小是

.

30°解析

如图,连接BC1,BC1与B1C相交于点O,连接A1O.设正方体的棱长为a.∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,B1C1,B1B⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C⊂平面A1B1CD,∴BC1⊥平面A1B1CD.∴A1O为斜线A1B在平面A1B1CD上的射影,∠BA1O为A1B和平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中,∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.规律方法

1.求斜线与平面所成的角的步骤:2.在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,图形中的特殊点是突破口.

B解析如图,取PC的中点D,连接AD,DM,令AC=BC=PA=2.因为PA=AC,D是PC的中点,所以AD⊥PC.因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又∠ACB=90°,所以BC⊥AC,因为PA,AC⊂平面PAC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因为AD⊂平面PAC,所以BC⊥AD.因为PC,BC⊂平面PBC,PC∩BC=C,所以AD⊥平面PBC,所以∠AMD是AM与平面PBC所成角.

探究点四空间距离的求法【例4】

(2025上海松江高一期末)如图,已知三棱锥P-ABC中,AB⊥AC,PA⊥平面ABC,PA=AB=3,AC=4,M为BC的中点,E为AC的中点,F为PC的中点.(1)证明:平面MEF∥平面PAB;(2)求直线ME到平面PAB的距离.(1)证明

因为M为BC的中点,E为AC的中点,F为PC的中点.所以EF∥PA,EF⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB,同理可证ME∥平面PAB,因为ME∩EF=E,ME,EF⊂平面MEF,所以平面MEF∥平面PAB.(2)解

因为PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PA⊥AC.因为AB⊥AC,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以AC⊥平面PAB.由(1)可知ME∥平面PAB,所以线段AE的长度为直线ME到平面PAB的距离.因为E是AC的中点,AC=4,所以AE=2,所以直线ME到平面PAB的距离为2.规律方法

求点到平面的距离一般有两种方法(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解.(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解.变式训练3(1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,平面AB1D1到平面BC1D的距离为(

)C(2)如图,已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离.解

如图,连接BD,AC,EF和BD分别交AC于H,O,连接GH,作OK⊥GH于点K.∵四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD,H为AO的中点.∵BD∥EF,BD⊄平面GFE,∴BD∥平面GFE.∴点B与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离.∵BD⊥AC,∴EF⊥AC.∵GC⊥平面ABCD,∴GC⊥EF.

本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与平面垂直的定义.(2)直线与平面垂直的判定定理.(3)直线与平面所成的角.(4)空间距离.(5)直线与平面垂直的性质定理.2.方法归纳:化归,数形结合.3.常见误区:易