4.5.1 函数的零点与方程的解（分层作业）（解析版）

1/104.5.1函数的零点与方程的解知识点1求函数的零点（方程的根）1．（25-26高一上·江苏·月考）函数的零点为（

）A．1 B．－3 C．1和－3 D．和【答案】C【解析】令，，即，解得或．故选：C.2．（24-25高一上·江西上饶·月考）函数的零点为.【答案】【解析】由得或，即或或.由得或，则不合题意，故函数的零点为.3．（24-25高一上·上海·月考）函数的零点是．【答案】或【解析】令，即，解得或，所以函数的零点是或.4．（24-25高一上·新疆·月考）求函数的零点；【答案】和【解析】当时，，得；当时，，得，所以函数的零点为和.知识点2判断函数零点所在区间1．（24-25高一上·广东阳江·期末）下列区间中，一定包含函数的零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为的定义域为R，且连续，，所以函数的零点所在区间为故选：C.2．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，，则，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.故选：B.3．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知函数，在下列选项中，包含零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数为减函数，也为减函数，函数为连续递减函数，，，由零点判断定理可得函数的零点所在区间为，故选：C.4．（24-25高一下·江苏扬州·月考）（多选）已知函数有两个零点，则零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为的定义域为，所以函数是连续不间断函数，又，，，，，且，，所以由零点存在性定理可知函数在和上有零点.故选：AD.知识点3由函数零点所在区间求参数1．（24-25高一上·山西朔州·期末）已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故即.所以在R单调递增，且在内存在零点，故，即，解得.故选：C.2．（24-25高一上·山东济宁·月考）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为.【答案】【解析】因为函数、在上均为增函数，所以，函数在区间上为增函数，因为函数在区间上存在零点，则，解得，因此，实数的取值范围是.3．（24-25高一下·湖北随州·月考）已知函数的零点位于区间上，则.【答案】【解析】函数的是减函数，，所以，所以函数的零点位于区间上，所以.4．（24-25高一上·湖南岳阳·月考）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为．【答案】【解析】因为在上均为增函数，所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，故若在区间上存在零点，则，解得．故常数a的取值范围为．知识点4判断函数零点的个数1．（24-25高一上·安徽亳州·月考）函数的图象与的图象的交点个数为（

）A．6 B．4 C．2 D．1【答案】C【解析】依题意，，，与的图象关于轴对称，在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，由图可知，两函数的图象的交点个数为2．故选：C．2．（24-25高一上·河南·月考）函数的零点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】令，则，在同一坐标系下分别画出函数的图象，因为，，在定义域上都是增函数，且随着自变量的增大，函数的增长速度远大于的增长速度，所以的图象有两个交点，所以的零点个数为2.故选：C.3．（24-25高一上·天津河东·月考）函数的零点的个数为【答案】2【解析】令，得，即，作出与的图象，可知它们只有2个交点.4．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，则函数的零点个数是.【答案】【解析】由，或，函数的图象如下图所示：由数形结合思想可知：函数的图象与函数、的图象一共有个交点，所以函数的零点个数是，知识点5已知函数零点个数求参数1．（24-25高一上·福建莆田·月考）已知函数，函数，若有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，即，因为有两个零点，则函数和有两个交点，画出函数的图象，如图，由图可知，要使函数和有两个交点，则，即，则的取值范围是.故选：A.2．（25-26高一上·湖南永州·月考）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是．【答案】或，【解析】由于为单调递增函数，且时，，当时，，当时，，作出的图像如下所示：故只有一个交点，则直线与函数的图像只有一个交点，故或.3．（24-25高一上·天津·月考）已知函数，若有4个零点，则的取值范围是．【答案】【解析】令，，所以有4个零点等价于函数与图象有4个交点，作出图象：当时，，所以由图可知.故答案为：4．（24-25高一上·甘肃张掖·月考）已知，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为，当时，，所以在上单调递减，且；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，可得的图象如下所示：因为方程有三个不同的实数解，即与有三个交点，则，解得或，即实数的取值范围为.知识点6函数零点的分布1．（24-25高一上·广东·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为方程有两相异实根，且，则，解得.故选：C.2．（24-25高一上·河北·月考）若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，因为二次方程在上有两个不相等的实根，所以函数在上有两个不同的零点，则，即，解得，所以的取值范围是.故选：C.3．（25-26高一上·江苏南通·月考）若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】二次函数的对称轴为，开口向下，要想满足区间上有且仅有一个零点，需当时，，解得.故选：A4．（25-26高一上·江苏·月考）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，即，解得或，令，则，令，解得，符合题意；令，则，令，解得，不合题意.当时，由题意可得，则，解得；令，则，令，解得或，显然不合题意；令，则，令，解得或2，显然符合题意.综上所述，的取值范围为或.故选：D1．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，则方程实数根的个数为（

）A．10 B．8 C．6 D．5【答案】C【解析】设，则，若，则，解得或，则或，当时，，不合题意，则，或，解得，此时方程仅一个根；若，则，解得或，即或，当时，或，方程即在仅一个根，方程，即，，且，，两根均为负，合题意，当时，，解得或，方程有两根，综上，方程的实根个数为6.故选：C.2．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）若关于的方程（，且）有解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，若有解，等价于，即有解，换元整理得方程有解∵，∴，当且仅当时取等号，∴所以若要有解，需，∴即，∴的取值范围是．故选：A3．（24-25高一下·广东湛江·月考）（多选）若函数有个零点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】依题意可得，令，即或，即或或或，解得，，，，所以，故A正确；，故B正确；（，等号不成立），故C正确；当且仅当时取等号，因为，故D错误.故选：ABC4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的零点为，的零点为，则.【答案】2【解析】依题意，，而函数在R上单调递增，则函数在R上单调递增，而，即，因此，则，所以.1．（25-26高一上·浙江绍兴·月考）已知函数，则在区间（

）上一定存在零点.A． B． C． D．【答案】C【解析】由，当时，函数开口向上，且，则函数必然有两个零点，可设，要使在上存在零点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在零点；要使在上存在零点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在零点；要使在上存在零点，则或，即或，则，所以在上一定存在零点；要使在上存在零点，则或，即或，而的取值不确定，所以在上不一定存在零点.同理，当时，函数开口向下，且，要使在上存在零点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在零点；要使在上存在零点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在零点；要使在上存在零点，则或，即或，则，所以在上一定存在零点；要使在上存在零点，则或，即或，而的取值不确定，所以在上不一定存在零点.综上所述，函数在一定存在零点.故选：C.2．（24-25高一上·福建三明·月考）已知函数，记，若与的图象恰有两个不同的交点则实数的取值范围是.【答案】【解析】由，即，则或，解得或，由，解得或，令，则，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

观察图象知，当或时，直线与函数的图象有2个交点，所以实数的取值范围是或.3．（25-26高一上·广东·月考）已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的所有解之和是．【答案】2【解析】因为，作出函数的图象，（空心点表示不包括端点）其与直线的交点