北京市海淀区2024-2025学年高一年级上册期末考试数学试题（含解析）

海淀区高一年级练习

数学

2025.01

1.本试卷共5页，共三道大题，19道小题.满分100分.考试时间90

考

分钟.

生

2.在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名.

须

3.答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答.

知

4.考试结束，请将本试卷交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.三知集合'=(一臼，'={一2,-L0.123},则/口9=()

A.(-1,3]B.{-1,0,1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,23}

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件,利用集合的运算.即可求解.

【详解】因为』=(T3],Z?={-2,-1,0,1,2,3},

所以4n3={0,1,2,3},

故选:C.

2.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+")上单调递增的是()

A./(X)=\/xB.f(x)=ex

C./(x)=-VD./(x)=In|x|

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇偶性、单调性逐项分析判断.

【详解】对于A,函数/(x)=G定义域为[0,+8),不具奇偶性，A不是：

对于B,B不是；

c

对于C,函数/(x)=g在(O,+笺)上单调递减，C不是；

对于D,函数/'(x)=ln|x|定义域为(-oo,0)U(0,+8),j\-x)=In|-x|=j\x),

函数/(x)是偶函数，当x>0时，/(戈)=111》在(0,+8)上单调递增，D是.

故选：D

3.已知函数/(x)=3"+x,在下列区间中，一定包含/(%)零点的区间是()

A.(-1,0)B.(-2,-1)

C.(0,1)D.(1,2)

【答案】A

【解析】

【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.

【详解】函数y=3'j=x都是R上的增函数，则函数/*)=3*+x是R上的增函数,

2

而f(-l)=3-,-l=--<0J(0)=1>0,

所以/(幻的零点在区间(T,。)内.

故选：A

4.某校高一年级有240名男生，200名女生.为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法,

从该校高一学生中抽取容量为〃的样本进行调查，其中女生50名，则〃的值为()

A.120B.110

C.80D.60

【答案】B

【解析】

【分析】利用分层抽样的定义，列式计算得解.

n_50

【详解】依题意,所以〃=11().

240+200-200

故选：B

5.已知"l°g，％=唾25,0=24则实数乩c的大小关系是()

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.

【详解】依题意，"㈣4<】叫1=0<2-°5<2°=1=噫2<匾5=,

因此实数a,b,c的大小关系是方

故选：B

6.若a<b<0,则下列不等式成立的是()

ba

A.ab<b2B.—>一

ab

C.D.a2<lr

ab

【答案】C

【解析】

【分^tJi】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断.

【详解】对于A,由。</)<0,得A错误;

对于C,由a<〃<0,得—a>—b>0,—>—>0,C正确;

ba

对于B,由-a>-b>0»—>—>0,因此一>一,B错误;

haba

对于D,由。<力<0,得一一b>0,a2>b2>D错误.

故选：C

7.已知函数/.(x)=x+2(x>0).若/(xR4恒成立，则。的耳又值可以是()

x

A.-1B.1

C.3D.5

【答案】D

【解析】

【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可.

【详解】当x〉0时，不等式/。)24=1十q24=。2-/+4工，

X

依题意，Vx>0,。2-犬+4x恒成立，而当x>0时，一一+4x=-(x-2)2+4W4,

当且仅x=2时取等号，因此。24,ABC不是，D是.

故选：D

8.点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量"(单位：dD)与传播距离

r（单位：m）的关系式为刈=10.电（口2）+〃，其中左为常数.当传播距离为4时，衰减量为AZ,；当传

播距离为G时，衰减量为刈2•若弓=2、则AL?-AL1约为（）（参考数据：加2*0.3）

A.6dBB.4dB

C.3dBD.2dB

【答案】A

【解析】

【分析】利用给定的模型，结合对数运算计算得解.

【详解】依题意，AIZ=10/g（叫2）+（100g（说）一斤=201g殳=201g2*6（dB）.

故选：A

9.设函数y=/（x）的定义域为。，开区间/q。，则“VX.G/,3X2w/且玉＜々，都有f（x）＜/（x2）”

是“歹二/（4）在/上是增函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合增函数的定义判断得解.

【详解】函数v=/（x）在/上是增函数，则且玉＜工2,都有/但）＜/（々），必要性成立;

x,xe(-l,O)u(O,l)

取函数/(x)=<,区间/=(—1,1),

-l,x=0

显然\/玉6/,工马6/且王＜工2,都有/（为）＜/（£），而函数/（X）在/上不单调，充分性不成立,

所以“\/七6/刁七£/且石＜%，都有/（王）＜/（%）”是“N=/（X）在/上是增函数”的必要不充分条

件.

故选：B

2Xx＜1

10.已知函数/（切二12'"，若/（x）在区间（。））上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确

x-4x,x＞1

的是（）

A.。有最小值B.。有最大值

C.〃有最小值D.〃有最大值

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本函数的图象与性质，得出/'"）的图象，再结合条件及图象，即可求解.

2XY<1

【详解】因为/（x）=1；",当时，/（x）=2、，易知/（x）在区间（一8,1］上单调递增，且

X--4x,x>1

/⑴=2,

/（X）=X2-4X,对称轴为X=2,易知/（工）在区间（1,2）上单调递减，在区间（2,+8）上单

调递增，

/（工）图象如图所示，由/-4x=2，得到x=2+#或x=2-6<0（舍），

又/V）在区间（。力）上既有最大值，又有最小值，由图知，2<^<2+x/6>

所以选项A,B和C错误，选项D正确，

故选:D.

【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用基本函数的图象与性质，求作出/W的图象，再数形结合，即

可求解.

第二部分（非选择题共60分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

口.计算：（五）。+（看）2=

【答案】

4

【解^析】

【分析】根据条件，利用指数幕的运算，即可求解.

【详解】因为(C)。+j=1+;=:，

故答案为：一.

4

12.己知命题夕:若二次函数/'(X)满足/(0)/(3)>0,则/G)在区间(0,3)内无零点.能说明夕为假命题

的一个函数是.

【答案】/(X)=X2-2X+1(答案不唯一，/(外二依之+乐+^。/。)，满足。>0时，

A=Z>2-4ac>0A=Z?2-4ac>0

0<--<3-.0<-—<3

2a或。<0时，，2a即可)

r（o）=c>o/（0）=c<0

f（3）=9a+3b+c>0/⑶=9〃+3b+c<0

【解析】

【分析】令/口)="2+8+。("0),根据条件，先假设/⑴在区间(0,3)内有零点，利用二次函数根

的分布，建立〃力,c的不等关系，通过取值。力,c,即可求解.

【详解】令/（x）=ar2+/）x+c（4wo）,由/（0）/'（3）>0得到c（9〃+3b+c）>0,

A=Z?2-4rzc>0

0/b<3

当“>0时，假设/*）在区间（0,3）内有零点，则有，五①，

/（0）=c>0

/⑶=9Q+3"C>0

不妨取4=1力=-2,。=1,显然满足①式，此时/'（工）=工2-21+1=（犬一1）2,

令/'（x）=0,得到x=le（O,3）,

所以/*)=/-2%+1,满足/(0)/'(3)>0,但/(x)在区间(0,3)内有零点，故/*)=/-2工+1满足

题意,

A=/>2-4ac>0

0<-—<3

当。<0时，假设/(x)在区间(0,3)内有零点，则有•2a②,

/（0）=c<0

J\3）=9a+3h+c<0

不妨取。二-1/=2,。=-1,显然满足②式，此时/（工）=一/+2.♦1=-（工一1『，

令/（幻=0,得到x=lw（O,3）,

所以/口）=一12+2工一1,满足〃0）/（3）>0,但/（%）在区间（0,3）内有零点，故/（刈=一/+21一1满

足题意，

故答案为：/（x）=/-2工+1（答案不唯一，/（x）=ax2+Z?x+c（67^O）,满足。〉0时,

△=-Aac>0A=Z>2-Aac>0

0<--<3-.0<---<3

2a或。<0时，，2a即可）.

/(0)=c>0/(0)=c<0

/⑶=9a+3b+c>0/'(3)=9〃+3b+c<0

13.已知/（工）=/一26+力的图象经过点（2%1）,则6=；若方程/。）二0有两个不等实数

根占户2，满足玉+工2>玉工2，则实数。的取值范围为.

【答案】①.1a>\

【解析】

【分析】根据条件，代入即可求解6,再利用方程有解的条件及根与系数的关系，即可求解出实数。的取值

范围.

【详解】由题知/（2。）=（2。丫-2。><2。+6=1,得到〃=1,

所以/（幻=/_26+1,又方程/（x）=0有两个不等实数根A，%，

'△=4/-4>0

则<*+工2=2。,+x2>x］x2,得到2。>1,得到

x^x2=1

由4/一4>0，得到。>1或。<一1,所以

故答案为：1：a>\.

14.已知/⑶是定义在［-4,4］上的奇函数，当xc（0,4］时，f（x）的图象如图所示，则不等式x/（x）«0

的解集为.

【答案】[—1,1]

【解析】

【分析】根据给定的图象，可得函数的单调性，再分段求解不等式.

【详解】观察图象知，奇函数/W在(0,4]上单调递增，则在[-4,0)上单调递增，且/(-1)=一/⑴=0,

不等式x/'(x)W0,当x=0时，不等式成立；

当工〉0时，=解得0<x«l；

当上<0时，/(x)之0=/(—1),解得一lWx<0,

所以不等式x/(x)<0的解集为[-1,1].

故答案为：[-1,1]

15.函数/(x)=ln[x2],其中[〃]表示不超过。的最大整数.给出卜.列四个结论：

①/、*)的定义域为(一叫0)U(0,+8)；

②方程/(x)=l没有实数根；

③函数g(x)=f(x)-2lnx的值域为(-In2,0]；

④存在实数/，使得当再,当£(0，+8)且=f时，都有1%一々1<感.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】举例说明判断①；解方程并结合函数的意义判断②；令[Y]=k£N・，结合单调性求出值域判断

③；取Z=ln〃,〃£N’，确定取值区间推理判断④即可得解.

【洋解】对于①，当x=g时，口2]=(),函数/(、)无意义，。错误；

对于②，由得[/]=e,而[/]£Z,e史Z,因此方程〃幻=1没有实数根，②正确；

对于③，函数g(x)=ln[x]-lnx2,令卜2]=%EN"则〃V—cA+l，InZr<Inx2<ln(Zr+l),

Int-In(攵+1)<ln[x2]-lnx2<0»而In%-ln(Z+1)=ln—=ln(l----)，

%+lk+\

1-」一随攵的增大而增大，贝也一/一之1，]n(1-/一)Nln!，

k+\k+\2k+\2

因此一In2<ln[x2]-]nx2«o,函数g(x)=/(x)—21nx的值域为(-In2,0],③正确；

对于④，W/=lnA,AEN*,[1]=&wN*,k<x2<k+\^由x>0,得&Wxvj)+l，

令X1,x2G[4k,dk+1),贝ij[X]-x21<Nk+\一«,由\/k+1-4k<—!—,

2025

得五工1+“22025,而仄讦十五>2次，当2«>2025,®^>10132，

此时x”％2Jk+1)，片,心£[左,左+1),|>；]=居]=左,

f(^)=f(x2)=\nk=t,都有|演_工21<右3，④正确，

所以所有正确结论的序号是②③④.

故答案为：②③④

【点睛】关键点点睛：令，]二%cN"借助单调性是求出函数g(x)的关键.

三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知关于X不等式的解集4={MUWXW4},集合8={X|〃L3MXW〃?+3}.

(1)求实数。的值：

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数〃，的取值范围.

条件①：[一2,4怛(/1UB)；

条件②：AV\B=A.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分

【答案】(1)a=2

(2)选择见解析，答案见解析

【解析】

【分析】(1)根据绝对值不等式的几何意义，得到Q—2WXWQ+2,再结合条件，即可求解：

/〃-3V—2

(2)选择①，根据条件，结合图形，得到〈，八，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得

m+3>0

m-3<0

到：、4即可求解.

I/w+3>4

【小问1详解】

由,一川42,得到一2Wx-a«2,即n-2«xKa+2,

又因为关干工不等式值一&«2的解集[={乂0(]04},

67-2=0

所以）/解得a=2,所以实数a的值为2.

。+2=4

【小问2详解】

选择条件①,因为力={司04x44},B={x\m-3<x<m+3},

又卜2,4仁（4uB）,由图知,

w-3<-2

解得-3V/WV1.

w4-3>0

选择条件②,因为［={x|0<xM4},B={x|w-3<x<zw+3),

又,4口8=4,即4G8,由图知,

77；-3<0

解得l<m<3.

w+3>4

-1^_1…》

m-304m+3x

17.某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的

80%时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的100%时，将对该景区采取完全

限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同

期30天的限流措施情况，见下表:

\\景区限流

情况不限流局部限流完全限流

景区累计天数、

甲景区累计天数21天7天2天

乙景区累计天数18天4天8天

丙景区累计天数15天9天6天

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立.

（1）小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率；

（2）小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和

完全限流）的概率；

（3）小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种

情况之一，则不能完成游览：

（i）在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流:

（ii）在上午的游览中遇到完全限流.

请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览景区，下午游览景区.（从“甲、

乙、丙”中选择两个填写）

【答案】（1）2；

（2）—；

10

（3）甲，丙；

【解析】

【分析】（1）由表格中数据求出频率即可.

（2）利用相互独立事件及对立事件的概率求解.

（3）按上下午选择景区情况分类，利用相互独立事件及对立事，'牛的概率求出概率并比较大小得解.

【小问1详解】

21

由数表知，30天中，甲景区完全限流的天数是2,所以小明遇到完全限流的概率为一二一.

3015

【小问2详解】

由数表知，乙景区不限流的概率为P1=卷=1,丙景区不限流的概率为夕2=二1

30-2,

317

所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率p=l-P1P2=l--x-=—.

【小问3详解】

782196

若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成游览的概率4=1-（一x—十一）二—:

303030225

若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率6=1—（工x9+2）二里；

303030150

若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览的概率6=1-（3>3+'）=出；

303030225

若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览的概率乃=1-壶*各=段;

92639

若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览的概率Z^=l-（—x—+—）=—；

若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览的概率4=1-（卷x卷+卷）=£,

而巴最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率最大.

18.已知函数f(x)=ev+ae~x(a10).

(1)若/(O)=O,求。的值；

(2)当〃=1时，用函数单调性定义证明/(》)在区间［0,+8)上是增函数；

(3)若〃eZ,VxeR,/(x)〉0恒成立，且函数g(x)=M(x)在(一8,0)上单调递增，求〃的最小值.

【答案】(1)-1；

(2)证明见解析；(3)1.

【解析】

【分析】(1)代入计算得。的值.

(2)利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证.

(3)对恒成立的不等式分离参数，借助指数函数值域求出。的最小值，再利用增函数的定义推理得解.

【小问1详解】

函数/(r)=e*+〃e-x,由/(0)=0,得〃+1=0,所以〃二一1.

【小问2详解】

当时，/(x)=er+e-x,任取玉/2£1°，+8)，F，

xX|X2X|t：rX2v,2v,v：V|v：

f(xi)—f(x2)=c'+c—e—e'•=e—c—c'~(e—e*)=(e—e)(l—e),

由0«%＜工2，得e“＜十,”』＜1,则⑹一铲)(1一尸厂2)＜0,即/(芭)＜/(当)，

所以函数/(x)在区间［0,+8)上是增函数.

【小问3详解】

不等式/(幻＞0=/+。©-、＞0=。＞—。2"依题意，VXGR,〃＞-e2x恒成立，

而VxwR,恒有-H'vO，则。之0，又4WO,Q£Z,因此

任取阳户2£(一8，°)，X，fM-f(x2)=QX'+«e-X|-eX2-ae~Xi

=ev,-eX2-⑹一$)=(ex,-er：)(1-ae~Xl~X2),

由片＜々＜0,得eW,eFF＞］,

而。Nl,则(d—e”)(l—即/区)＞/(%)＞0,

又-X,>-x2>0,于是f/(芭)>-x2f(x2),

则V（X1）<Xlf（X2），即g（玉）<g（》2），

因此函数g（X）=xf（X）在（TQ,O）上单调递增，

所以。的最小值是1.

19.已知非空集合A满足如下三个性质，则称集合A满足性质P：

①AQZ；

②〃x,y,z1力，x+y-z\A•

③Vxw4,4x1A；

（1）判断下列集合是否满足性质P?

4={X|X=4A+2,£CZ}；8={x|x=3攵+l,%eZ}.（只需写出结论）

（2）若集合A满足性质P,且存在/