九年级人教版数学知识点总结

2/2九年级人教版数学知识点总结一、上册知识点（一）数与代数1.一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b解法：直接开平方法：适用于解形如x+m2=n（n≥0配方法：先配方，再降次，将方程化为x+m2=n公式法：利用求根公式x=-b±b2-4ac2a因式分解法：将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0，实现降次。根的判别式：Δ=b2-4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当根与系数的关系（韦达定理）：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1实际应用：解决增长率问题、面积问题、传播问题等，如增长率问题的公式为a1+xn=b，其中a是初始量，x是增长率，n是增长次数，2.二次函数定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、图象和性质：二次函数的图象是抛物线，对称轴为x=-b2a，顶点坐标为-当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。二次函数的表示形式：一般式：y=ax2+bx+c（顶点式：y=ax-h2+k（a≠0），其中交点式：y=ax-x1x-x2（a≠0），其中x1、二次函数与一元二次方程的关系：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解。当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ<0实际应用：解决最大利润、最大面积等问题，通过建立二次函数模型，利用函数的最值求解。例子：最大利润问题：某商店销售一种商品，每件的进价为30元，当售价为40元时，每天可销售200件，售价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每件商品的售价为x元（x≥40），每天的利润为y元，求y与x的函数关系式，并求当售价为多少元时，每天的利润最大。根据题意，y=x-30200-10x-40=x-30600-10x=-10x2+900x-18000=-10x-452+2250，因为-10<0，所以当最大面积问题：用长为40m的篱笆围成一个矩形场地，求矩形场地的最大面积。设矩形的长为xm，则宽为20-xm，面积S=x20-x=-x2+20x=-x-102+100，因为-1<0，所以当x=10时，（二）图形与几何1.旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。性质：对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。旋转前、后的图形全等。中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点Pxy关于原点的对称点为P'2.圆基本概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。圆的性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。点和圆、直线和圆的位置关系：点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r。直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d>r。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。正多边形和圆：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。正多边形的计算：以正六边形为例，正六边形的边长等于半径，正六边形的中心角为60°，正六边形可以分成6个等边三角形，所以正六边形的面积为6×34R2=3实际应用：可以利用圆的性质测量圆形工件的直径，用两把直角三角板和一把直尺，将圆形工件放在直尺上，用三角板的直角边靠在直尺和圆形工件上，测量出两三角板直角边之间的距离，就是圆形工件的直径。弧长和扇形面积：弧长公式：l=nπR180（n是圆心角度数，R扇形面积公式：S=nπR2360=12lR（n是圆心角度数，（三）统计与概率概率初步随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为PA概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率PA=二、下册知识点（一）数与代数1.反比例函数定义：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于图象和性质：反比例函数的图象是双曲线。当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。实际应用：解决实际生活中的反比例关系问题，如路程问题、工程问题等。（二）图形与几何1.相似相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似。两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。三边成比例的两个三角形相似。相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。2.锐角三角函数锐角三角函数的定义：在Rt\triangleABC中，∠C=90°，正弦：sinA=∠A余弦：cosA=∠A正切：tanA=∠A特殊角的三角函数值：角度αsincostan30°13345°22160°313解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。解直角三角形的依据是直角三角形的边角关系（勾股定理、锐角三角函数）。实际应用：解决仰角、俯角、坡度、坡角等实际问题，通过建立直角三角形模型，利用锐角三角函数求解。例子：测量山的高度，在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿山坡向上走100m到达C处，测得山顶B的仰角为60°，求山的高度。设山的高度为hm，在Rt\triangleABD中，∠A=30°，所以AD=3h，在Rt\triangleBCD中，∠BCD=60°，所以CD=h3，因为AD-CD=100，所以3h-h3=100，解得3.投影与视图投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。平行光线形成的投影叫做平行投影，如太阳光、探照灯光线形成的投影；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，如灯光形成的投影。视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。主视图是从正面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形。画三视图时，主视图和俯视图的长对正，主视图和左视图的高平齐，俯视图和左视图的宽相等。三、学习建议（一）数与代数部分一元二次方程要熟练掌握各种解法，理解根的判别式和根与系数的关系，能运用这些知识解决实际问题。二次函数要掌握图象和性质，能根据不同的条件选择合适的函数