2026年高考数学一轮复习：导数与函数的单调性（解析版）

第02讲导数与函数的单调性

目录

01考情解码-命题预警..................................................................1

02体系构建•思维可视....................................................................2

03核心突破•靶向攻坚....................................................................2

知能解码.............................................................................3

知识点1函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）...........3

知识点2求已知函数（不含参）的单调区间.....................................4

知识点3由函数/（x）的单调性求参数的取值范围的方法.........................5

知识点4含参问题讨论单调性..................................................5

题型破译.............................................................................6

题型1利用导数求函数的单调区间（不含参）....................................6

［方法技巧】求单调区间步骤

题型2已知函数），=f（x）在区间。上单调8

［方法技巧］已知函数v=/（x）在区间。上单调等价条件

题型3已知函数“X）在区间。上存在单调区间10

【方法技巧】已知函数在区间。上存在单调区间等价条件

题型4已知函数“X）在区间O上不单调12

［方法技巧］已知函数/（x）在区间。上不单调等价条件

题型5导函数与原函数图象的单调性重14

［方法技巧】导函数与原函数关系

题型6含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））.......17

题型7含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式

分解型）难19

题型8含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因

式分解型）o........................23

04真题溯源•考向感知..............................................................25

05课本典例•高考素材..............................................................29

■01

考情解码•命题预警

考点要求考察形式2025年2024年2023年

全国乙卷（文）T20（2）

（7分）

（1）函数的单调区间全国甲卷（理）T20全国甲卷（文）T20（1）

全国二卷T18

（2）单调性与导数的0单选题（1）（5分）（5分）

(2)(i)(5

口多选题

关系北京卷T20（1）（4全国I卷T19（I）（5

口埴空题分)

（3）含参数单调性讨口解答题分）分）

论全国II卷T6（5分）

北京卷T20（2）（5分）

考情分析：高考对函数单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.高考在本节内容上无

论试题怎样变化，我们只要把握好导致作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问邈利用图像直观

明了地展示出耒，其余的就是具体问题的转化了.

复习目标:

（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（3；分类讨论求函数单调区间，讨论时不重复，不遗漏

02

「体系构建：思维可视］

03

核心突破•靶向攻坚

知识点1函数的单调性与导数的关系(导函数看正负，原函数看增减)

条件恒有结论

ru)>oy=/(x)在(4,»内单调递增

函数)'=/(X)在区

r«<oy=/(x)在(a,b)内单调递减

间(。泊)上可导

fM=0)'=/(x)在(a,Z?)内是常数函数

蛀蚓已知函数y=/Q)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=(a)的图象如图所示，则该函数

B.

【详解】由图可知y=/(%)在(一1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

则y=/(切的切线斜率在(―1,0)上递减，在(0,1)上递增，选项A符合题意；

选项B,y=f(%)的切线斜率在(-1,0)上递增，在(0,1)上递减，不符合题意;

选项C,y=f(%)的切线斜率在(-1,1)上递减，不符合题意；

选项D,y=/(切的切线斜率在上递增，不符合题意.

故选：A.

知识点2求已知函数(不含参)的单调区间

①求y=/(x)的定义域

②求/'*)

③令r(幻>o,解不等式，求单调增区间

④令/'(x)<0,解不等式，求单调减区间

注:求单调区间时，令广(外>0(或/'(x)<o)不跟等号.

自主检测|(2025•甘肃平凉•模拟预测)函数/(幻=x+2cosx(-n<x<兀)的单调递减区间是.

【答案小沙写成信沙忠卜e用，忌)同样给分)

r

［详解】因为/'(%)=x+2COSX(-H<x<K),fM=1-2sinz,

令/'(x)WO,得sinx?"解得2<工4》，

Zoo

所以/•(%)的单调递减区间是上用•

故答案为：周

知识点3由函数/(力的单调性求参数的取值范围的方法

(1)已知函数/(x)在区间O上单调

①已知”力在区间O上单调递增<=>VxwD,r(x)之。恒成立.

②已知/(x)在区间。上单调递减OX/XEO,r(x)4。恒成立.

注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.

(2)已知函数/(X)在区间o上存在单调区间

①已知“X)在区间O上存在单调增区间o令;(外>0,

解不等式，求单调增区间/,则yD

②已知/(X)在区间D上存在单调减区间。令f\x)<0,

解不等式，求单调减区间M,则MqO

(3)已知函数/(x)在区间O上不单调0*0£。，使得/'(为)=0(%是变号零点)

自主检测|已知函数f(x)=|n%-或在区间口,3］上单调递减,则实数Q的取值范围为()

11

A.a>1B.a>1C.>-D.«>-

【答案】A

【详解】因为/(%)=］"1—QX，所以/'(X)=乙-a,

X

因为/"(外在区间［1,3］上单调递减，

所以尸(x)KO,即］-a<0,则Q在［1,3］上恒成立，

因为y=(在［1,3］上单调递减，所以Wax=1，故Q21.

故选：A.

知识点4含参问题讨论单调性

第一步：求y=/(x)的定义域

第二步：求(导函数中有分母通分)

第三步：确定导函数有效部分，记为g(x)

对于＞=/*)进行求导得到广㈤，对r(x)初步处理(如通分)，提出r(x)的恒正部分,将该部分

省略，留下的部分则为了'(X)的有效部分(如：尸(力二e”厂一广+2),则记且(幻=£一依+2为

X

/'(X)的有效部分).接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定了'(X)的正负.

第四步：确定导函数有效部分g(x)的类型：

①g(x)为一次型(或可化为一次型)②g*)为二次型(或可化为二次型)

第五步：通过分析导函数有效部分，讨论y=f(x)的单调性

x

自主检测|(2025•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测)已知函数/(%)=Q+ax+a(aGR).

(1)当a=l时，求f(%)在(OJ(O))处的切线方程；

(2)讨论/(均的单调性，并求最值.

［答案］(l)y=2%+2

(2)答案见解析

x

［详解］(1)当a=1时，f(x)=e+x+1,求导得：f'(x)=J+1，

则/(0)=2,在切=f'(0)=2,

则/(%)在(0,f(0))处的切线方程：y—2=2(x—0),即y=2x+2;

xx

(2)由/(%)=Q+ax+a求导得：=e+a,

①当QNO时，/(幻＞0在R上恒成立，故/(幻在R上单调递增，无最值；

②当avO时，由/(%)=0,解得x=ln(-a),

当xVln(—a)时，/Xx)＜0,则/(%)在(-8/n(-a))上单调递减；

当x＞ln(—a)时，/(幻＞0,/(%)在(ln(-a),+8)单调递增,

所以f(%)在x=m(-。)有最小值，为/(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)+a=/(-a),无最大值.

题型1利用导数求函数的单调区间(不含参)

叵亘|函数/(幻=x-31nx+1的单调递增区间为,

［答案］3+8)

【详解】由题设=令/Q)>0=">3,即/(%)的单调递增区间为(3,+8).

故答案为：(3,+8)

叵回函数y=x-ln(l+x)的递增区间是;递减区间.

【答案】(0,+oo)(-1,0)

【详解】函数y=x-ln(l+%)的定义域为％W(-1,+8),/=1一士=w，

当丫€(—1,0)时，/<0,函数y=不一］£1+幻单调递减，

当x£(0,+8)时，yz>0,函数y=X-］］式1+%)单调递增.

所以函数y=%—1£1+幻的递增区间是(。,+8);递减区间(一1.0).

故答案为：(0,+8)；(-1,0)

方法技巧求单调区间步骤

①求丁=/(幻的定义域

②求八的

③令r(x)>o,解不等式，求单调增区间

④令/'(幻<0,解不等式，求单调减区间

注：求单调区间时，令/'(X)>()(或/'(X)<0)不跟等号.

［变式训练1-1］函数f(x)=1+2x—31nx的单调递增区间为.

【答案】(l,+oo)

【详解】因为/(%)=%+2—?=立詈，

因为%>0,由尸(3)>0可得：X2+2X-3>0,

即(％4-3)(x-1)>0=>x<-3(舍去)或x>1.

所以函数/(%)的单调递增区间为：(1,+8).

故答案为：(1,+8)

［变式训练1-2】函数/(x)=%+2斤三的单调递增区间是;单调递减区间是.

【答案】(-8,0)(0,1)

I详解】函数/(%)=x+2广*的定义域为卜lx<l),又f'Q)=1一六，

令/'(x)=0,得%=().当0cx<1时，f\x)<0;当％<0时，f\x)>0.

/(%)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(一8,0).

故答案为：(-00,0);(04)

［变式训练1-3】函数/(%)=/-3/+2的单调递增区间为.

［答案］(-8,0)和(2,+8)

［详解】f'(x)=3x2—6x>0(xeR),令/'(%)=3x2—6x>0,

解得不<0或x>2.从而/(幻的单调递增区间为(一8,0)和(2,+8).

故答案为：(一8,0)和(2,+8)

题型2已知函数y=/(x)在区间。上单调

例2-1已知关于x的函数y=x3-t2x-tx2+t3在区间(一1,3)上单调递减，则t的取值范围是.

【答案】(-8,-9］”3,+8)

【精细解析】因为y=/一一£%2+13,所以y，=3/一£2一2£%,

因为函数y=%3—t2x—tx2+£3在区间(—1,3)上单调递减，

所以/=3x2-2tx-t2<0在(一1,3)上恒成立,

3x(-l)2+2t-t2<0

所以解得t<一9或£>3,

3x32-2tx3-t2<0

所以/的取值范围是(一8,-9］U［3,4-co).

故各案为：(―8,—9］U［3,+8).

例2-4(2025•江苏・一模)若/(x)=U+ax在［-1，+8)上单调递减，则实数a的取值范围为_______.

e+1

【答案】(一8,—4

【详解】因为/■(%)=U+a%在［一1，+8)上单调递减，

c+1

所以尸(%)<0在［-1,+8)上恒成立，

所以r(%)=-^―+a<。在［-1,+8)上恒成立，

所以aW一岛百在［-1,+8)上恒成立，令贝幻=一”琮，

则g(幻=一导=一缶?一套二一：，

C

当且仅当即无=0时等号成立，所以。工一工，

ccx2

即实数Q的取值范围为(-00,-

故答案为：(-00,-1］.

方法技巧已知函数y=/(x)在区间D上单调等价条件

①已知/(可在区间O上单调递增0Vx£0,r(x)20恒成立.

②已知/(x)在区间£)上单调递减OVxeO,r(x)40恒成立.

注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.

【变式训练2-1】(2025•山西•模拟预测)若函数/•(刈=/+〃。2一%+1)在区间6,3)单调递增，则a的

取值范围是.

［答案］［-3,4-oo)

【详解】/'(X)=3x2+2ax—a,

令/(x)N0,则当x£&3)时，

又因为一产二一,6一9+-^+1］工一,2-7-^+1=-3,

2*T232)4(z-i)2［J2)4(x-i)

当且仅当x=l时等号成立，且当Q二—3时，尸(幻不恒为0,

故a的取值范围是［-3,+8).

故答案为：［-3,+co).

【变式训练2-2】已知函数/"(x)=x+§;在R上单调递增，则m的取值范围为__________.

C+1

【答案】(一8,2］

【详解】由函数/(%)=%+筌，可得f，a)=1+表=产+：(；；**，

因为/'(X)在R上单调递增，所以尸(X)>。在R上恒成立，

即《2工+2(1-m)J+1之0在R.卜恒成立，

x

令t=e6(0,4-oo),即d+2(1-jn)t4-1>0在(0,+8)上恒成立,

所以2m-2Wt+：在(0,+8)上恒成立，

因为当t>0时，t+g\2,当且仅当t=l时，等号成立，所以2m-2W2,解得机工2,

所以m的取值范围为(一8,2］.

故答案为：(-00,2］.

［变式训练2-3】已知函数f(%)=x2।3IInx在(2,I8)上单调递增，则实数a的取值范围

是.

【答案】11+8)

【详解】由题可知，/'(%)=2%+§+aN0在(2,+8)上恒成立，

即2x+^>-a恒成立，

令丁=2X+工，则y'=2-W>。，所以函数y=2%+*在(2,+8)上单调递增

XXX

所以2x+n，解得QN*，则实数0的取值范围是卜］+8).

故答案为：［―g，+8).

,新角电题型3已知函数/(》)在区间。上存在单调区间

|例3」|已知函数f(x)=lnx+(x-b)2(6eR)在［曰，注］上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是

()

A.(一8,乎)BS.乎］

C(-8,邛)D•(-8,苧］

【答案】A

【详解】因为函数/(均在［苧，a］上存在单调递增区间，

所以广(X)＞。在白，闾上有解，且/(%)=1+2(%_b)=g+2%―2b,

所以bv《+吹ax，混偿，闾，

令g(x)=或+%%w管闾,则？口)=一点+1，

当XE悖闾时，g'(x)＞0,则函数g(x)单调递增,

所以g(x)max=9(甸=泰+/=?，

所以b＜乎，即实数b的取值范围是(一8,乎)

故选：A

x

|例3-4(2025•山东威海•三模)已知函数/(x)=a-loga(x+1)(。＞1)在(0,+8)上存在单调递减区间，则

Q的取值范围是()

A，(1化］B.(1化)C.卜+8)D.(及+8)

【答案】B

［详解】求导可得/(%)="Ina-正不，

由题意/''(%)=。*竟，一(+；)［的＜0有解，

即⑹皿＜小有解，

即+l)(lna)2＜1有解，

令。(%)=Q«x+l)(ina)2,

因为a＞1,易知g(x)=ax［x+l)(lna)2在(0,+8)单调递增,

此时g(0)=(Ina)2,所以(Ina)?<1,

又G>1,Ina>0,

所以0<InaVI,解得：IVqVq,

所以a的取值范围是(l，e).

故选:B.

方法技巧已知函数/(x)在区间。上存在单调区间等价条件

①已知/(X)在区间。上存在单调增区间o令r(x)>o,解不等式，求单调增区间/,则/三。

②已知/(力在区间。上存在单调减区间O令/'*)<(),解不等式，求单调减区间则MqO

［变式训练3-1］若函数/(%)=］/+a/—2在区间(51)内存在单调递减区间，则实数Q的取值范围是

()

A.(―8,B.(一1+8)C.(一：，+8)D.(—8,+8)

【答案】A

【详解】由已知可得;■(%)定义域为(0,+8),/(%)=：+2年=如产

当a=0时，解((%)=：<0可得了<0,不满足定义域；

当aHO时，令g(x)=2a令+1,

要使函数/(幻=仙无+axz-2在区间1)内存在单调递减区间，

只需满足g<0或g(l)<0.

由g(?<0可得，9(?=；+1<0,此时有aV-8;

由g⑴<0可得，g⑴=2a+1<0,此时有a<一去

所以，a<

综上所述，a<—士

2

故选：A.

【变式训练3-2】(多选)若函数/a)=in%+Q无2—2在区间(a2)内存在单调递增区间，则实数a的取值

可以为()

A.a=-3B.a=-2C.a=-1D.a=0

【答案】CD

［详解】rJ(\%)/=-X+2ax=X

因为函数/(x)=Inx+ax2-2在区间(右2)内存在单调递增区间，

所以2ax2+1>。在G，2)内有解，所以Q>—专有解，

由于入住2),所以一«；,4),故—今«—2,-)

则实数Q的取值范围是(一2,+8),结合选项可知Q=-l,Q=0符合题意.

故选：CD.

［变式训练3-3］若函数h(x)=\r.x—^ax2一2%在及，2］上存在单调递减区间，则实数a的取值范围

为.

【答案】(-l,+oo)

［详解］依题意，/1'(%)=：-。%一2<0在区间G,2)上有解，

即G>或一;在区间&2)上有解，

设t=5,则t£&2),故只需求/⑴=/一2£在CW&2)上的最小值，

而/Q)=亡2-2C=(t-1)2-1,当£=1时，取得最小值—1,故得Q>—1,

则实数Q的取值范围为(一1,+8).

故答案为：(一1,+8)

,▼新角度题型4已知函数/(“在区间。上不单调

回亘］已知函数f(%)="+alnx—(a+1)%在区间(1,3)上不单调,则实数a的取值范围为()

A.(-co,1］B.(1,3)C.［1,3］D.(3,+8)

【答案】B

【详解】函数/(%)=；/+alnx—(a+1)》在区间(1,3)上不单调，

则/'(%)=0在区间(1,3)上有零点.

所以/口)=X+：(a+1)=4呼)>”=(…产7=0,得必=a,%2=l(舍)，

故ae(1,3),使将函数/(x)在(l,a)上递减，在(a,3)上递增，

所以实数a的取值范围为(1,3).

故选：B.

|例4-21已知函数f(x)=//在匕t+1］上不单调，则t的取值范围是.

【答案】(-3,-2)U(-1,0)

【详解】由题意可知：/(幻的定义域为/?,且尸(%)=(/+2幻/，

令((x)〉0,解得工>0或XV-2;令f'O)v0,解得一2Vx<0；

可知/(%)在(一8,-2),(0,+8)上单调递增，(一2,0)上单调递减,

若/(%)在1］上不单调，

则以；42或L：；2。，解得一3<t<一2或—1<£<。，

即实数t的取值范围是(一3,-2)Ul-1,0).

故答案为：(-3,-2)U(-1,0).

方法技巧已知函数/(X)在区间。上不单调等价条件

已知函数/(X)在区间。上不单调=%£。，使得/'(毛)=0(小是变号零点)

［变式训练4-1］若函数/(%)=/-历％在区间(m，m+l)上不单调，则实数小的取值范围为()

A.(0弓)B.(y-l,y)C俘一1,0)D.(0,@

【答案】R

【详解】函数/(%)=/-1%,其定义域为(0,+8),

对/(%)求导得/'(%)=2x-1=

令/口)=0,可得x=与.

当0V当时，f(x)<0,/•(%)单调递减；

当工>孝0九2/-1>0,/(%)>0,/(幻单调递增.

m<芋

因为函数/•(%)在区间(科6+1)上不单调，所以

m4-1>-

所以m的取值范围是住一1,当,

故选：B.

【变式训练4-2】若函数/(乃一］%在(0,k)上不单调，则实数k的取值范围是_____

2

［答案1(1,十8)

【详解】已知/(%)=9-lnx,其定义域为(0,+8).

对/(外求导可得：r(x)=x-i=^=(x+i^-1).

令/'(%)=0,即因呼二父=0,因为x>0,所以％+1>0,则％—1=0,解得x=l.

当0<%<1时，x-1<0,x>0,%+1>0,所以尸(x)<0,函数f(z)在(0,1)上单调递减；

当不」时,x-l>0,x>0,x+l>0,所以广(x)>0,函数f(x)在(1,+8)上单调递增.

因为函数/■(>)在(0,k)上不单调，所以k>l.

故实数k的取值范围是(1,+8).

故答案为：(1,+8).

【变式训练4-3】已知函数/"(%)='第一ax+2在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为.

【答案】6,1)

，

［详解］•••/(X)=］nx—ax+2,•-fM=-X-a=X

当aWO时，/(%)=詈>0,.•・函数f(x)在(1,2)上单调递增，不符合题意；

当a>0时，令/''(%)>0,解得令/(x)v0,解得

•.•函数/(%)在(1,2)上不单调，<}<2,解得

故答案为：Q,l).

题型5导函数与原函数图象的单调性

例I5-1已知下列四个图象之一是囱数/(%)在某区间的图象，且/(x)的导函数/(%)在该区间的图象如图所示,

【详解】不妨设f(x)在区间(a,b)(Qv0,b>2,Q可为一8,b也可为+8)内的图象,

由/'(3)的图象可知，当aV%V0或2Vxeb时/''(X)>0,当0<%V2时/1'(x)V0,

所以/(%)在(a,0),(2,b)上单调递增，在(0,2)上单调递减,故排除C、D；

又/'(外在(a,0)上单调递减，则/(%)在(。,0)上切线的斜率逐渐减小，

且由尸(%)的图象可知当XTa时/(%)趋近于一个常数(正数)，

所以/(好的切线斜率不趋近于+8,故排除A.

故选：B

例5-2|(多选)如图是函数y=/(x)的导函数y=/(%)的图象,则下列判断正确的是()

加

・?/T\23,/f「

i~~5

A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增B.在区间(2,3)上/'(x)单调递减

C.在区间(4,5)上/(%)单调递增D.在区间(3,5)上f(%)单调递增

【答案】BC

【详解】由图知，在区间(-3,-|),(2,4)上/⑺V0,在区间(一右2),(4,5)上/(x)>0,

所以y=/(©在(一2,1)、(3,5)上不单调,在(2,3)上单调递减,在(4,5)上单调递增.

故选：BC

方法技巧导函数与原函数关系

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数/。)单调递增O导函数r(x)20(导函数

等于0,只在离散点成立，其余点满足外幻>0);原函数单调递减o导函数r(x)40(导函数等于0,

只在离散点成立，其余点满足/(玉)<()).

［变式训练5-1］设函数/(均在定义域内可导，y=/(%)的图象如图所示，则其导函数y的图象可

能是()

【详解】由］(x)的图象可知，当为€(-8,0)时，函数单调递增，则r(x)NO,故排除C,D;

当xt(0,+8)时，f(x)先递增，再递减最后递增，所以所对应的导致值应该先大于0,

再小于0,最后大于0,排除B.

故选,:A.

［变式训练5-2】设尸(%)是函数/(%)的导函数,y=f'(乃的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是

【详解】由广。)的图象可知，当xv0时，f'Q)>0,则y=/(x)单调递增；

当x6(0,2)时，/'(%)<0,y=/(x)单调递减；当XW(2,+8),f'(x)>0,y=/(x)单调递增;

满足该函数单调性的，只有选项D对应的图象.

故选：D.

【变式训练5-3】（多选）已知函数y=/（%）的导函数y二（（切的图象如图所示，则函数y=/（x）的图象不

可能是（）

［答案］ACD

【详解】由y=，（幻的图象知,当（一1,1）时,r（x）>0,

所以y=f（x）的图象在（一1,1）上单调递增，

且在区间（一1,0）上增长的速度越来越快，

在区间（0,1）上增长的速度越来越慢.

对于A,函数y=f（%）在区间（一1,0）上增长的速度越来越慢，

在区间（0,1）上增长的速度越来越快，故A不可能；

对于B,函数y=/（%）在区间（一1,0）上增长的速度越来越快，

在区间（0,1）上增长的速度越来越慢，故B可能；

对于C,函数y=f（x）在区间（一1,1）上增长的速度越来越快，故C不可能;

对于D,函数y=f（x）在区间（一1,1）上增长的速度越来越慢，故D不可能.

故选：ACD.

题型6含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））

x

|例=ae-2x-l,ae

（l）a=3,求曲线y=/（x）在点（0J（0））处的切线方程

（2）讨论/'（%）的单调性

［答案】(l)x—y+2=0;

(2)答案见解析.

【详解】(1)当a=3时，/(%)=3｝一2%一1,求导得r(x)=3J—2,则r(0)=1,而/(0)=2,

所以所求切线方程为：y—2=1-(%—0),即％-y+2=0.

x

(2)函数/(无)=aj—2为一1的定义域为R,求导得/。)=ae-2,

当GW0时，/。)<0恒成立，函数/(%)在R上单调递减；

当G>0时，由((x)<0,得久〈］岭；由尸(%)>0,得％>1吟

函数/⑴在(一8,Ing)上单调递减，在。吟+8)上单调递增，

所以当QW0时，函数/(x)在R上单调递减；

当G>0时，函数/(%)在(一8,1硝上单调递减，在(1喙+8)上单调递增.

I例6-21已知函数/(幻=in为一£+1.

(1)讨论f(%)的单调性;

【答案】(1)答案见解析

【详解】(1)由题意可知xW(0,+8)J(x)=］nx/+l,则/口)=/委=詈，

当aN0时,尸(%)>0恒成立,/(%)在(0,+8)上单调递增，

当G<0时，由尸(外>0解得由广(幻V0解得0VX<—Q,

所以/(%)在(一a,+8)上单调递增，在(0,-。)上单调递减.

综上所述，当QZ0时，/(%)在(0,+8)上单调递增，当Q<0时，/(幻在(_①+8)上单调递增，在(0,—a)

上单调递减.

［变式训练6-1］已知/(x)=Inx+ax.

⑴若Q=2,求/'(%)在(e，/(e))处的切线的斜率；

(2)讨论f(%)的单调性;

［答案］(1)2+-

C

(2)答案见详解

【详解】(1)当。=2时，/(x)=inx4-2%,则/'(%)=：+2,

所以所求切线的斜率为尸(C)=-+2.

e

(2)由/a)=ln%+ax,x>0,则/'(X)=1+Q,

当G20时，f'W=^+a>0,即/(%)在(0,+8)上单调递增，

当GV0时，尸(%)=等,

由/'(x)>得。<x<——,由/'(%)V0,得x>——,

所以f(x)在(0,-3上单调递增，江(一,+8)上单调递减，

综上，当QN0时，f(x)在(0,+8)上单调递增；

当G<0时，/(均在(0,-3上单调递增，在(一；,+8)上单调递减.

x

［变式训练6-2•变载体］设函数/［%)=Q-ax-l.

⑴求八无)的单调区间；

【答案】(I)答案见解析；

【详解】(1)由题设/(幻=/-明

当GW0时，/(公>0恒成立，故/(幻的增区间为R,无减区间；

当G>0时，令/'(%)=0,得％=Oa,故(-8,Ina)上/'(%)V0,(Ina,+8)上;(%)>0,

所以/(%)的减区间为(—co,Ina),增区间为(Ina,4-oo).

题型7含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型(或可化为二次型)且可因式分解

型)

帆7-1|(已知函数/(幻=x2-(2G+l)x+。皿%伍ER)

(1)若a=—1,求/(%)的最小值

(2)讨论/Xx)的单调性;

［答案】(D；+ln2

(2)见解析

2

【详解】(1)a=-1时，/(x)=x+x-jnx(x>0),f'(x)=2%+1-^=

令/'(%)=0得%=:或％=-1(舍)，

当OVxV；时，尸(x)V0,/(切为减函数；当时，f(x)>0,/(%)为增函数；

所以/(%)的最小值为/Q=：+ln2.

(2)fr(a)=2x-(2a+l)+^=2产-(2：+1"+”(2x-l)(x-a)

当G40时，xW(O，)时，/'(X)<0,f(x)单调递减；%€(：,+00)时，f'(x)>0,f(%)单调递增；

当OVQV1时，％W(O,a)时，f'(x)>0,/(%)单调递增；时，f'(x)<0,/(%)单调递减；xG

@,+8)时，r(x)>o,/•(“)单调递增；

当G=g时，f(x)>o,且不恒为0,/"(%)在定义域内单调递增；

当a>3时，％£(0弓)时，f(x)>0,f(x)单调递增；

xwg,。时，/'(x)vO,f(x)单调递减；x£(a,+8)时，f’a)〉。，/(x)单调递增；

综上，aWO时，》£(0，)时，/⑺单调递减，XE&+8)时，/(%)单调递增；

OVaV”寸，X£(0,Q)时，/(%)单调递增，X€(Q，3时，/(%)单调递减，x6+8)时，/(切单调递

增；

a=：时，/'(x)在定义域内单调递增；

Q>《时，xw(o，m时，/"(%)单调递增，时，/(X)单调递减，*E(a,+8)时，/(%)单调递增.

r

例7-2|(2025•新疆•模拟预测)已知函数/(%)=aJ+e--(a-l)x+1.

(1)若函数/(%)的图象在(L/(l))处的切线与直线无一1=0垂直，求实数a的值；

(2)讨论函数/(》)的单调性;

［答案］(l)a=-1

e

(2)答案见解析

［详解］—-g-

CC

因为函数/(X)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线X—1=0垂直，

所以,⑴=(%+i)Q-D=O,解得Q=-L

ec

(2)当aNO时，令/'Q)=0,=0,当x<0时，/'(¥)<。，/(%)在(一8,0)单调递减，x>0时,

f(x)>0,f(%)在(0,+8)单调递增;

当a<0时，令/'(%)=0,得与=0,x2=In

当一1<Q<0时，-^>1,>0,

所以当xv0,或无>In(-，)时，尸(%)V0,/(%)在(一8,0),(in+8)单调递减,

当0V”Vln(-；)时,r(x)>0,f(%)在(O,ln(-j))单调递增;

当(2=一1时，((x)40恒成立，所以/(X)在(-8,+8)单调递减；

当aV—1时，一/<1,所以当％Vln(一：)或K>0时，//(x)<0,/(%)在(-8,ln(-J),

(0,+8)单调递减,

当g(-j)VXV0时，r(x)>0,/1(%)在单调递增；

综上所述，QN0时，/(；0在(一8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增;

当-lVaVO时，/(x)在(一8,0),(in(-/),+8)单调递减，在(0,In(-：))单调递增;

当。=—1时，f(丫)在(―8,+8)单调递成；

当GV-1时，/(%)在18,ln(-3),(0,+8)单调递减，在(ln(—?,0)单调递增.

［变式训练7-1］已知函数/'(%)=x3+ax2—a2x—1.

(1)设Q=1,求曲线f(x)在点4(0,-1)处的切线方程；

(2)讨论/'(%)的单调性；

［答案］(l)x+y+1=0

(2)见解析

［详解】(1)因为Q=1,所以函数/(%)=X3+X2—X—1.

对函数求导得：f'M=3x2+2x-l.

因为点4(0,-1)在曲线/(%)上，所以曲线/'(%)在点4(0,-1)处的切线斜率为-I,

故曲线f(x)在点力(0,-1)处的切线方程为y+1=-(x-0),

即x+y+1=0.

(2)因为/(幻=x3+ax2-a2x-1,所以f'(%)=3x2+2ax-a2=(3x-a)(x+a).

令/'(%)=0，则%=一。,X=今

当G>0时,xE&+8)或工G(一8,—a)时,f'M>0;xG(—a，：)时，f'M<0-

此时，f(x)的单调递增区间是C，+8),(—8,—a),单调递减区间是(-a,

当GVO时，xW(—a,+8)或％w(―8,5)时，/(%)>0;xE时，/'(X)<0.

此时，/■(X)的单调递增区间是(一出+8),(-co,0,单调递减区间是-a)

当《=0时,f\x)=3x2>0,此时函数f(x)在R上单调递增.

综上所述，当Q>0时，外幻的单调递增区间是(枭+8),(-co,-a),单调递减区间是(一0,三)；

当GV0时，外外的单调递增区间是(—a,+8),(-oo,0,单调递减区间是6，-a)；

当G=0时，函数f(x)在R上单调递增.

［变式训练7-2】(2025・河南・二模)已知函数/(%)=+ainx—(a+l)%(aWR).

(1)讨论/(%)的单调性.

【答案】(1)答案见解析

【详解】(1)f(x)的定义域为(0,+8),且尸(幻二公一(a：).=("*一公,

①当aWO时，由/''(>)<0,得0Vx<1,由/0)>0,得％>1,

所以函数/•(>)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

②当Q=1时，/'(幻?。恒成立，故函数/(X)在(0,+8)上单调递增；

③当OVaVl时，由((X)<0,得aVxV1,由/'(%)>0,得％>1或0V%Va,

所以函数/•(%)在(a,l)上单调递减，在(0,a),(1,+8)上单调递增；

④当Q>1时，由/'(X)VO,得1vxVQ,由，(x)>0,得X>a或OVxVl,

所以函数/(外在(La)上单调递减，在(0,1),(a,+8)上单调递增；

综上：当aWO时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

当0<a<l时，函数/(外在(Q,1)上单调递减，在(0,a),(1,+8)上单调递增；

当a=l时，函数/'(X)在(0,+8)上单调递增；

当G>1时，函数f(%)在(l,a)上单调递减，在(0,1),(a,+8)上单调递增.

【变式训练7-3•变载体】(2025•江西•二模)已知函数/(幻二：e2x-(2Q+l)e'+2ax+*

(1)当a=一;时，求函数y=f(x)的图象在％=0处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性;

【答案】(Dy=2

(2)答案见解析

2x

【详解】(1)当a=_.时,f(x]=-x+=e-1J(0)=2,/XO)=0,

所以函数y=f(%)的图象在％=0处的切线方程为y=2.

(2)((无)=-(2a+1)J+2Q=(J-2Q)(J-1),

x

当aWO时，e-2a>0,所以当xW(—8,0)时，尸(切v0,/(x)单调递减，当x€(0,+8)时，((x)>

0,/(x)单调递增；

当G>0时，由:(幻=0,得x=。或x=]n(2a)，

当2a=1即a=：时，/(%)>0,/[工)在/?上单调递增，

当OVQV^时，％W(]n(2a),0)时，/'(x)V0,/(均在(]式2。),0)上单调递减，

xe(一8如(2Q))和xe(0,+8)时./''(%)>0,/(x)在(-8,[n(2a)),(0,+8)单调递增；

当G>：时，1£2。)>0,%€(0,历(2。))时，尸(幻<0,/(均在(0，1式2。))上单调递减，

xG(一8,0)和％G(]£2(1),+8)时，/(x)>O,f(x)在(-8,0),(]式2矶+8)上单调递增.

综上可得，QWO时，f(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)上单调递增；

a=4时，"%)在R上单调递增；

O<av：时，f(%)在(]n(2a