等腰三角形（三）课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明1.2.3等腰三角形三学习目标1.经历等边三角形判定定理的证明,进一步规范证明格式,

并能应用判定定理解决问题从而提升思维能力.2.掌握并能应用含30°角的直角三角形的性质并解决问题.温故知新1.等边三角形有哪些性质?(2)等边三角形三个内角都相等且都为60°(1)等边三角形三边都相等(3)三个“三线合一”(4)是轴对称图形,有三条对称轴.2.一个三角形满足什么条件时是等边三角形?一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?(1)三边相等的三角形是等边三角形.(2)三个内角相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。你能证明这些结论吗?并与同伴进行交流这是定义,无需证明,直接用新知探究证明:三个内角相等的三角形是等边三角形.ABC已知：如图，在△ABC中∠A=∠B=∠C.求证：AB=AC=BC.∵∠B

=∠C，∴AB=AC.∴AB=AC=BC.证明：定理:三个内角相等的三角形是等边三角形.应用格式:∵∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.∵∠A

=∠B，∴AC=BC.证明:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。(1)如图,已知在等腰△ABC中,

AB＝AC，若∠A＝60°.求证：AB＝AC＝BC.证明：∵AB=AC，∠A=60°，ABC

∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.分析:有一个角等于60°,这个角可能是什么角呢?可能是顶角,也可能是底角.(2)如图,已知在等腰△ABC中,

AB＝AC，若∠B＝60°.求证：AB＝AC＝BC.ABC证明：∵AB=AC，∠B=60°，∴∠C=∠B=60°.∴∠A=

180°－∠B-∠C=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.定理:有一个角等于60°的等

腰三角形是等边三角形。应用格式:∵AB＝AC,∠A=60°.∴AB=AC=BC.1.已知：如图，AB

=

BC，∠CDE

=120°，DF∥

BA，

且

DF

平分∠CDE.求证：△ABC

是等边三角形.证明：∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE＝120°，DF平分∠CDE，∴∠FDC＝∠ABC＝

60°.∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF＝∠FDC＝60°.又∵DF∥BA，典例精析尝试·思考(1)用两个完全相同的含30°角的三角尺,你能拼成怎样的三角形?30°30°30°30°(2)观察图1是什么三角形?为什么?你还发现了什么结论?请证明你的结论。图1图2图1是等边三角形ABCD图1是是由两个完全相同的含30°角的三角尺,可以拼成一个等边三角形。由此可以发现:“30°角的对边等于三角尺斜边的一半”。证明:“30°角的对边等于三角尺斜边的一半”。已知：如图，在

△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.求证：BC=AB.30°ABCD证明：延长

BC至

D，使

CD＝BC，连接

AD.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°.

∵BC＝DC，∠ACB＝∠ACD,

AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS).

∴AD＝AB.

定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，

那么它所对的直角边等于斜边的一半．

ABC30°思考:在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这

条直角边所对的锐角等于30°成立吗?典例精析2.求证:如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半。CBAD如图，在△ABC中，已知AB＝

AC＝

2a，∠B＝∠ACB＝15°，

CD是腰

AB上的高，求

CD的长.解：∵∠B＝∠ACB＝15°，(已知)∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.

当堂测评1．根据下列条件，不能判定△ABC是等边三角形的是(

)A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，且∠B＝∠CC．∠A＝∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝60°B2.如图，嘉琪想测量一座古塔CD的高度，在A处测得∠CAD＝15°，再

往前行进60m到达B处，测得∠CBD＝30°，点

A，B，D在同一条直

线上，根据测得的数据，可得这座古塔CD的高度为(

)

B3.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边

OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长是(

)A．2

B．3C．4D．54.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的

方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为________cm.2B(1)证明:∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD.

∵CA平分∠BCD，

∴∠BCA＝∠ACD.

∴∠BAC＝∠BCA.

∴AB＝BC.6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN.(1)求证：AB＝BC；(2)若∠CAB＝30°，求证：△AMN是等边三角形.(2)证明:∵∠CAB＝30°，

∴∠ACD＝∠BAC＝30°.

∵AM⊥CD于点M，

∴∠MAC＝60°，AM＝AC.

∵AB＝BC，BN⊥AC，

∴AN＝AC.

∴AN＝AM.

∴△AMN是等边三角形．(2)若∠CAB＝30°，求证：△AMN是等边三角形.6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，

BN⊥AC于点N，连接MN.课堂小结这节课你学会了什么?1.等边三角形的判定方法：2.含30°角的直角三角形的性质：(1