湖北省新八校2025-2026学年高三下学期开学考试数学（含答案）

高三数学试题参考答案

1234567891011

CABCDABCBDABCABD

一、单选题

(丨

1.C[详解]A={0,1,2,3,4,5},B=,1,,2,,3},:A∩B={1,2,3}.

{lJ

2.A[详解]i2026-i=-1-i，虚部为-1

2)

3.B[详解](sinβ+cosβ)=:2sinβcosβ=-<0:β∈(|π,l

(,

22

(sinβ-cosβ)=1-2sinβcosβ:(sinβ-cosβ)=又:sinβ>0,cosβ<0

:sinβ-cosβ=

2222

4.C[详解]当,,的夹角均为120°时+-=+++2.-2.-2.

2

:+-=9:+-=3

当,,的夹角均为0O时,+-=0:+-=3或0

5.D[详解]f(x)=(a-)cosx,a∈R是奇函数，y=cosx为偶函数

6.A[详解]分析题意可知直线l过定点M(3,1)，过圆心C作CH丄l交直线l于点H

CH

:上ACB=2上ACH,上ACB最小时,上ACH也最小cos上ACH=即CH最大

AC

即CM丄l，kCM=-:kl=2=-:m=-

7.B[详解]

分析题意可知：O又222

AB=BC=CD=2,上BCD=120:BD=2·、BD+AB=AD:AB丄BD

AB丄BC,BC∩BD=B,BC平面BCD,BD平面BCD:AB丄平面BCD

又AB平面ABC:平面ABC丄平面BCD

过点D作DM丄BC交BC的延长线于M，取AC的中点为O1,连接O1M

22222

则-解得··兀兀

OO1=h,h+O1C=O1M+(DMh)h=:R球=,S表=4R球=20

1

x1+1

8.C[详解]e=2lnx2=

\x3

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1

-

x+12

令f(x)=e,g(x)=2lnx,h(x)=x，即f(x1)=g(x2)=h(x3)

观察右侧图象可知，不可能为x2<x1<x3

二．多选题

9.BD10.ABC11.ABD

9.BD[详解]

项：c=时不成立项：333

A0By=x为R上的增函数且a>b:a>b

C项：a>0>b时不成立D项：

10.ABC[详解]

A项：下四分位数为B项：相关系数r=0，表示变量没有线性相关关系C

项：残差D项：分层抽样各层占比不清楚，所以系数

6=0.839×6+28.957=33.991:=y6-6=0.009

并不一定为

11.ABD[详解]如图所示，内切圆与ΔPF1F2三边的切点分别为A、B、C，延

长PI交F1F2于Q，连接F1I、F2I.对于A选项：由题意可知

PA=PB、F1B=F1C、F2C=F2A，F1C+F2C=2c,PF1-PF2=2a，可知

F1C=a+c，IC丄F1F2，所以内心I的横坐标为a，故A正确；对于B选

项：PI与上F1PF2的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质可知直线PI

是双曲线在P点处的切线，故B正确；对于C：设P(x0,y0)(x0>a,y0>0)，

则有PF1=ex0+a，PF2=ex0-a，其中e为双曲线的离心率，设内切圆的半径为r(r>0)，则有

=++=.，化简可得ry，两边同时平方，代入

SΔPF1F2PF1PF2F1F2)rF1F2y00y

2

化简可得r=b:OI2=OC2+r2<a2+b2=c2，所以OI<c，故C错误；对于D选项：GI//x

轴，由重心的性质可知可知=2，由题意及角平分线定理可知

222

则PF2=2c-a,PF1=2c+a，在ΔPF1F2中，由余弦定理可知cos上PF2F1=,代入数据可得

212

()兀)

cos上PFF因为e>1，所以-∈-1，l，所以上PFF∈(|，兀l，

2|(,21(3,

故D正确.

三、填空题

12题：-113题：

'2x+b'b-1

12.[详解]y=2e:yx=0=2e=2e:b=-1

13.[详解]设AF2=x则BF2=2x,在ΔAF1F2，ΔBF1F2分别由余弦定理解得:

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[详解]令x=0，易知a0=1，

令S=2+22+23+...+2n=2n+1-2，

则

4

a=2S-2+22S-22+23S-23+....2S-2n=S222+24+26+...22n=2-

2()()()n()-(」

四．解答题

15、（1）由题意可知acosC+·、asinC-b-c=0...............2分

由正弦定理及sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC可知·sinAsinC-sinCcosA-sinC=0，

(兀)

C∈(0兀)，:sinC>0，则有·sinA-cosA=1，即sinA-l=，4分

,|(6,............

兀兀兀

A∈(0,兀)，:A→A..........5分

（2）由（1）及余弦定理可知b2+c2-bc=4..........6分

:b2+c2=4+bc≥2bc:bc≤4，当且仅当b=c时，“=”成立...........7分

D是BC的中点，:+=2，..........8分

22

两边平方可得b2+c2+bc=4AD，:AD=b2+c2+bc)..........10分

2

b2+c2=4+bc:AD=2bc+4)≤3，..........12分

所以AD的最大值为..........13分

16、（1）由题意可知AM丄PD，CD丄AD，..........1分

侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD底面ABCD=AD，:CD丄平面PAD，..........3分

AMC平面PAD，:CD丄AM，

又CDPD=D,CD∈平面PCD,PD∈平面PCD，..........5分

:AM丄平面PCD..........6分

（2）如图，分别取AD、BC的中点O、G，连接OA、OG、OP，已知

OA、OG、OP两两垂直，则以O为坐标原点，OA、OG、OP为x、y、z轴

建立空间直角坐标系

由题意可知P(0,0，·、)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，

()

=|-，0，l，=(1,2,-S3)，..........7分

(,

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设]则λλλ

=λ(λ∈[0,1)，=(,2,-、)，=+，

所以=(λ-1,2λ,·、i3-v3λ)，..........8分

设平面AMN的法向量为=(x,y,z)，则.=0，.=0，

代入数值可得，

z=0

不妨令x=λ,则=(λ,λ-1，·、i3λ)，..........11分

OP.

n·、

由题意可知，OP即为平面ABCD的法向量，则有=，

OPn4

,..........13分

PN

解得λ=或λ=-1（舍去），所以=..........15分

PB

(3)

17、（1）记3人中通过第一轮的人数为η,由题意可知η~B3,l,..........1分

|(4,

3

3)

记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件M,则P(M)=1-P(η=3)=1-C3|(l=..........3分

(,

（2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为N、R、T，通过第二轮的事件记为D，则由题意可知

P(N)=P(R)=P(T)=P(DN)=×=，

P(DP(DT)..........5分

则P(D)=P(ND)+P(RD)+P(TD)=P(N)P(DN)+P(R)P(DR)+P(T)P(DT).........7分

:P..........8分

（3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为A、B、C，则PP(A)=1-P(A)=，

P(B)=×=，P(B)=1-P(B)=，P(C)=×=，P(C)=1-P(C)=，..........9分

由A、B、C相互独立可知P(ξ=0)=P(ABC)=××=，..........10分

P(ξ=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=××+××+××=，..........11分

分

P(ξ=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=××+××+××=，..........12

P=P..........13分

所以ξ的分布列是

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ξ0123

P

则ξ的数学期望是E..........15分

'

18、（1）由f(x)=(x+1)lnx，可知f=lnx，.........1分

易知f'(x)在单调递减，在[1,e]上单调递增，..........2分

''则在

:f(x)min=f(1)=2>0，f(x)单调递增，..........3分

所以==

fminfmaxf(e)=e+1..........5分

（2）构造函数g(x)=f(x)-a(x-1)=(x+1)lnx-a(x-1)(x∈[1,+∞))，

g'=lnxa，g'(1)=2-a，易知g(1)=0，若g'(1)=2-a<0，

则彐x0∈(1,+∞)使得g(x)在[1,x0]上单调递减，:g(x0)<g(1)=0，与题意矛盾，..........7分

则g'(1)≥0，:a≤2，此时g(x)=(x+1)lnx-a(x-1)≥(x+1)lnx-2(x-1)，..........8分

令h(x)=(x+1)lnx-2(x-1)，只需证h(x)≥0在[1,+∞)恒成立即可=lnx

[1,+∞)，:h''(x)≥0恒成立，及h'(x)在[1,+∞)单调递增，..........9分

''

:h(x)≥h(1)=0，:h(x)在[1,+∞)单调递增，则h(x)≥h(1)=0恒成立，即证，..........10分

所以a的取值范围是(-∞,2]..........11分

（3）由（2）可知(x+1)lnx>2(x-1)在(1，+∞)恒成立，

则有lnx在(1，+∞)恒成立，..........12分

令x，则有ln→ln恒成立，..........14分

..........16分

i

即证ln2..........17分

19、（1）由题意可知F，则P点的坐标为，..........1分

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代入抛物线方程解得p=2或p=-2（舍去），所以抛物线C的方程为y2=4x...........3分

22

（2）（i）由题意可知直线PT的方程为y=-x+3，联立y=4x可得y+4y-12=0，解得y1=2,y2=-6，

所以所以分

P(1,2)，Q(9，-6)，PQ...........4

如图所示，由图象可知，对任意面积S，抛物线位于直线PQ右上方的部

分均存在2点使得ΔM2PQ、ΔM3PQ的面积均为定值S，则抛物线在直

线PQ的左下方部分存在唯一