2026年高考数学二轮复习专题04 计数原理与概率统计（高频考点）（天津）（解析版）

专题04计数原理与概率统计内容概览01命题探源·考向解密（分析近3年高考考向与命题特征）02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）03高频考点·妙法指津（4大命题点+6道高考预测题，高考必考·（15-20）分）考点一计数原理命题点1基础计数方法命题点2二项式定理高考预测题3道考点二概率统计命题点1古典概型与几何概型命题点2概率与统计综合高考预测题3道04好题速递·分层闯关（精选15道最新名校模拟试题+10道高考闯关题）考点考向命题特征计数原理（3年3考）1.

基础计数方法（小题核心）聚焦分类加法计数原理和分步乘法计数原理的直接应用。2.

二项式定理（小题必考点）核心考查二项展开式的通项公式，用于求特定项。1.

以小题形式为主，1-2道选择题或填空题，分值5-10分，近三年未出现计数原理的解答题，属于基础必拿分板块。2.题目以基础应用为主，极少设置复杂陷阱，排列组合多为“一步分类+一步分步”的简单模型，二项式定理直接套用通项公式即可求解，区分度低。3.二项式定理的通项公式是每年必考内容，排列组合常考“含限制条件的选法”“数字组数”两类基础题型，命题素材贴近教材例题。不考查复杂的排列组合模型（如环排、多组分配的复杂情形），二项式定理不考多项展开式，始终聚焦核心公式和基础方法，命题风格保守。概率统计（3年3考）1.

古典概型与几何概型古典概型侧重结合计数原理计算基本事件数，常考数字抽样、抽取物品等简单场景；2.

概率与统计综合结合独立事件、互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列、期望与方差；1.题型分明，分值稳定小题1道（5分），考查古典/几何概型或抽样方法；聚焦统计图表分析+随机变量的分布列与期望，是必拿分板块。2.

近三年未考查超几何分布、二项分布的复杂变形，不考条件概率的深度应用；统计部分不涉及复杂的回归分析，始终聚焦核心考点，命题风格保守。【计数原理常用结论】一般地,对于任意正整数,都有：()，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式。式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.③各二项式系数之和为，即；④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即。【概率统计常用结论】1.对于任意事件都有：．2.必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．3.概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．4.对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．5.若，是一次随机实验中的两个事件，则．考点一计数原理《解题指南》解题步骤与技巧：解题步骤1.

判类型：明确完成事件是“分类”（每类方法都能独立完成事件）还是“分步”（需依次完成每一步才能完成事件）。2.

算方法数：分类：各类方法数相加；分步：各步方法数相乘。3.

验合理性：检查是否有重复或遗漏的情况，尤其是含限制条件的问题解题技巧分类时标准要统一，避免交叉分类；分步时顺序要合理，优先处理限制条件多的步骤。复杂问题可先分类，再对每一类进行分步计算，化繁为简。二项式解题步骤（求特定项/系数）1.

写通项：根据二项式展开式写出通项Tk+1，明确a、b、n的对应值。2.

列条件：根据“常数项”（x的次数为0）、“有理项”（x的次数为整数）等要求，列方程求k。3.

算结果：将k代入通项，计算对应项的系数或二项式系数。解题技巧求各项系数和：令a=b=1；求奇数项/偶数项系数和：令a=1，b=-1，联立方程求解。区分二项式系数与项的系数（含字母系数的乘积），避免混淆。命题点01基础计数方法【典例01】（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（

）A．已知随机变量，若，则B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点【答案】D【分析】由二项分布的期望与方差公式即可判断A；由决定系数的概念即可直接判断B；由分布乘法计数原理及间接法即可判断C；由经验回归方程有关性质即可直接判断D.【详解】对于A，由二项分布的方差公式可知，所以，所以，所以二项分布的期望为，故A正确；对于B，用来刻画回归效果，的值越接近于1，说明模型的拟合效果越好，的值越接近于0，说明模型的拟合效果越差，故B正确；对于C，百位数字不能为0，有3种选择，个位和十位各有4种选择，利用分布乘法计数原理可得组成三位数的个数有种方法，其中没有重复数字的三位数的个数有种方法，所以组成有重复数字的三位数的个数为，故C正确；对于D，在回归分析中，回归直线一定经过样本中心点，但不一定会经过样本数据点中的任何一个，故D错误；故选：D.【典例02】（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则．【答案】30【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案，所以甲和乙选择的课程不同共有种方案；事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术”先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案，若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案，丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案，根据分步乘法计数原理，共有种方案；若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案，其余两人分别选择另外两门课程，有种方案，根据分步乘法计数原理，共有种方案；根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案，根据条件概率公式，；故答案为：30；.命题点02二项式定理【典例01】（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为．【答案】135【分析】由二项式定理写出通项，根据题意，利用赋值，结合组合数，可得答案.【详解】由的展开式的通项为，令，解得，则的系数为.故答案为：.【典例02】（2025·天津河西·模拟预测）的展开式中的系数为.【答案】【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算可得的展开式中项与项的系数，则可得的展开式中的系数.【详解】对有，则展开式中项的系数为，展开式中项的系数为，则展开式中的系数为.故答案为：高考预测题1．的二项展开式中的常数项为.【答案】60【分析】利用二项式的通项公式，得，令，解得，所以展开式中的常数项为.【详解】的二项展开式的通项为，令，得，所以展开式中的常数项为.故答案为：60.2．将5个颜色互不相同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（

）A．3种 B．4种 C．10种 D．25种【答案】D【分析】根据1号盒子中放入小球的个数，分类讨论，即可求得所有放球的种数.【详解】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分析可得，可得1号盒子至少放1个，最多放3个小球，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余4个放入2号盒子，有种方法；②1号盒子中放2个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；③1号盒子中放3个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；则不同的放球方法有种.故选：.3．哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为.【答案】【分析】利用组合，求出从个人物手办中，随机购买个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式，即可求解；利用条件概率公式，即可求解.【详解】从个人物手办中，随机购买个盲盒，共有种买法，又个盲盒中，包含哪吒和至少一位龙王有种买法，所以小明随机购买个盲盒，其中包含哪吒和至少一位龙王的概率为，记事件：随机购买个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：随机购买个盲盒，恰有哪吒父母中的一位，则，，所以，故答案为：；.考点二概率统计《解题指南》解题步骤与技巧：一（高频）

解题步骤1.

判特征：确认试验的基本事件有限且等可能。2.

算总数：用计数原理/排列组合计算所有基本事件数n。3.

算符合条件数：计算事件A包含的基本事件数m，注意限制条件的处理。4.

求概率：代入公式。二.

解题技巧元素个数较少时，可列举法列出所有基本事件，避免重复或遗漏。“至多/至少”类问题，优先用间接法）简化计算。。命题点01古典概型与几何概型【典例01】（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率.【答案】【分析】根据题意可知三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，由二项分布的概率计算公式即可求解①；求出事件A与事件AB包含的样本点个数，根据条件概率计算即可.【详解】由题意可知，单次摸到不超过3的概率为，超过3的概率为，记事件A=“三次摸出卡片的数字有两次不超过3”三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，故；事件A的总情况数为，记事件B=“三次中有一次摸出编号为2的卡片”，则事件AB为：有一次摸出编号为2，另外一次为1或3，第三次超过3，可由如下步骤实线事件AB，第一步：从三次摸出卡片中选出一次摸出编号2，共3种情况，第二步：从剩下的两次摸出卡片中选出一次摸出编号1或3，共种情况，第三步：从剩下的一次摸出卡片中选出超过3的编号，共2种情况，由分步乘法计数原理可知，事件AB总情况数为，所以故答案为：，【典例02】（2025·天津南开·模拟预测）2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为．【答案】//【分析】利用组合数，结合古典概型，并结合条件概率的定义计算即可.【详解】总共有6款饮品，甲选购3款不同饮品，总的选购方案数为组合数,甲选购的饮品中包含“林林清风”的方案：固定“林林清风”被选中，则甲需从剩余5款饮品中选购2款，方案数为，因此，概率为；条件：甲已选购包含“林林清风”的3款饮品（记作集合，其中必含“林林清风”），乙独立选购3款不同饮品，总的选购方案数为.要求甲、乙所选饮品集合的交集大小恰好为1（即恰有1款相同）；设饮品全集为，其中为“林林清风”，不失一般性，设甲选购，则剩余饮品为.乙选购时，恰有1款与甲相同，即乙从中选1款，并从中选2款.从选1款的方案数：，从选2款的方案数：.因此，满足条件的乙选购方案数为，概率为.故答案为：；.命题点02概率与统计综合【典例01】（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（

）①回归直线恒过点，且至少过一个样本点：②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好；④某项测量结果服从正态分布，若，则A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立型检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布可判断④.即可得出合适的选项.【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，①错；对于②，根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，②对；对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好，③对；对于④，某项测量结果服从正态分布，若，则，④对.故选：C.【典例02】（2025·天津北辰·三模）下列命题中①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值②若随机变量满足，则③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1④设且，则其中错误命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】依次分析每个命题的正确性，根据经验回归方程、随机变量的方差性质、相关系数的意义以及正态分布的性质来判断.【详解】经验回归方程所得到的预报值是响应变量的估计值，而不是精确值，所以命题①错误.若随机变量满足，根据方差的性质（其中、为常数），可得，而不是，所以命题②错误.根据相关系数的意义，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，所以命题③正确.已知，则正态曲线关于对称.因为，所以.那么，所以，所以命题④错误.综上，错误的命题有①②④，共个.故选：B.高考预测题1.一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则．【答案】【分析】列举次运动过程中仅次经过顶点的情况，再由古典概率公式即可求解；记质点4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为，分别求得相应概率，列出分布列，再求期望，即可求解.【详解】因为质点次运动过程中仅次经过顶点的情况有：，，，，，共种，第四次回到顶点有种，所以质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率.记质点4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为，质点4次运动，共有种情况，当X=0时，，共有1种情况，则，当X=1时，，，，，，，，共有7种情况，所以，又，所以X的分布列为：，故答案为：，.2．下列说法正确的有（

）①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6；②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等；③若随机变量，满足，则，；④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由百分位数的定义即可得出①正确，由标准差定义判断②正确，由随机变量的数学期望及方差性质判断③错误，由排列组合求解分组分配可知④正确.【详解】①：由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故①正确．②：根据标准差定义，一组数据的标准差时，显然有，故②正确．③：若随机变量，满足，则，，故③错误；④：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，男医生人，女医生人，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院，三个医院人数可以为，共有种分配方式；三个医院人数可以为，共有种分配方式；综上，共有种分配方式，故④正确；故选：C3．若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为．【答案】27【分析】根据二项式定理求解即可.【详解】令，则展开式中各项系数之和为，由题意得，解得.的通项为，令，解得.代入通项得该项系数为.故答案为：27.好题速递1．（2025·天津红桥·模拟预测）采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生人.【答案】【分析】首先求出高三年级抽取的人数，再根据抽样比即可求出总人数.【详解】依题意高三年级共抽取人.又高三年级共有600人，所以抽样比为，所以学校共有高中生人.故答案为：.2．（2025·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求概率.【详解】由题设，甲乙都不能破译的概率为，所以密码被成功破译的概率为.故选：A3．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】【分析】先找到的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中的系数为，即可得解.【详解】,因为的展开式通项为，令或，解得：或，所以的系数为：.故答案为：.4．（2025·天津和平·二模）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（

）A．B．满意度计分的众数约为75分C．满意度计分的平均分约为79分D．满意度计分的第25百分位数约为70分【答案】C【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确.【详解】对于A，由频率分布直方图可得，又，解得，，故A正确；对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确；对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误；对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确.故选：C.5．（2025·天津河北·模拟预测）某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取人．【答案】7【分析】应用分层抽样等比例性质求从高三抽取的人数.【详解】根据分层抽样等比例性质，从高三抽取人.故答案为：76．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是．【答案】；58【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果.【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为；至少抽到1张“获奖卡”的概率为，设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则，所以．故答案为：；7．（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17B．若事件M，N相互独立，，，则C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份D．已知随机变量X服从二项分布，若，则【答案】B【分析】由百分位数、正态分布、二项分布、独立事件概率的概念逐项判断；【详解】对于A，数据从小到大排列的共有10个数据，，所以第80百分位数为正确；若事件M，N相互独立，，，则，B选项错误；某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，则，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取份，C选项正确；随机变量X服从二项分布，若，则，D选项正确；故选：B.8．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案.【详解】中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为，取到偶数的概率为，的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性.设，，有；考虑递推关系：代入，，，当时，，为奇数的概率为，故.所以是以为首项，为公比的等比数列；所以，当时，，当时，.故选：A9．（2025·天津·二模）某地政府为了促进当地旅游，从到达该地旅游的游客中随机选取了400人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的占比饼状图如图①所示，各年龄段游客的性别占比条形图如图②所示，则下列说法正确的是（

）A．估计到达该地旅游的女性占比约为55％B．从调查的游客中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为0.175C．若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取8人D．从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.6【答案】B【分析】根据题意，由三个年龄段的占比饼状图以及性别占比条形图，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，估计到达该地旅游的女性占比约为，故A错误；对于B，从调查的400人中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为，故B正确；对于C，若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取（人），故C错误；对于D，从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.7，故D错误．故选：B．10．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为．【答案】【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，确定的值，代入即可求解.【详解】由二项式的展开式的通项为，其中，令，可得，所以的系数.故答案为：.11．（2025·天津北辰·三模）某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为.【答案】/0.25/0.125【分析】利用古典概率公式求得丢失物理书的概率；利用全概率公式求得答案.【详解】依题意，丢失的一箱恰巧是物理书的概率为；记事件“丢失数学书”，事件“任取两箱都是数学”，则，，所以所求概率.故答案为：；12．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为.【答案】【分析】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件抽取的一个零件为次品，利用全概率公式可求得的值.【详解】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件抽取的一个零件为次品，由题意可得，，，，，由全概率公式可得.故答案为：.13．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（

）A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人B．直方图中的值为0.020C．估计全校学生成绩的中位数为87D．估计全校学生成绩的分位数约为90【答案】C【分析】根据频率分布直方图计算区间的频率，即可判断A，根据频率和为1，计算的值，判断B，根据中位数和百分位数公式，判断CD.【详解】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误；B.由图可知，，得，故B错误；C.前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组，所以，得，故C正确；D.样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误.故选：C14．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为．【答案】【分析】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”，分别求出、，代入条件概率公式求解即可；首先确定终止检验的条件为：同种类型的饮料被全部取出，从而确定X的值，然后分析每个取值的情况并计算概率值，最后代入期望计算公式进行计算.【详解】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”，则，，所以在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期的概率为.随机变量的取值为2,3,4,5，记为“第“i”次取到过期饮料”，，,.故答案为：.15．（2025·天津·二模）某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为.【答案】【分析】①利用条件概率公式计算即可；②利用古典概型概率公式即可求解.【详解】①记第一次取到红求为事件，第二次取到白球为事件，则，，所以；②记小强恰好抽到1个一等奖奖品券为事件，则.故答案为：①；②.高考闯关1．若二项式的展开式中，的系数为，则．【答案】【分析】求解二项式展开式的通项，确定的系数列方程即可得的值.【详解】二项式的展开式的通项为：，当可得的系数为，所以，因为，所以.故答案为：.2．某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率．【答案】【分析】根据古典概型的概率公式及组合学公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，即可求解第二空.【详解】从个人中任取人，全部情况有种，恰有一名两名男生的情况有，故恰有一名男生参加AI人工智能学习的概率为；有女生参加AI人工智能学习的情况有种，恰有一名女生参加AI人工智能学习的情况有种，故在至少有一名女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为.故答案为：；.3．在二项式的展开式中常数项为．【答案】112【分析】由二项式定理即可求解.【详解】的展开式中常数项为.故答案为：112.4．下列说法中正确的是（

）A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元C．若随机变量服从正态分布，且，则D．若随机变量，满足，则，【答案】B【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据样本中心点求得，进而求得预测值判断即可；对于C，根据正态分布的对称性求解判断即可；对于D，根据期望和方差的性质判断即可.【详解】对于A，因为，所以这组数据的第60百分位数为，故A错误；对于B，，，所以，即，则，当时，亿元，故B正确；对于C，由于随机变量服从正态分布，则，因为，所以，则，故C错误；对于D，由，则，，故D错误.故选：B.5．某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为．【答案】【分析】两位同学选择相互独立，每位同学选择软笔书法社团的概率相等，按照分步乘法公式求出结果，第二小空为条件概率，根据条件概率公式求解.【详解】一个人选择软笔书法社团的概率为，所以两人都选择软笔书法社团的概率为.设两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团为事件,两人选择不同社团为事件,事件分为只有一人参加杨柳青年画社团和两人同时参加杨柳青年画社团两种情况，所以，根据条件概率计算公式,故答案为：；.6．下列说法错误的是（

）A．某校高一年级共有男女学生人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为人的样本，若样本中男生有人，则该校高一年级女生人数是B．已知关于的回归直线方程为，若，则C．数据的第百分位数为D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于【答案】C【分析】利用分层抽样计算判断A；根据回归方程经过样本中心判断B；求出第75百分位数判断C；利用独立性检验的思想判断D.【详解】对于A，由抽样比为，样本中女生有人，可得该校高一年级女生人数是人，A正确；对于B，线性回归方程中，根据