二次根式及其性课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级（下）第十九章二次根式19.1二次根式第1课时

二次根式的概念复习导入你能说出下列问题的结果吗？（1）16的平方根是______，算术平方根是______.（2）0的平方根是______，算术平方根是______.（3）-2有没有平方根？有没有算术平方根？±4400-2没有平方根，也没有算术平方根.一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.如果𝑥2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.探究新知自学教材第2页：完成教材思考上的问题.用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：（1）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______.（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t为______．

探究新知问题1

这些式子还有什么共同特征？

①根指数都为2；含有“”.②被开方数为非负数.问题2

是否存在

，为什么呢？不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根.归纳总结注意：a可以是数，也可以是式.两个必备特征①外在特征：含有“”②内在特征：被开方数(式)

a≥0二次根式的定义

一般地，我们把形如

(a≥0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式.练一练1.判断下列各式是否为二次根式．6（x，y异号）分析：是否含二次根号是被开方数是否为非负数是是二次根式否不是二次根式否√××√√×√×√练一练2.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2.它的长、宽各应取多少？【课本第3页

练习

第1题】解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm，由题意得2x×3x=18，解得x1=，x2=(舍).答：它的长取cm，宽取cm.例题讲解例1

当

x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义?解：由

x-

2≥0，得x≥2.当

x≥2时，

在实数范围内有意义.【变式题】当

x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

x＞1x≥-3且

x≠1.要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.归纳探究新知思考当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？x可以为任意实数x≥0x可以为任意实数x＞0x＞-1x≤1且x≠0练一练1.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？（1）

；（2）

；（3）.

2.当a=5时，

的值是______.a≥1a≤5a≥【课本第3页

练习

第2、3题】当堂检测1.下列各式中一定是二次根式的是（

）.A. B. C. D.B2.二次根式

中，字母x的取值范围是（

）.A.a＜2B.a≤2C.a≥2D.a＞2D3.当

x=____时，二次根式

取最小值，其最小值

为______．-10当堂检测4.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）

；（1）解：根据题意可得-x2+2x-1≥0，∴-(x2-2x+1)≥0.∴x2-2x+1≤0.∴(x-1)2≤0.∵(x-1)2≥0，∴当x=1时，

在实数范围内有意义.（2）.被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.当堂检测（2）解：根据题意可得-x2-2x-3≥0，∴-(x2+2x+3)≥0.∴x2+2x+3≤0.∴(x+1)2+2≤0.∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2＞0.∴无论x为何实数，

在实数范围内都无意义.被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.（2）.当堂检测5.已知x，y为实数，且y=−+4，求

的算术平方根.解：因为x，y为实数，y=−+4，所以x−9≥0，9−x≥0.所以==6，所以

的算术平方根为.所以x=9，y=4.拓展提升已知

a满足

，求

a的值.解：由a−5≥0，得a≥5，所以4−a＜0，所以｜4−a｜=a−4.因为