2026年高考数学二轮复习专题02 基本不等式归类（题型）（天津）（原卷版）

专题02基本不等式归类目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01直接法求最值题型02常规凑配法求最值题型03消参法求最值题型04双换元求最值题型05“1”的代换求最值【解答题破译】题型01利用基本不等式解决实际问题第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01直接法求最值【例1-1】（2026·天津滨海新·联考）已知正实数，满足，则下列结论错误的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为.【例1-2】（2026·天津河东·月考）(其中)的最大值是（

）A． B． C．1 D．21.

一正：确保参与运算的各项均为正数，若出现负数需先转化符号。2.

二定：通过配凑、拆分等手段，使和或积为定值——求和的最小值时构造积为定值，求积的最大值时构造和为定值。3.

三相等：验证等号成立的条件（各项相等），若等号无法成立，需改用函数单调性等其他方法。【变式1-1】（2026·天津蓟州·月考）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2026·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（

）．①；②函数的最小值为4；③若，则最大值为1；④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8．A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-3】已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2题型02常规凑配法求最值【例2-1】（2026·天津滨海新·联考）已知，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【例2-2】（2026·天津南开·联考）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（

）.A． B． C．1 D．1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．【变式2-1】（2026·天津·调研）正项等差数列中，，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．6【变式2-2】（2026·天津·月考）当时，则的最大值为（）A． B． C． D．【变式2-3】（2026·天津武清·月考）函数的最大值是（

）A．4 B．5 C．2 D．题型03消参法求最值【例3-1】已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则的最小值为（

）A． B． C． D．2【例3-2】（2026·天津·联考）等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可【变式3-1】（2026·天津和平·联考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2026·天津西青·联考）若一元二次不等式的解集为，则最大值为（

）A． B． C．2 D．4【变式3-3】（2025·天津河北·模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．4 B． C．2 D．1题型04双换元求最值【例4-1】（2025·天津静海·三模）若，，，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．18 D．24若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1．代换变量，统一变量再处理．2．注意验证取得条件．【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）已知均为正实数，，则的最小值是（

）A．6 B．4 C．3 D．2【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知正数，，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式4-3】（2025·天津·一模）已知且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7题型05“1”的代换求最值【例5-1】（2025·天津南开·一模）若直线过点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例5-2】（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为．1．1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形2．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法注意验证取得条件【变式5-1】（2025·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（

）A．6 B．9 C． D．18【变式5-2】（2025·天津红桥·二模）已知正实数，满足，则的最小值为【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为题型01利用基本不等式解决实际问题【例1-1】（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为已知．(1)求角的大小；(2)若，，求的值；(3)若，当的周长取最大值时，求的面积．【例1-2】（2024·天津河西·二模）已知数列的首项，且满足，的前项和为.(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)在数列中，，，求数列的通项公式及.1．理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2．注意定义域，验证取得条件．3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．【变式1-1】已知的内角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的值；(2)若的面积为，的平分线交于，求线段的最大值．【变式1-2】（2025·天津·一模）设的内角的对边分别为，已知.(1)若.（i）求；（ii）求；(2)求的最大值.【变式1-3】（2025·天津·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)求的最大值.1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为.2．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则；的最小值为．3．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为；当在上的投影向量为时，.4．（2025·天津河西·二模）在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．5．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，则向量在向量上的投影向量的模为；（2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为.6．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则，若，则当最大时，的值为.7．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．28．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则，若、分别为线段、上的动点，且满足