【《浅谈不等式的应用》2900字（论文）】

PAGE第1页浅谈不等式的应用目录TOC\o"1-3"\h\u15764一、使用不等式常见的错例分析 125314（一）漏记“一正”条件造成的错误 117669（二）连续使用不等式时等号成立条件不一直导致的错误 23243二、高中不等式的应用 232509（一）证明简单不等式问题 320965（二）不等式在比较两数（式）的大小的应用 52690三、如何运用不等式求解最值 632737（一）求解函数的最值 626767（二）运用不等式解决几何中的最值问题 7论文摘要：不等式在初等数学中占有重要的作用，它是高中数学教学的一个重要内容，在高中数学中合理地去使用不等式可以使一些解题过程简单化。不等式本身并不难理解，但要灵活地应用它去解决我们遇到的数学问题是很有难度的。在使用不等式之前需要了解不等式的含义，抓住解题的关键，解题的技巧，在适当的时候引入它，对于解决某些问题是一个很好的辅助工具，可以起到事半功倍的效果，这就使得不等式在初等数学中具有很重要的研究意义，本文就不等式在初等数学中的一些应用等方面进行研究，一、使用不等式常见的错例分析我们在使用不等式（，当且仅当“”时取等号）时常常会出现一些使用不当的现象，大到公式使用时机，小到运算符号，这些使用不当出现的错误都是可以通过更深入的了解不等式去避免的。本文就例举几个在使用不等式时常常出现的错误来研究。（一）漏记“一正”条件造成的错误例1已知，求的最值。错解；为定值，，的最小值为4。错解分析；虽然=4为定值，但是因为，，此时不能直接使用不等式，必须要将转化为正数能运用不等式进行求解。正解；，，，，所以，当且仅当即时可以取等号，所以上式的的最大值应为-4。（二）连续使用不等式时等号成立条件不一直导致的错误例2已知，，，求的最小值。错解；由题意可知，可得，所以得，所以上式的最小值为24。错解分析；在解题过程中连续两次使用不等式，但是使用这两次不等式时使得等号成立的条件并不一致。正解；，当且仅当时等号成立，所以上式的正确解为25。小结；我们在使用不等式时，或多或少都会存在一些计算上的失误和公式使用上的错误，以上是我举的两个常见的不等式使用错误导致计算错误的例子，让我们更加熟悉不等式，从而能更好的去使用它。二、高中不等式的应用高中不等式被应用于各个领域,是数学中一个重要公式,也是数学教学过程中的一个重点。如果不等式应用得当,那么能将许多难题得以解决,以下主要从四个方面讲述了不等式的应用。（一）证明简单不等式问题在各类数学竞赛、试题以及不等式的进一步研究中,不等式的证明仍然需要在中加以重视,所以在教学时应当对不等式的证明加以重视。尽管有很多方法可以证明这一点,但是如果遇到一些更复杂的问题,则很难使用通用方法。这时,如果能够使用不等式或将其与一般证明方法相结合,这样来解决这类问题就比较容易。例3已知都为正数,且。求证：。证明：由已知：都为正数所以为正数,由不等式得：当且仅当时,等号成立。例4设都为正数,求证：。证明：由已知都为正数,可知即,同理可得：所以所以当且仅当时,等号成立。方法总结：一些简单不等式可以使用不等式来证明。尽管也可以使用其他证明方法,但是如果遇到更复杂的问题,将不容易解决。解决这一类题时,如果能够应用不等式和一般证明方法相结合,就可以达到较好的效果。除此之外，在不等式在证明特殊不等式中的应用方面：现阶段数学学习生涯中，我们学习了很多种证明不等式的方法，比如我们熟知的综合法、换元法等，如果我们在证明不等式成立的过程中巧妙地结合不等式，说不定能让问题变得更容易求解。本文就例举几个常见的证明不等式的方法进行研究。例5假如是互不相等的正数，求证。解；由题意得，所以；又因为为互不相等的正数，所以；所以，即得证。评析；本小题在证明不等式的过程中巧妙运用了不等式，使计算变得更加简便。例6已知，求证；。解；因为，所以；同理可得，；三式相加有；即，得证。小结；证明不等式的方法有很多种，运用综合法证明不等式，其实就是合理的利用所有的已知的条件与不等式相结合从而进行求解的方法，该方法理解与应用起来比较简单，适合大多数不等式的证明，合理的应用往往能使解题过程简单化。（二）不等式在比较两数（式）的大小的应用例8若,请比较与的大小关系。证明：由于,所以,所以当且仅当,即时等号成立。所以方法总结:在利用不等式比较两数(式)的大小时,首先要观察两个式子之间的关系,选择适当的方法。不等式的应用,就是根据需要可以把式子进行拆项或者配凑,并注意其应用的限制条件,一是“正数”条件,即都是正数；二是“定值”条件,即和是定值或积是定值；三是“相等”条件,即时取等号。REF_Ref17916\r\h\*MERGEFORMAT也就是,在应用不等式解题时,应当注意其限制条件是否满足,若条件不满足时,就需要拼凑出条件,注意“和式”,“积式”之间的关系。另外，还有运用不等式比较一些代数式的大小。不等式本身作为式就存在大小，而比较代数式的大小就显得尤为重要。在初等数学中我们也学习了许多比较代数式大小的方法，常见的有分析比较法、放缩法等。然而不等式本身就表示了两个代数式的大小关系，在进行代数式的大小比较时，在恰当的时机运用它可能会出现意想不到的效果，甚至有些很难比较大小的式子都能将其简化。例6若，，则的大小关系为？解；有题意可知，所以；所以有，所以；同理可得，所以。故的大小关系为。评析；我们在使用不等式时不能只想到它的表达式，当运用不等式出现困难时，如果把目光放到它的变形式上，可能出现新的突破口。例7若则的大小关系为？解；因为，当时等号成立；；所以的大小关系为。评析；不等式是在高中才开始接触的不等式，虽然我们接触它的时间很短暂，但是它却是非常重要的一类不等式，在很多时候巧妙灵活的运用不等式可以简化解题过程，在比较大小中，如果能灵活运用不等式，可以巧妙的得出结论。三、如何运用不等式求解最值（一）求解函数的最值初等数学中的最值和极值问题一直是初等数学中的重要内容之一，也是学习数学的难点之一，同时函数最值也是高考的一个热门考点，而不等式一直是攻破解函数最值的最有力的武器，所以如何使用不等式去解决函数的最值问题就显得格外重要。少数函数式可以直接通过运用不等式进行求解，而大多数都不行，这时我们就可以一通过我们学过的代换、分离、拼凑等多种方法来化简函数式，下面就分享一些解决函数问题的技巧和方法。例8已知，求的最小值。解；因为，所以，当且仅当时等号成立，即时有最小值，最小值为4。例15若，求的最小值。解；因为所以（当且仅当时等号成立）评析；综上，我们在解决此类问题时通过观察，便可看出可以直接使用不等式进行求解，在解题时需要注意不等式中的各项是否都为正数，然后带入公式直接求解即可。（二）运用不等式解决几何中的最值问题不等式这一利器，不仅是攻破函数最值得有利武器，而且在平面几何和立体几何求解最值问题的过程中也常常有出色的表现，一般先由题意列出等式，再由等式转化为不等式，最后用不等式进行求解。例9一圆柱的轴截面周长是一个定值，那么该圆柱的体积最大为多少？解；设该圆柱的半径和高为别为，体积为。则该圆柱的轴截面表达式为，化简后为；所以该圆柱的体积，所以该圆柱