2026年湖南省长沙市高三数学第一次模拟考试自编试卷01（人教版）（试卷及解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年湖南省长沙市高三第一次模拟考试自编试卷01数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设，则“”是“”成立的A．充要不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充要也不必要条件2．非空集合A、B满足，，，则（

）A． B．R C．A D．B3．已知向量，若，则（

）A．-2 B．0 C．2 D．44．已知数列是等差数列，且，则（

）A．5 B．6 C．7 D．85．已知平面向量，为单位向量，且，若，则（

）A． B．2 C． D．6．已知抛物线：的焦点为，以为圆心且半径为2的圆与抛物线相交于、两点，则（

）A． B． C． D．47．若实数，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．18．已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（

）A． B． C． D．2二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．下列结论正确的是（

）A．若随机变量，且，则B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好C．对，两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对，两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强D．若，，，则10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数D．若函数的导函数为，则的图象关于点对称11．某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为．13．在的展开式中，若的系数为，则.14．某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，,点M在边BC上，AM是角A的平分线．(1)求角A；(2)求AM的长．16．已知的内角所对的边分别为，且．(1)求；(2)若，求周长的最大值．17．在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.(1)求点的轨迹的方程；(2)轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M右侧)，直线PQ与轨迹W交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求的最大值.18．已知等轴双曲线，过作斜率为的直线，与双曲线分别交于两点，当时，.(1)求双曲线的方程；(2)若与双曲线的上、下两支相交，点，直线分别与双曲线的上支交于两点.（i）求直线的斜率的取值范围；（ii）设和的面积分别为，且，求直线的方程.19．已知抛物线的焦点为，点在上，且.(1)求抛物线的方程；(2)过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）.（ⅰ）若，求.面积；（ⅱ）证明：直线过定点.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页2026年湖南省长沙市高三第一次模拟考试自编试卷01数学试题（解析版）题号12345678910答案CCDBACBCABDABD题号11答案ABD1．C【详解】试题分析：当时，，当一正一负时，，当时，，所以，故选C．考点：充分必要条件．2．C【分析】根据可得，再结合集合交集理解辨析．【详解】∵，则，∴，故选：C．3．D【分析】根据向量垂直的坐标运算求解.【详解】因为，所以，若，则，解得，故选：D.4．B【分析】根据等差数列下标和的性质求解.【详解】因为为等差数列，所以，又，所以，解得，故选：B.5．A【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式先求出余弦值，再求出正切值即可.【详解】由向量，为单位向量，又，知.因为，则，所以.又，得，则，故选：A.6．C【分析】先求出圆的方程，然后与抛物线联立，求得方程的解，进而求得点的坐标，从而求得.【详解】已知抛物线：的焦点为，所以.所以以为圆心且半径为2的圆的方程为.联立圆的方程和抛物线方程得，化简得.所以解得（舍去）.所以对应的或.所以，所以.故选：C.7．B【分析】构造函数利用其单调性结合条件等式得出结合基本不等式计算即可.【详解】由题意实数，满足，，而函数在R上单调递增，所以，当且仅当时等号成立．故选：B8．C【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解.【详解】因为，整理可得，则，可知为等边三角形．设点到直线的距离为，则，可得，如图，过点作，垂足为，则，过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上，可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时，所以的最小值为．故选：C.9．ABD【分析】对A，利用正态分布的概率分布曲线的对称性即可计算判断；对B，利用残差以及模型的拟合效果的关系即可判断；对C，利用两变量相关系数的意义即可判断；对D，根据条件概率和全概率公式求解.【详解】对于A，由题意得，，，则，故A正确；对于B，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故B正确；对于C，，，且，与负相关，与正相关，且与的相关性更强，故C错误；对于D，，，，.，，.，.又根据全概率公式得，，，故D正确.故选：ABD.10．ABD【分析】利用图像求出函数解析式,然后利用正弦型函数的图像与性质对选项进行逐一分析即可.【详解】对于选项A,由图像可知振幅,所以.解得.将点代入即,解得.所以.故A正确.对于选项B,已知,即.所以.故B正确.对于选项C,向左平移个单位.得.显然是奇函数不是偶函数.故C错误.对于选项D,令解得对称中心的横坐标.当时,.即的图像关于点对称.故选项D正确.故选:ABD.11．ABD【分析】根据独立事件的概率、条件概率及最大值、最小值的概率计算方法，结合加法公式、乘法公式计算即可.【详解】选项A：表示第一个数的最大值，即该数本身；表示第一个数的最小值，也即该数本身；所以，，A正确；选项B：表示输出的前3个数的最大值为3，即需满足“输出的每个数，且至少有一个数为3”.所有数均的概率：；所有数均的概率：.所以，B正确；选项C：表示输出的前3个数的最小值为3，即需满足“输出的每个数，且至少有一个数为3”.所有数均的概率：；所有数均的概率：.所以，C错误；选项D：记为事件，即前4个数最大值为6，为事件，前4个数最小值为3.则.表示前4个数最大值为6且最小值为3，即所有数均在3到6之间（含3和6），所以.故，D正确.故选：ABD.12．4【分析】由得，利用数量积的定义即可求解.【详解】因为，所以，所以，又因为为单位向量，与的夹角为，所以，故答案为：4．13．【分析】利用二项式的展开式求得：，进而可得：，最后通过裂项相消法进行求解即可.【详解】由二项式的展开式的通项公式可得第，令，可得：的系数为，所以，则，则.故答案为：14．/【分析】设投篮总次数的数学期望为，根据题意列出关于数学期望的方程求解即可.【详解】设投篮总次数的数学期望为，若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为，此情况下发生的概率为0.2，投篮总次数为，若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为，此情况发生的概率为，投篮总次数为，若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2，则投篮总次数的数学期望为，解得故答案为：15．(1)(2)2【分析】（1）根据向量垂直的关系，结合正弦定理边角互化即可求解，（2）由余弦定理以及三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为，所以，故，由正弦定理可得,由于，所以,结合,则，（2）由于AM是角A的平分线，，由余弦定理可得，解得，又,解得16．(1)(2)9【分析】（1）由正弦定理可以变形为：，再由余弦定理进行求解；（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解．【详解】（1）由正弦定理及，得，，，．（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，得，．由余弦定理得，，，当且仅当时取等号，，周长的最大值为9．17．(1)(2)【分析】（1）根据垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得；（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据求出，再由面积公式及二次函数的性质计算可得.【详解】（1）圆的方程为：的圆心为，半径，由题可得，点在线段的垂直平分线上，则，所以，根据椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，设方程为，则，，所以，所以点的轨迹的方程为（2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，，将直线的方程代入椭圆，整理得，，所以，，则，，由得，又由椭圆方程可知，即，所以，即，即，即，所以，解得或(舍去，此时过点)，所以直线过定点，所以，，此时，，所以，因为，则，所以当时取得最大值，所以的最大值为.18．(1)(2)（i）；（ii）或.【分析】（1）由题意知直线为，再由列式计算即可；（2）（i）设，直线，直线与曲线联立方程结合韦达定理求解即可；（ii）设直线，其中，直线与曲线联立方程结合韦达定理表示出，结合（i）及化简求解即可.【详解】（1）当时，此时直线为，代入双曲线可得，，从而，因此，解得，故双曲线方程为.（2）（i）依题意，直线的斜率存在，设，不妨与上支交于点，直线，联立得，则，，注意到直线与上，下两支交于两点，故，即.注意到与双曲线上支交于两点，因此，即，即，即，因此，故，即斜率的取值范围是.（ii）设直线，其中，联立得，则，则，同理，则，由（i）可知，，则，即，得，故，解得从而的方程为或.19．(1)(2)；证明见解析.【分析】（1）根据焦半径公式结合题设条