2026届天津市一中高一数学第二学期期末经典试题含解析

2026届天津市一中高一数学第二学期期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知与的夹角为，，，则（）A． B． C． D．2．一个多面体的三视图如图所示．设在其直观图中，M为AB的中点，则几何体的体积为（）A． B． C． D．3．过点且与直线垂直的直线方程是．A． B． C． D．4．函数的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．55．设集合A={x|x≥–3}，B={x|–3<x<1}，则A∪B=()A．{x|x>–3} B．{x|x<1}C．{x|x≥–3} D．{x|–3≤x<1}6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A． B．或 C．或 D．7．已知点和点，且，则实数的值是（）A．5或-1 B．5或1 C．2或-6 D．-2或68．在正四棱柱中，，，则与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．9．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，是下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则10．圆与圆的位置关系是（）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，若角的终边经过点，求的值.12．设满足约束条件若目标函数的最大值为,则的最小值为_________．13．已知向量，，若，则__________．14．直线过点且倾斜角为,直线过点且与垂直,则与的交点坐标为____15．函数的初相是__________．16．在中，已知M是AB边所在直线上一点，满足，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．将正弦曲线如何变换可以得到函数的图像，请写出变换过程，并画出一个周期的闭区间的函数简图.18．已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，求；（2）若与共线，求的值.19．已知函数的最小正周期为，（1）求函数的单调递减区间；（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.20．已知，，，均为锐角，且.（1）求的值；（2）若，求的值.21．如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，平面，，点在底面上的射影为棱的中点，点在平面内的射影为证明：为的中点：求三棱锥的体积

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出关于的二次方程，解出即可.【详解】将等式两边平方得，，即，整理得，，解得，故选：A.【点睛】本题考查平面向量模的计算，在计算向量模的时候，一般将向量模的等式两边平方，利用平面向量数量积的定义和运算律进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.2、D【解析】

利用棱柱的体积减去两个棱锥的体积，求解即可.【详解】由题意可知几何体C−MEF的体积：VADF−BCE−VF−AMCD−VE−MBC=.故选：D.【点睛】本题考查简单空间图形的三视图及体积计算，根据三视图求得几何体的棱长及关系，利用几何体体积公式即可求解，考查运算能力和空间想象能力，属于基础题.3、A【解析】

根据与已知直线垂直的直线系方程可假设直线为，代入点解得直线方程.【详解】设与直线垂直的直线为：代入可得：，解得：所求直线方程为：，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用两条直线的垂直关系求解直线方程的问题，属于基础题.4、D【解析】

由可求得所处的范围，进而得到函数最大值.【详解】的最大值为故选：【点睛】本题考查函数最值的求解，关键是明确余弦型函数的值域，属于基础题.5、C【解析】

根据并集的运算律可计算出集合A∪B.【详解】∵A=xx≥-3，B=x故选：C.【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键就是并集运算律的应用，考查计算能力，属于基础题.6、D【解析】

作出几何体的直观图，可知几何体为正方体切一角所得的组合体，计算出正方体的体积和所切去三棱锥的体积，相减可得答案．【详解】几何体的直观图如下图所示：可知几何体为正方体切一角所得的组合体，因此，该几何体的体积为.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图作出几何体的直观图是解答的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.7、A【解析】

根据空间中两点间距离公式建立方程求得结果.【详解】解得：或本题正确选项：【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，属于基础题.8、A【解析】

连结，结合几何体的特征，直接求解与所成角的余弦值即可．【详解】如图所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，连结，则与所成角就是中的，所以与所成角的余弦值为：＝＝．故选A．【点睛】本题考查正四棱柱的性质，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．9、D【解析】

根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，若，，则可能平行、相交、或异面；故A错；B选项，若，，，则可能平行或异面；故B错；C选项，若，，，如果再满足，才会有则与垂直，所以与不一定垂直；故C错；D选项，若，，则，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正确.故选D【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.10、D【解析】

根据圆的方程求得两圆的圆心和半径，根据圆心距和两圆半径的关系可确定位置关系.【详解】由圆的方程可知圆圆心为，半径；圆圆心为，半径圆心距为：两圆的位置关系为：外切本题正确选项：【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定，关键是能够通过圆的方程确定两圆的圆心和半径，从而根据圆心距和半径的关系确定位置关系.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，从而可得的值.【详解】因为角的终边经过点，所以，，则.故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12、【解析】

试题分析：试题分析：由得，平移直线由图象可知，当过时目标函数的最大值为，即，则，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为．考点：1、利用可行域求线性目标函数的最值；2、利用基本不等式求最值．【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题．含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键．13、1【解析】由,得.即.解得.14、【解析】

通过题意，求出两直线方程，联立方程即可得到交点坐标.【详解】根据题意可知，因此直线为：，由于直线与垂直，故，所以，所以直线为：，联立两直线方程，可得交点.【点睛】本题主要考查直线方程的相关计算，难度不大.15、【解析】

根据函数的解析式即可求出函数的初相.【详解】，初相为.故答案为：【点睛】本题主要考查的物理意义，属于简单题.16、3【解析】

由M在AB边所在直线上，则，又，然后将，都化为，即可解出答案.【详解】因为M在直线AB上，所以可设，

可得，即，又，则由与不共线，所以，解得.故答案为：3【点睛】本题考查向量的减法和向量共线的利用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析【解析】

利用函数函数的图像变换规律和五点作图法可解.【详解】由函数的图像上的每一点保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图像,

再将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像.

然后再把函数的图像上每一个点的横坐标保持不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图像.作函数的图像列表得0100函数图像为【点睛】本题考查函数的图像变换的过程叙述和作出函数的一个周期的简图，属于基础题.18、（1）；（2）【解析】

（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出．（2）根据向量共线的条件即可求出．【详解】（1）因为（2）由已知：【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行的坐标表示，属于基础题．19、（1）的单调递减区间为（2）【解析】

（1）由二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后得正弦函数的单调性求得减区间；（2）函数在区间上有两个零点可转化为函数与的图像有两个不同的交点.，利用函数图象可求解．【详解】（1）函数的最小正周期，故令，得故的单调递减区间为（2）函数在区间上有两个零点，即方程区间上有两个不同的实根，即函数与的图像有两个不同的交点.，故，结合单调性可知，要使函数与图像有两个不同的交点，则，所以【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，考查零点个数问题．解决函数零点个数问题通常需要转化与化归，即转化为函数图象交点个数问题，大多数情况是函数图象与直线交点个数问题．象本题，最后转化为求函数的单调性与极值（最值）．20、（1）；（2）【解析】

(1)计算表达出,再根据,两边平方求化简即可求得.(2)根据,再利用余弦的差角公式展开后分别计算求解即可.【详解】（1）由题意,得,,,,.（2）,,均为锐角,仍为锐角,,,.【