河南省登封市嵩阳高级中学2026届高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

河南省登封市嵩阳高级中学2026届高一数学第二学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的()A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍2．函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A． B． C． D．3．已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为()A． B． C． D．4．在等差数列中,，则（）A．5 B．8 C．10 D．145．函数的部分图像如图所示，则A．B．C．D．6．若偶函数在上是增函数，则（）A． B．C． D．不能确定7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A． B．或 C．或 D．8．已知数列的通项为，我们把使乘积为整数的叫做“优数”，则在内的所有“优数”的和为（）A．1024 B．2012 C．2026 D．20369．已知，且，，则（）A． B． C． D．10．直线的倾斜角大小（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()＝________.12．已知的内角、、的对边分别为、、，若，，且的面积是，___________.13．若，则实数的值为_______.14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________.15．若函数图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．16．对于数列满足：，其前项和为记满足条件的所有数列中，的最大值为，最小值为，则___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知平面向量，．（1）若与垂直，求；（2）若，求．18．已知平面向量，且（1）若是与共线的单位向量，求的坐标；（2）若，且，设向量与的夹角为，求．19．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.20．己知点，直线l与圆C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B两点，且OA⊥OB．（1）若直线OA的方程为y＝一3x，求直线OB被圆C截得的弦长；（2）若直线l过点（0，2），求l的方程．21．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可．【详解】以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，故三家性的高变为原来的sin45°=，故直观图中三角形面积是原三角形面积的．故选C．【点睛】本题重点考查了斜二侧画法、平面图形的面积的求解方法等知识，属于中档题．解题关键是准确理解斜二侧画法的内涵，与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段的长度减少为原来的一半．2、D【解析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.3、A【解析】

利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值．【详解】如下图所示：由切线的性质可知，，，且，，当取最小值时，、也取得最小值，显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线的距离，即，此时，，四边形面积的最小值为，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．4、B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，所以，故选B.考点：等差数列通项公式.5、A【解析】试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.【考点】三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．6、B【解析】

根据偶函数性质与幂函数性质可得．【详解】偶函数在上是增函数，则它在上是减函数，所以．故选：B．【点睛】本题考查幂函数的性质，考查偶函数性质，属于基础题．7、D【解析】

作出几何体的直观图，可知几何体为正方体切一角所得的组合体，计算出正方体的体积和所切去三棱锥的体积，相减可得答案．【详解】几何体的直观图如下图所示：可知几何体为正方体切一角所得的组合体，因此，该几何体的体积为.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图作出几何体的直观图是解答的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8、C【解析】

根据优数的定义，结合对数运算，求得的范围，再用等比数列的前项和公式进行求和.【详解】根据优数的定义，令，则可得令，解得则在内的所有“优数”的和为：故选：C.【点睛】本题考查新定义问题，本质是考查对数的运算，等比数列前项和公式.9、C【解析】

根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式计算可得.【详解】解：因为，．因为，所以．因为，，所以．所以．故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题.10、B【解析】

化简得到，根据计算得到答案.【详解】直线，即，，，故.故选：.【点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】

根据图象看出周期、特殊点的函数值，解出待定系数即可解得.【详解】由图可知：解得又因：所以又因：即所以又所以又因：所以即所以所以所以故得解.【点睛】本题考查由图象求正切函数的解析式，属于中档题。12、【解析】

利用同角三角函数计算出的值，利用三角形的面积公式和条件可求出、的值，再利用余弦定理求出的值.【详解】，，，且的面积是，，，，，由余弦定理得，.故答案为．【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13、【解析】

由得，代入方程即可求解.【详解】,.,,,即，故填.【点睛】本题主要考查了反三角函数的定义及运算性质，属于中档题.14、【解析】甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋；甲不输，即甲获胜或和棋，甲不输的概率为15、【解析】

由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心．【详解】由题意，经过图象变换后新函数解析式为，由，，，绝对值最小的是，因此所求对称中心为．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．16、1【解析】

由，，，，，分别令，3，4，5，求得的前5项，观察得到最小值，，计算即可得到的值．【详解】由，，，，，可得，解得，又，，可得或，又，，，可得或5；或6；或或8；又，，，，可得或6或7；或7或8；或8或9或10或12；或10或12或1．综上可得的最大值，最小值为，则．故答案为：1．【点睛】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

(1)根据垂直数量积为0求解即可.(2)根据平行的公式求解,再计算即可.【详解】解：（1）由已知得,,解得或．因为,所以．（2）若,则,所以或．因为,所以．所以,所以．【点睛】本题主要考查了向量垂直与平行的运用以及模长的计算,属于基础题型.18、或【解析】分析：（1）由与共线，可设，又由为单位向量，根据，列出方程即可求得向量的坐标；（2）根据向量的夹角公式，即可求解向量与的夹角．详解：与共线，又，则，为单位向量，，或，则的坐标为或，，．点睛：对于平面向量的运算问题，通常用到：1、平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；2、由向量的数量积的性质有，，，因此利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题；3、本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.19、（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】

如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面（Ⅱ），设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值为.（Ⅲ）依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根据题意，求得直线OB的方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线OB的距离，之后应用圆中的特殊三角形，求得弦长；（2）根据题意，可判断直线的斜率是存在的，设出其方程，与圆的方程联立，得到两根和与两根积，根据OA⊥OB，利用向量数量积等于零得到所满足的等量关系式，求得结果.【详解】（1）因为直线OA的方程为，，所以直线OB的方程．从而圆心到直线OB的距离为：所以直线OB被团C截得的弦长为：．（2）依题意，直线l的斜率必存在，不妨设其为k，则l的方程为，又设，．由得，所以，．从而．所以．因为，所以，即，解得．所以l的方程为．【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件