《CAD CAM技术》-CAD CAM技术第三章

3.1数学基础CAD/CAM系统中涉及的计算机图形处理技术，包括各种图形变换和图形的消隐及裁剪等，实现各种图形处理的数学基础是向量和矩阵及其运算，简要总结如下。1.向量及其运算2.矩阵及其运算(1)矩阵的加法运算(2)数乘矩阵(3)矩阵的乘法运算(4)单位矩阵(5)逆矩阵下一页返回3.1数学基础(6)转置矩阵(7)矩阵运算的基本性质3.齐次坐标上一页返回3.2弹性力学基础弹性力学(ElasticMechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力。弹性力学是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。1.常用物理量(1)外力作用于物体上的外力通常分为两类:体力和面力。(2)应力在受外力作用时，物体单位面积上所承受的内力，可分为剪应力和正应力。(3)应变下一页返回3.2弹性力学基础描述物体的变形程度。(4)位移在载荷(或温度变化等其他因素)作用下，物体内各点之间的距离改变称为位移，它反映了物体的变形大小。2.基本方程(1)平衡方程上一页下一页返回3.2弹性力学基础(2)几何方程—应变与位移的关系物体受力后变形，其内部任一点的位移与应变的关系可用下式表示。(3)物理方程—应力与应变关系可用广义虎克定律表示。上一页下一页返回3.2弹性力学基础综上所述，弹性力学的基本方程:3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程，其刚好包含了6个应力分量、6个应变分量和3个位移分量。因此根据这15个基本方程求解15个未知量是可能的。(4)虚功方程虚位移原理是力学中应用范围很广的原理之一，该原理表达了弹性体平衡的普遍规律，可以用来研究弹性体的平衡问题基于虚位移原理可以进行有限元公式的推导。上一页返回3.3数据结构与数据库技术3.3.1数据结构基础知识1.数据结构的概念(1)数据数据((data)是信息的载体，是对客观事物的符号表示。通俗地讲，凡是能够被计算机识别、存取和加工处理的符号、字符、图形、图像、声音、视频信号、程序等一切信息都可以称为数据。(2)数据元素数据元素(dataelement)是数据的基本单位，通常在计算机程序中作为一个整体来处理。(3)数据对象数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。下一页返回3.3数据结构与数据库技术(4)数据结构数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。(5)数据的逻辑结构数据的逻辑结构是对数据关系的一种描述。1)线性结构。在线性结构中，结点按照它们之间的关系，可以排成一个序列，如图3-2所示。2)树形结构。树形结构反映的关系是客观世界中十分普遍的层次关系，如图3-3所示。3)网状结构。网状结构的数据元素之间存在多对多的关系。图3-4所示为数据的网状结构。(6)数据的存储结构上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术数据的存储结构是数据逻辑结构在计算机存储器中的实现。1)顺序存储结构。用一组连续的存储单元依次存放各数据元素，数据元素与其存放地址间存在着一一对应的关系。各数据在存储器中的存储顺序与逻辑顺序一致，依次排列。2)链式存储结构。该结构把数据的地址分散存放在其他有关的数据中，并按照存取路径进行链接。链式存储结构根据指针的数目大致有三种类型。①单向链结构。单向链结构的数据元素由数据域和指针域组成，如图3-5所示，链表的最后一个数据元素的指针域设为NULL(Λ表示空)。②双向链结构。在单向链的基础上，为每个数据元素增加一个指针域，用于存放指向该数据元素前趋的地址，即可方便地实现双向操作。上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术图3-7为双向链结构的数据元素组成，由next、data、last三部分构成。③环链结构。环链结构的特点是存取时可以从环的任何一个数据元素入口，按指针逐个存取各个记录，直到再遇到入口记录为止。④多向链结构。多向链结构中有多于两个的指针。(7)数据的操作运算在数据结构中，数据的基本操作运算包括:①插入，在数据结构指定的位置添加新的数据元素;②删除，删去数据结构中某个指定的数据元素;③更新，改变指定数据元素的一个或多个数据项的值;④检索，在数据结构中寻找满足某特定要求的数据元素;上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术⑤排序，重新安排数据元素之间的逻辑顺序关系，使之按数值大小由小到大或由大到小的次序排列。2.线性表(1)线性表的逻辑结构线性表是一种最常用、最简单的数据结构，它是由n个类型相同的数据元素组成的有限序列。在线性表中，除表头和表尾数据元素之外，每个数据元素都有且仅有一个直接前驱和直接后继数据元素。线性表中的数据元素个数n为线性表的长度，若n=0，则该线性表为空表。线性表中的数据元素可以是一个数、一个符号、一个记录，也可以是一个线性表，甚至为其他更复杂的信息。(2)线性表的存储结构上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术1)线性表的顺序存储结构。顺序存储结构就是用存储介质上连续相邻的存储单元，依次顺序地存放线性表各个数据元素。图3-11为线性表(a1,a2,…,ai,…,an)的顺序存储结构。2)线性表的链式存储结构。线性表的链式存储结构是用一组任意的存储单元存放线性表中的各个数据元素，其存储单元可能是连续的，也可能是不连续的。3)线性表顺序存储结构与链式存储结构的区别。线性表顺序存储结构具有如下特点:有序性，各数据元素之间的存储顺序与逻辑顺序一致;均匀性，每个数据元素所占存储空间的长度相等。对于线性表顺序存储结构，只要知道首地址和数据元素序号，就能获上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术知每个数据元素的实际存储地址，便于对数据元素的访问和修改操作，数据元素的搜索效率较高。而对线性表顺序存储结构中的某数据元素进行删除或插入运算时，则需要进行大量数据元素的移动操作，运算效率较低。因此，顺序存储结构多用于查找频繁、很少增删的场合，例如工程手册中大量数表的存储。与顺序存储结构相比，线性表链式存储结构具有以下特点:删除或插入运算速度快;表的容量易于扩充;不需要事先分配存储空间，可避免存储单元不能充分利用的不足。但是线性表链式存储结构的数据元素的搜索效率较低，需从表头结点开始，顺次地对一个一个结点进行搜寻。链式存储结构多用于事先难以确定其容量大小，且需频繁进行结点增、删的场合，例如在图形系统中图形数据的存储。上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术3.树和二又树(1)树树是一种非线性数据结构。它为计算机应用中出现的具有层次关系或分支的数据提供了一种自然的表示方法。如图3-15所示。1)树结构的基本术语。①结点。②结点的度与树的度。③叶结点与分支结点。④子结点与父结点。⑤结点的层数和树的深度。⑥森林。上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术2)树的存储结构。树为非线性结构，一般采用链式存储结构。可采用定长或不定长的存储结构。(2)二叉树二叉树是一种非常重要的树结构，许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，许多算法用二叉树形式实现非常简单、方便。任何树结构都可以转换成与之对应的二叉树，这为树结构的存储和运算提供了方便。1)二叉树的概念。二叉树是一种特殊的树，每个结点的度最多为2,即二叉树至多有两棵子树，分别为左子树和右子树(图3-16(a))。上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术在一棵深度为k的二叉树中，其结点总数最多为(2k-1)个。一棵拥有(2k-1)个结点的二叉树称为满二叉树(图3-16(b))。若对满二叉树各结点进行编号，约定从其根结点开始，自上而下、从左到右进行连续编号。如果有一个深度为瓦结点数为n的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应时，则此二叉树称为完全二叉树，如图3-16(c)所示。2)二叉树的存储结构。二叉树可以采用顺序存储结构，也可采用链式存储结构。3)树的二叉树表示。由于二叉树结构简单、存储方便，且有一系列成熟的操作算法，因而在对一般树结构处理时，常常先将其转换成二叉树形式，然后按二叉上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术树结构进行分析处理。3.3.2数据库技术一、数据库管理系统数据库系统包括数据库及其管理系统。数据库可以简单理解为具有某种规律或联系的文件及数据的集合。数据库系统的核心部分是数据库管理系统(DataBaseManagementSystem,DBMS)。DBMS是用于对数据库及系统资源进行统一管理和控制的软件系统，它提供了对数据库的定义、建立、检索、编辑修改等操作功能，对数据的安全性、完整性和保密性进行统一的管理和控制，起着连接应用程序与数据库之间的接口作用，如图3-17所示。也就是说，数据库管理系统是建立在数据库和用户程序之间的一个界上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术面，用户程序一般情况下不能直接对数据库进行访问，若要访问或操作数据库，必须通过数据库管理程序。数据库管理系统具有如下的特点:①数据模型的复杂性和结构化。②数据的共享性。③数据的独立性。④数据的安全性和完整性。二、常用数据库的数据模型图3-18为几种常用的数据库结构模型。三、CAD/CAM系统涉及的数据类型(1)管理型数据上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术管理型数据包括产品设计与制造过程中所用的各种设计资料，如国家标准和规范、产品口录、技术资料等。(2)设计型数据设计型数据是指产品设计过程所产生的数据，如产品功能描述数据、设计分析参数、各种资源描述数据等。(3)加工制造型数据(4)图形类数据四、工程数据库工程数据库是一种特种数据库，目前对其尚无一个统一的定义，普遍认可的定义为:工程数据库是存储和管理工程设计所需数据的数据库，包含几何的、物理的、技术的、工艺的以及其他技术实体特性及其相上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术互间的关系，适合于CAD/CAM、计算机集成制造(CIM)、地理信息处理、军事指挥、控制通信等工程应用领域所使用的工程数据的管理。1.工程数据库的特点(1)具有复杂工程数据的存储和管理的能力(2)具有动态建模的能力(3)支持多库操作和多版本管理(4)支持工程数据的长记录存取和文件兼容处理(5)支持智能型规则的描述和查询处理(6)具有良好的数据库系统环境和支持工具2.工程数据类型1)通用基础数据。上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术2)设计产品数据。3)工艺加工数据。4)管理信息数据。3.工程数据库的数据模型(1)在传统数据模型基础上扩充的数据模型①关系和网状混合模型。②关系和层次混合模型。③函数数据模型。(2)语义网络数据模型这种数据模型提供了比关系模型更多的语义内容，它用结点和连接弧来模拟客观世界的特征和行为，其中结点表示对象、概念、事件和属上一页下一页返回3.3数据结构与数据库技术性，连接弧则表示各结点间的各种联系。(3)面向对象的数据模型面向对象的数据模型是语义模型和面向对象设计思想相结合而产生的一种适合于工程数据库应用的数据模型。这种数据模型支持复杂对象的表示、标识、继承和封装，支持类定义、类操作以及类层次结构关系等功能。4.工程数据库在CAD/CAM系统中应用CAD/CAM系统是以工程数据库为核心，在操作系统的支持下以图形功能为基础的一种计算机应用系统，从产品设计、工程分析直到制造过程所涉及的全部数据都应维护在这同一工程数据库环境中。上一页返回3.4计算机图形处理基础知识3.4.1坐标系1.世界坐标系世界坐标系(WorldCoordinateSystem,WCS)又称为用户坐标系，用于描述现实世界的整体布局，多采用右手直角坐标系。2.建模坐标系建模坐标系(ModelingCoordinateSystem,MCS)用于描述世界坐标系中每个具体物体的形状，每个物体均由其自身的建模坐标系定义。当物体的空间位置发生变化时，由建模坐标系定义的物体上各点的坐标值不变。建模坐标系与世界坐标系是局部与整体的关系。3.观察坐标系4.设备坐标系下一页返回3.4计算机图形处理基础知识5.规格化设备坐标系3.4.2窗口和视区1.窗口窗口技术，即定义一个观察框，经过对观察框内的图形进行裁剪和变换处理后予以显示，而观察框之外的图形则是不可见的。如图3-19所示，通常将窗口定义为一个矩形框，它的位置和大小在用户坐标系中一般用矩形的左下角(xw1,yw1)和右上角(xw2,yw2)来表示。2.视区视区是在图形设备(如图形显示器)上定义的矩形区域，用于输出所要显示的图形和文字。3.窗口与视区的变换上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识窗口与视区的大小和单位一般情况下都不相同，为了把所选窗口内的图形内容在相应的视区上显示出来，必须进行坐标变换。如图3-20所示，窗口与视区的变换可以归结为坐标点的变换。3.4.3图形裁剪一、点的裁剪假设窗口x坐标的界限值为xmin和xmax，y坐标的界限值为ymin和ymax，则当一点判定为可见时，必须同时满足下列两个不等式约束:若其中任一条件不满足，则该点为不可见点。上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识二、二维线段的裁剪线段裁剪的任务就是要确定其是完全可见的、部分可见的或者完全不可见的。进行线段裁剪，首先要确定它与窗口边界的相对位置。由于矩形窗口是一个凸多边形，一条直线段的可见部分最多为一段，因此可以通过判断两个端点的可见性来确定直线段的可见部分。如图3-21所示，一条直线段相对于窗口，其端点有以下几种情况:①直线段的两个端点都在窗口内，如直线段b。此时不需要裁剪，应全部显示。②直线段的两个端点都在窗口外，如直线段a、d、e和f。和关其中对于直线a和。，它们均被窗口边界分成3段，中间一段落在窗口内，应予以显示;对于直线段f，它与窗口边界只有一个交点，此时的可见部上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识分已退化为一个点;对于直线段d，由于它与窗口的边界不相交，应当裁剪掉。③直线段的一个端点在窗口内，而另一个端点在窗口外，如直线段c。需要求出直线段c与窗口边界的交点，并以此为界将直线段分为两段，然后显示落在窗口内的那一段。上述各种情况都要通过一定的规则来判断。直线段的裁剪有多种算法，较为经典的算法为Cohen-Sutherland算法，也称为编码裁剪算法。三、多边形的裁剪如图3-23所示，多边形裁剪要比线段裁剪复杂一些。若按线段裁剪算法对多边形的各条边依次进行裁剪，则裁剪后的多边形将不再是一个封闭的区域，而成为一组彼此不连贯的折线(图3-23(b))，这将给后续的图形处理(如填充)带来困难。因而，多边形的裁剪不仅要保留窗口上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识内的多边形部分，而且还要将窗口边界有关部分按一定次序插入被裁剪后的多边形，从而使之仍然保持为封闭区域(图3-23(c))。3.4.4图形变换一、图形的齐次坐标矩阵表示任何图形都可视为点的集合，图形变换的实质就是对组成图形的各顶点进行坐标变换。为了便于图形的变换计算，引用齐次坐标，齐次坐标是将一个n维向量用n+1维向量表示，例如二维点坐标(x,y)可简单地表示为(x,y,1)。二、二维图形的几何变换1.平移变换图形的每一个点在给定的方向上移动相同的距离所得的变换称为平移上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识变换。如图3-26所示。2.比例变换比例变换是使图形放大或缩小的变换。如图3-27所示。3.旋转变换旋转变换是将平面图形绕原点(0,0)顺时针或逆时针方向进行旋转。一般规定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。如图3-28所示。4.错切变换错切变换是使图形产生一个扭变。这种变换在CAE应变分析时应用尤为广泛。图形的每一个点在某一个方向上的坐标保持不变，而在另一个坐标方向上进行线性变换，或在两个坐标方向上都进行线性变换，这种变换称为错切变换。它分为x和y,方向的错切变换。如图3-29所上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识示，实线所画为原图形，虚线所画为变换后的图形。(1)图形沿x方向的错切如图3-29所示。(2)图形沿Y方向的错切如图3-30所示。(3)图形沿x方向和Y方向同时发生错切如图3-31所示。5.对称变换对称变换也称反射变换，即变换前后，点对称于x轴..Y轴、某一直线或点。其变换矩阵为上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识6.二维图形的复合变换CAD/CAM中的图形变换是复杂的，必须由两种或多种基本变换的组合才能得到所需要的最终图形。这种对图形实施多种基本变换的组合而实现的变换称为图形的复合变换，相应的变换矩阵称为复合变换矩阵，复合变换矩阵为多个基本变换矩阵的乘积。三、三维图形的几何变换三维图形的几何变换可看作是二维图形几何变换的坐标的扩展。运用齐次坐标的表达方式，可将三维空间点的几何变换表示为上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识其中，T为4x4阶的变换矩阵，即与二维图形变换矩阵相类似，也可将三维图形变换矩阵T按虚线分为4个子矩阵，则其中左上角子矩阵会产生三维图形的比例、对称、错切和旋转变换;左下角子矩阵会产生图形的平移变换;右上角子矩阵会产生透视变换;右下角子矩阵会产生图形的全比例变换。上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识1.平移变换2.比例变换3.旋转变换4.错切变换5.对称变换四、三维图形的投影变换和透视变换三维图形的几何变换是使三维物体在空间的位置和形状产生改变，而投影变换和透视变换则是将三维物体投射到某投影面上，生成该物体的二维平面图形。投影变换是各类变换中最重要的一种。投影就是把n维坐标系中的点变成小于n维坐标系的点。各种形式的平面投影分类如图3-35所示。上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识1.投影变换投影变换包括正投影、正轴测投影和斜轴测投影变换，可分别用于绘制三维物体的三视图、正轴测图和斜轴测图。(1)正投影变换正投影变换可以生成三视图。图3-38所示为被投影物体与三个投影面(V,H,W)的相互位置关系。①主视图。②俯视图。③左视图。(2)正轴测投影变换正轴测投影是将物体绕:轴逆时针旋转y角，再绕x轴顺时针旋转a角，上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识然后向v面投影而得到，其变换矩阵为2.透视变换通过投影中心(或视点)将三维形体投影到投影面的一种变换称为透视上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识变换，在投影面上所得到的图形即为透视图。如图3-39所示。在透视变换中，不平行于投影面的平行线的投影将汇聚于一点，这点称为灭点。透视投影的灭点有无穷多个，不同方向的平行线在投影面上可形成不同的灭点。与坐标轴平行的平行线在投影面上所形成的灭点称为主灭点，因为坐标轴有x,y和z三条，所以透视图中的主灭点最多为三个。透视投影按主灭点的个数分为一点透视、二点透视和三点透视。一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，而与另两个坐标轴平行，如图3-40(a)所示;二点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行，如图3-40(b)所示;三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交，如图3-40(c)所示。上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识3.4.5图形的消隐1.图形消隐的基本概念对于一个三维物体，当沿着投影线观察它时，由于物体自身某些表面或其他物体的遮挡，使某些线或面不可见，则这些不可见的线称为隐藏线，不可见的面称为隐藏面。将这些隐藏线或隐藏面消除的过程就称为消隐。进行消隐工作，首先要解决的问题是决定显示对象的哪些部分是可见的，哪些部分是由于自身或其他物体的遮挡而不可见的，即找出隐藏线和隐藏面，然后再消除这些不可见部分，只显示可见的线和面。查找、确定并消除隐藏线和隐藏面的技术称为消隐技术。2.消隐算法中的基本测试方法(1)重叠测试上一页下一页返回3.4计算机图形处理基础知识(2)包含性测试(3)深度测试(4)可见性测试3.常用的消隐算法(1)物空间算法物空间算法是利用物体间的几何关系来判断物体的隐藏与可见部分。(2)像空间算法像空间算法把注意力集中在最终的图像上，对光栅扫描显示器而言，将对每一像素进行判断，确定哪些是可见部分。上一页返回3.5几何建模基础知识几何建模技术是CAD/CAM的核心技术，是实现CAD/CAM集成的基础。几何建模是用计算机来表示和构造形体的几何形状，建立计算机内部模型的过程。CAD/CAM系统中的几何模型就是把三维实体的几何形状及其属性用合适的数据结构进行描述和存储，供计算机进行信息转换与处理的数据模型。1.几何信息几何信息是指物体在欧氏空间中的形状、位置和大小。几何信息可以用数学表达式进行定量地描述，通过不等式可对其边界范围加以限制。几何信息作为形体几何模型的主要组成部分，可选择合适的数据结构进行组织并存储在计算机内，以供CAD/CAM系统的处理和转换。图3-42所示，表明了一个简单物体的几何信息和拓扑信息之间的关系。下一页返回3.5几何建模基础知识2.拓扑信息拓扑信息反映形体中各几何元素的数量及其相互间的连接关系。任一形体可由点、边、环、面、体等各种不同的几何元素构成，各元素之间的连接关系可能是相交、相切、相邻、垂直、平行等。对于几何元素完全相同的两形体，若各自拓扑关系不同，则由这些相同几何元素构造的两形体可能完全不同。形体各几何元素之间的拓扑关系具有一定的相关性，可相互导出。在形体几何建模中，最基本的几何元素为点(V)边(E)、面(F)。在这三种元素之间，可组成各种不同的拓扑连接关系，如面一面、面一边、面一点、边一边、边一点、边一面、点一点、点一边、点一面等，如图3-44所示。上一页下一页返回3.5几何建模基础知识4.形体的表示形体在计算机内通常采用如图3-45所示的六层拓扑结构进行定义，各层结构的含义如下。(1)体体是由封闭表面围成的有效空间，如图3-46(a)所示的立方体是由F1~F6。六个平面围成的空间。(2)壳壳是构成一个完整实体的封闭边界，是形成封闭的单一连通空间的一组面的结合。(3)面面由一个外环和若干个内环界定的有界、不连通的表面。面有方向性，上一页下一页返回3.5几何建模基础知识一般采用外法矢方向作为该面的正方向。(4)环环是面的封闭边界，是有序、有向边的组合。环不能自交，且有内外环之分。确定面的最大边界的环称为外环，而确定面内的孔或凸台周界的环称为内环。(5)边边是实体两邻面的