《分析力学(全2册)》-12

12.1Legendre变换与正则方程本节讨论Legendre变换、Hamilton正则方程，研究正则方程的意义以及关于正则方程的各种推导等。12.1.1Legendre变换变x1,x2，...,xn的函数中(x1，x2，…，xn)，是连续的且对所有变量有连续一阶和二阶偏导数。称中为母函数，借助它可将旧变量x1，x2，…，xn，变换为新变量下一页返回12.1Legendre变换与正则方程由方程组(12.1.1)，可在Hess行列式不等于零的区域解出旧变量，得到旧变量用新变量表示的逆变换上一页下一页返回12.1Legendre变换与正则方程特别地，如果母函数中是二次型于是如果矩阵(ask)非奇异，即det(ask)=0，那么由线性方程组可解出旧变量由式(12.1.1),(12.1.4)得到逆变换的母函数上一页下一页返回12.1Legendre变换与正则方程12.1.2Hamilton正则方程具有n个自由度的完整系统的Lagrange方程是n个二阶常微分方程。可以用许多办法将这个方程组用2n个一阶方程来替代。作为一阶方程组的2n个变量，可取广义坐标qs(s=1,2,...,n)以及广义速度的线性函数一广义动量ps(s=1,2,,,,n).广义动量定义为当广义力有势时，在这样选取变量下，运动方程可写成非常对称又非常紧凑的形式，称为正则形式。动能T作为广义速度的函数，起着由旧变量qs、向新变量pk过渡的母函数的作用。它的Hess行列式是二次型T2的系数矩阵行列式。上一页下一页返回定义Hamilton函数或势能不依赖于广义动量，代替式(12.1.15)和式(12.1.18)，有这就是Hamilton正则方程，由HamiltonWR(1805-1865)于1834年给出。满足Hamilton正则方程的变量q、和fi、称为正则变量。对有非势力情形，正则方程有形式上一页下一页返回12.1Legendre变换与正则方程12.1.3研究正则方程的意义前面导出的系统运动方程的正则形式(12.1.20)是2n个一阶微分方程组成的方程组，在解决实际问题时和Lagrange方程是等价的。但是，首先，正则方程在形式上比Lagrange方程要简单，结构上又对称，在解决许多复杂的力学问题时，如天体力学、振动问题等，更便于做普遍讨论。其次，与正则方程相联系所引进的新概念，如正则变量，在力学和物理中(如统计物理、量子力学等)有很多用途。第三，由正则方程建立了一整套积分方法，如Poisson方法、Hamilton-Jacobi方法等。最后，正则方程促进了辛几何、广义Hamilton力学、Birkhoff力学的发展。利用正则方程求解运动的步骤大致如下:上一页下一页返回12.1Legendre变换与正则方程1)根据所研究的力学系统的物理条件和特点，分析其自由度，选取适当的广义坐标;2)写出系统的动能T和势能V的表达式;3)求广义动量上一页下一页返回12.1Legendre变换与正则方程12.1.4关于正则方程的导出1)Lagrange著作的附录BertrandMJ在Lagrange著作的附录VI之II中的论述如下。“假设约束不依赖于时间，系统所受力可用同一函数的偏导数给出，即活力原理可应用于所论系统。取运动微分方程上一页下一页返回12.1Legendre变换与正则方程上一页下一页返回12.1Legendre变换与正则方程2)Appell的论述在Appell著作第二卷第25章第471节中有如下表述：Lagrange方程为这就是Hamilton给出的正则运动方程。上一页返回下一页12.1Legendre变换与正则方程3)Whittaker的论述动力系统的运动用这些方程表示，就说它们是Hamilton形式或正则形式。Whittaker认为与助是彼此独立的。4)由Hamilton原理导出上一页下一页返回12.1Legendre变换与正则方程可在正则变量下表示为它可变换为由此怎样导出正则方程，就出现了分歧。有人认为式(12.1.25)中如、与助是彼此独立的，因而可导出正则方程曰;有人认为枷与己p不是彼此独立的，例如，吴大酞先生指出，“P之系数等于零者，盖系由变换而来”川;还有人认为“可将坐标和动量看作独立变分的变量，……原理从形式上推导出哈密顿方程。上一页下一页返回12.1Legendre变换与正则方程12.1.5应用举例例1已知二自由度系统的Lagrange函数为试求系统的Hamilton函数H

解:首先，求广义动量，有上一页返回12.2正则方程的经典积分与降阶法正则方程的经典积分为能量积分和循环积分，利用这两类积分可降阶正则方程。12.2.1正则方程的能量积分和循环积分如果Hamilton函数H不显含时间t，则H是正则方程的积分。实际上下一页返回12.2正则方程的经典积分与降阶法Hamilton函数H代表能量，它表示为其中T为动能中广义速度的二次形;T,为广义速度的一次形;T,为不含广义速度的项。式(12.2.4)代表广义能量。特别地，当T0=0时，式(12.2.4)就是总机械能

H=T+V如果坐标qi(i=1,2,...,l,l<n，)不出现于Hamilton函数H中，即上一页下一页返回12.2正则方程的经典积分与降阶法则称qi(i=1,2,...,1)为循环坐标。此时，由正则方程(12.1.20)第二组得到pi=0积分得这就是循环积分，它代表广义动量守恒。此时，后面(n-l)个方程成为前面l个方程为积分得上一页下一页返回12.2正则方程的经典积分与降阶法如能由方程(12.2.8)求得qr，pr,将其代入式(12.2.10)，便可求得qi，而pi由式(12.2.7)给出。12.2.2利用能量积分的Whittaker降阶法考虑n个自由度的系统，其Hamilton函数H不显含时间t，则系统存在能量积分，记作H+h=0(12.2.11)上一页下一页返回12.2正则方程的经典积分与降阶法其中h为一常数。设由方程(12.2.11)可解出变量p1，写成K(p2,p3，…,pn,q1,q2,...,qn,h)+p1=0(12.2.12)将式(12.2.12)代入式(12.2.11)，则式(12.2.11)成为恒等式，对其求偏导数，得上一页下一页返回12.2正则方程的经典积分与降阶法这就是Whittaker方程,Whittaker方程(12.2.13)保持方程的正则形式，并且少了两个方程。12.2.3应用举例上一页返回下一页12.2正则方程的经典积分与降阶法上一页返回12.3正则方程的逆变型和协变型将正则方程(12.1.20)表示为逆变型和协变型，以便于讨论其代数结构和Hamilton力学逆问题。12.3.1正则方程的逆变型令下一页返回12.3正则方程的逆变型和协变型12.3.2正则方程的协变型正则方程的协变型表示为上一页下一页返回12.3正则方程的逆变型和协变型如果条件(12.3.8)不满足，但将方程两端乘以因子函数huv(t,a)后可使条件满足，那么仍可Hamilton化。将一阶方程组化成Hamilton方程的问题，称为Hamilton力学逆问题。同时，对方程组也可应用荟11.4中的方法，先化成Lagrange方