高中数学人教A版（2019）必修第一册5.7 三角函数的应用 举一反三 （解析版）

5.7三角函数的应用xixxix

快速定位题型题型目录【题型1】三角函数在物理中的应用 2【题型2】三角函数在生活中的应用 8【题型3】三角函数“拟合”模型的应用 13xixix

夯实必备知识新知梳理一、三角函数在物理中的应用1.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0.2.A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T=2πω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f=1T=ω2π给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x=0时的相位φxixix

提升方法技能思维进阶如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin2x−π3，应先变成y=sinxixix

触类方能旁通举一反三【题型1】三角函数在物理中的应用典例（2025春•长兴县月考）如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：h=2sin(πt−π典例A．小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是2厘米 B．小球的最高点和最低点之间的距离是2厘米 C．经过2秒小球往复振动一次 D．每秒小球能往复振动30次【答案】C【分析】求出t＝0时h的值，即可判断出A项的正误；根据振幅的物理意义判断出B项的正误；根据三角函数的周期公式，算出函数h=2sin(πt−π4)的周期T＝2，由此判断出C【解答】解：根据t＝0时，h＝2sin（−π4）可知小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是−2厘米，所以A根据函数h=2sin(πt−π可知小球的最高点和最低点之间的距离是2×2＝4厘米，所以B项不正确；根据函数h=2sin(πt−π4)的周期可知经过2秒小球往复振动一次，所以C项正确；由C项的分析，可知每秒小球不能往复振动30次，所以D项不正确．故选：C．方法点拨处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.【变式1】（2025春•广东月考）科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线为f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|＜π2)，且经过点（1，2），降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为①函数g(x+π②函数g（x）在区间（1，2）上单调递减；③对于∀x∈R，都有f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝0；④∀n∈N*都有f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（n）≤2．其中所有正确结论的编号是③④．【答案】③④．【分析】由f（x）经过（1，2）可求出f（x）的解析式，利用图象平移得到g（x）解析式，可得到g（x+π4）的解析式，可判断①；求出g（x）相位的取值范围，再结合正弦曲线即可判断②；求f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）的值，可判断③，利用f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝0，分n＝3k，k∈N*、n＝3k+1，k∈N*、n＝3k+2，k∈N*三种情况求f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（n）的化简式可判断【解答】解：∵f（x）＝2sin（2π3x+φ）经过点（1，2），则sin（2π3∴2π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=−π6+又|φ|＜π2，∴φ=−π6，∴f（x）＝2sin（对于①，令函数f（x）的周期为T，则T=2π由图可知，将噪声声波曲线向左平移T2∴g(x)=f(x+3∴g(x+π∵g(0+π4)=2sin(π26+对于②，∵g(x)=2sin(2πx当x∈（1，2）时，2π3∴g（x）在x∈（1，2）时单调递增，②错误；对于③，∵f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）=2sin(2πx=2cos2πx=2cos2π=2cos2πx即f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）恒为0，③正确；对于④，由③可得当n＝3k，k∈N*时，f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（n）＝0，则当n＝3k+1，k∈N*时，∵f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（n）＝f（1）+[f（2）+f（3）+f（4）]+...+[f（n﹣2）+f（n﹣1）+f（n）]=f(1)=2sin(2π当n＝3k+2，k∈N*时，f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（n）＝f（1）+f（2）+[f（3）+f（4）+f（5）]+...+[f（n﹣2）+f（n﹣1）+f（n）]，＝f（1）+f（2）＝2sin（2π3−π＝2sinπ2+2sin（π+π6）＝2+2×（故答案为：③④．【变式2】（2025•开封二模）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度（单位：cm）由关系式h(t)=2sin(t+πA．小球在开始振动（即t＝0s）时在平衡位置上方2cm处B．每秒钟小球能往复振动2π次 C．函数h（t）的图象关于直线t=5π4D．小球从t=π4s到【答案】ACD【分析】由h(0)=2可判断A；求得周期可求频率判断B；利用h(5π4)=−2可判断C；求得h(π【解答】解：对于A，当t＝0时，h（0）＝2sinπ4=2对于B，小球往复振动的周期为T=2πω=2π，所以每秒钟小球能往复振动1对于C，因为h（5π4）＝2sin（5π4+π4）＝2sin3π2=−2，所以函数h（对于D，由19π12−πh(19π所以小球从t=π4s到t=19π12s时运动的路程是2+2+1＝5故选：ACD．【变式3】（2024秋•源汇区月考）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式h（t）＝Asin（ωt+φ）确定，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π．小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（）A．h(t)=Asin(πt+πB．t＝9秒与t=53C．当0＜t＜t0时，若小球有且只有三次到达最高点，则t0∈[5，7] D．当0＜t1＜t2＜2时，若t1，t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则sin(【答案】B【分析】根据周期求出ω，代入t＝0得到φ，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D．【解答】解：由题可知小球运动的周期T＝2s，又ω＞0，所以2πω=2，解得ω＝当t＝0s时，Asinφ＝﹣A，即sinφ＝﹣1，|φ|＜π，所以φ=−π则h(t)=Asin(πt−π2)=−Acosπt因为h（9）＝﹣Acos9π＝A，h(5所以t＝9秒与t=53秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为A|−若0＜t＜t0，则0＜πt＜πt0，又当0＜t＜t0时，小球有且只有三次到达最高点，所以5π＜πt0≤7π，解得5＜t0≤7，即t0∈（5，7]，故C错误；因为h（t）＝﹣Acosπt，令t1=1则h(t1)=−Acos满足0＜t1＜t2＜2且t1，t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，此时sin(πt1故选：B．【题型2】三角函数在生活中的应用典例（2025春•市南区期末）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田．如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒A（视为质点）的初始位置P到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心O正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（）典例（参考数据：sin2πA．245 B．265 C．275【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米，表达出h=6sin(π24t+π6)+4【解答】解：以筒车中心O为原点，与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米，由题意可得h＝6sin∠AOx+4＝6sin（∠AOP0+∠P0Ox）+4，又因为筒车半径为6，点P0的纵坐标为3，所以∠P可得∠AOP可得∠AOP0=π可得h=6sin(π24t+π作弦CD平行且等于盛水槽MN，由题意在OC＝6，OD＝6，CD＝4，可得OH=OC2可得CD距离水面的高度为42盛水筒转到盛水槽MN的正上方（即CD之间），能把水倒入盛水槽，即当h=6sin(π所以sin(π24t+π6可得525所以盛水筒A转一圈，有245故选：A．方法点拨解三角函数应用问题的基本步骤【变式1】（2025春•南关区月考）半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为M0．圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为π4rad/s．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且∠M0Ox=π3，则点M的横坐标x关于时间tA．x=2cos(8t+π3) C．x=2cos(【答案】D【分析】设点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数关系式为x＝Acos（ωt+φ），求出A的值，当时间为t（s）时，射线OM可视角πt4【解答】解：设点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数关系式为x＝Acos（ωt+φ），由题意可得A＝2，φ=−π当时间为t（s）时，射线OM可视角πt4则x=2cos(π故选：D．【变式2】（2025春•西昌市期中）如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知摩天轮的半径为50m，其中心点O距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处．在摩天轮转动一圈内，点P距离地面超过85m有多长时间（）A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟【答案】B【分析】由中心点到地面距离得b值，由摩天轮半径得A值，由周期求得ω，再由初始值求得φ得表达式，再解不等式y＞85后可得．【解答】解：中心点O距地面60m，则b＝60，摩天轮的半径为50m，即A＝50，T＝30，ω=2π最低点到地面距离为10m，所以50sinφ+60＝10，sinφ＝﹣1，又φ∈[﹣π，π]，则φ=−π所以表达式为y=50sin(π那么可得y=50sin(π15t−π2取一个周期内，有π6＜π所以在摩天轮转动一圈内，点P有10分钟的时间距离地面超过85m．故选：B．【变式3】（2025春•金溪县期中）如图，某摩天轮的半径为77m，最高点距离地面高度为160m，摩天轮的圆周上均匀地安装了60个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要30min，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点M处进舱，转动tmin后距离地面的高度为H（t）m，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，H（t）关于时间t的函数解析式为（）A．H(t)=77sin(πB．H(t)=77sin(πC．H(D．H【答案】A【分析】设H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（ω＞0），根据题中信息求出A、B、ω、φ的值，即可得出函数H（t）的解析式．【解答】解：设函数H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（ω＞0），根据题意可得A=77A+B=160，所以A=77H（t）的最小正周期为T＝30，那么ω=2π由于从最低点M处进舱，那么可取φ=−π因此函数解析式为H(t)=77sin(π故选：A．【题型3】三角函数“拟合”模型的应用典例（2025•杨浦区模拟）如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知摩天轮的半径为50m，其中心点O距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处．典例（1）根据条件具体写出y（m）关于t（min）的函数表达式；（2）在摩天轮转动一圈内，点P有多长时间距离地面超过85m？【答案】（1）y=50sin(π（2）10分钟．【分析】（1）由中心点到地面距离得b值，由摩天轮半径得A值，由周期求得ω，再由初始值求得φ得表达式；（2）解不等式y＞85后可得．【解答】解：（1）中心点O距地面60m，则b＝60，摩天轮的半径为50m，即A＝50，T＝30，ω=2π最低点到地面距离为10m，所以50sinφ+60＝10，sinφ＝﹣1，又φ∈[﹣π，π]，则φ=−π所以所求表达式为y=50sin(π（2）y=50sin(π15t−取一个周期内，有π6＜π所以在摩天轮转动一圈内，点P有10分钟的时间距离地面超过85m．方法点拨处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤(1)根据原始数据绘出散点图.(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.【变式1】（2025春•遂宁期中）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度f（t）＝Asin（ωt+φ）+h（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π），求函数f（t）解析式及5min时点P距离地面的高度；（2）当点P距离地面(50+203【答案】（1）f(t)=40sin(2π3t−（2）0.5min．【分析】（1）根据题意得到振幅，最小正周期，求出ω=2π3，由f（0）＝10求出φ=−π（2）在（1）的基础上，得到f(t)≥50+203，解不等式，求出3k+54≤t≤3k+7【解答】解：（1）依题意，A＝40，h＝50，T＝3，则ω=2π所以f(t)=40sin(2π由f（0）＝50﹣40＝10，可得40sinφ+50＝10，sinφ＝﹣1，因为|φ|＜π，所以φ=−π故在时刻t时点P距离地面的离度f(t)=40sin(2π因此f(5)=40sin(2π3×5−π2)+50=−40cos10π故5min时点P距离地面的高度为70m；（2）由（1）知f(t)=40sin(2π3t−依题意，令f(t)≥50+203即−40cos(2π所以cos(2π解得2kπ+5π6≤2π3则3k+54≤t≤3k+74由(3k+7可知转一圈中有0.5min可以看到公园全貌．【变式2】（2025春•青岛期中）如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米，设筒车上某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，−π2＜（1）求d与时间t（单位：分钟）之间的关系式；（2）某时刻t0（单位：分钟）时，盛水桶P在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为115米，再经过2π3分钟后，求盛水桶【答案】（1）d=2sin(2t−π（2）43【分析】（1）根据三角函数的周期公式算出ω，由筒车所在圆的半径与轴心O到水面的距离算出A与K，然后根据f（0）＝0确定出φ的值，即可得到d与时间t之间的关系式；（2）则f（t0）=115，算出sin(2t0−π6)=3【解答】解：（1）由题意可知T=2π|ω|=π，结合ω因为筒车所在圆的半径为2米，筒车的轴心O距水面的高度为1米，所以A＝2且K＝1．当t＝0时，d＝0，代入d＝2sin（2t+φ）+1，可得2sinφ+1＝0，即sinφ=−12，结合−π2＜ϕ＜（2）由题意得d=2sin(2t0−π6)+1=115，解得由cos(2t0−所以sin[2(t可得d＝sin[（t0+2π3）−π答：再经过2π3分钟后，盛水桶P到水面的距离为4【变式3】（2025春•铁岭月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直