2025-2026学年山西省阳泉市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省阳泉市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线的方程是(

)A.y2=8x B.x2=8y C.2.若圆C：x2+y2−6x−8y+15=0上存在无数对点关于直线l对称，则直线A.(3,4) B.(6,8) C.(−3,−4) D.(−6,−8)3.在等差数列{an}中，a4+a6A.5 B.7 C.8 D.94.“m=−2”是“直线mx+(m−1)y+2=0和直线3x+my+4=0垂直”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积V(r)随着气球半径r的增大而增大.当半径r=1时，气球的体积V(r)=43πr3相对于A.43π B.2π C.4π 6.一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q=(

)A.32 B.5 C.7.设数列{an}的通项公式为an=n2−tn，(n∈A.t≤3 B.t<3 C.t≤2 D.t<28.已知F1，F2是椭圆C1：x29+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1和A.223 B.227二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.当α∈[0,π]时，方程x2+y2A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线10.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是π3，M为A1C1与B1A.BD1=a+b+c

11.数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”.卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线.设卡西尼曲线C的两定点为F1(−2,0)和F2(2,0)，常数为a(a>0).A.曲线C一定过原点

B.曲线C一定关于坐标轴对称

C.当且仅当a≥4时，曲线C上存在到F1，F2距离相等的点

D.曲线C上存在点P使得△三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线3x+4y−10=0与圆(x−3)2+(y−4)2=25相交于A，B两点，则13.甲、乙两物体分别从相距120m的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动5m，以后每分钟比前一分钟多运动2m，乙每分钟运动10m.甲、乙开始运动后

分钟相遇？14.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到农贸市场A1A2A3A4中去，已知AA1=12km四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax−lnx，且f(x)在x=1处的切线方程是x−y+b=0．

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间和极值．16.(本小题15分)

已知数列{an}中，a1=1，an+1=4an+2n．

(1)求证：数列{17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=5，BC=BB1=2，点D，E分别为BC，AC1的中点．

(1)求证：DE//平面ABB1A1；

(2)求直线A18.(本小题17分)

如图，抛物线y2=2px(p>0)上一点P(1,m)到y轴的距离是到焦点距离的一半，M(a,0)(a>0)是x轴上一点，过点M作直线交抛物线于A，B两点．

(1)求抛物线的方程；

(2)若a=2，求线段AB中点的轨迹方程；

(3)过点M作抛物线的另一条弦CD，若直线AD与y轴交于点E，连接ME，BC，求证：ME//BC19.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnx+x2，其中a∈R且a≠0．

(1)当a=1时，证明：f(x)≤x2+x−1；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)求证：对任意的n∈N∗且参考答案1.B

2.A

3.C

4.A

5.C

6.C

7.B

8.D

9.ABC

10.BCD

11.BC

12.8

13.6

14.x215.解：(1)因为f(x)=ax−lnx，所以f(x)=a−1x，

又f(x)在x=1处的切线方程为y=x+b，

所以f′(1)=a−1=1，f(1)=a=1+b，

解得a=2，b=1．

(2)由(1)可得f(x)=2x−lnx定义域为(0,+∞)，则f′(x)=2−1x=2x−1x，

当x∈(0,12)时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，

当x∈(12,+∞)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，则f(x)在x=116.17.18.（3）证明：设C(y24,y3)，D(y24,y4)，E(0,e)，

则kAD=y1−y4y124−y424=4y1+y4，同理kBC=4y2+y3，

又因为kAE=4(y1−e)19.（1）证明：当a=1时，f(x)=lnx+x2，x∈(0,+∞)，

要证明f(x)