2026年高考数学二轮复习专题12 双曲线及其应用（热点）（天津）（原卷版）

专题12双曲线及其应用内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：双曲线在天津卷近三年均为单选9题左右（5分），核心考方程、离心率、渐近线、焦点三角形，常与抛物线综合；2026大概率保持5分单选、中档难度，重点仍在a,b,c关系与几何性质，与抛物线/直线综合是主流，解答题命题概率极低。近三年考情共性：稳定5分单选，不考解答题；核心围绕a,b,c关系、离心率e=c/a、渐近线y=±(b/a)x；常与焦点、渐近线、焦点三角形结合，近年多与抛物线综合，难度中档偏基础。预测2026年：结合天津高考数学的命题稳定性及2025年试卷评析的风格导向，2026年天津高考数学中题型与分值：单选8-9题（5分）为主，解答题命题概率极低；分值稳定5分，是圆锥曲线小题重要组成部分。核心考查方向：1.

基础：双曲线定义、标准方程，a,b,c与离心率e的计算（必考）。2.

高频：渐近线相关（焦点到渐近线距离=b、渐近线斜率与a/b关系），焦点三角形（面积、角度、边长）。3.

综合：与抛物线综合（焦点、定义关联），或与直线、圆简单结合，考查位置关系与距离计算。4.

创新：可能考离心率范围、双曲线上点到焦点/直线距离最值，强化几何直观与定义应用。难度与备考：难度中档偏易，侧重概念与运算；重点练a,b,c关系、离心率、渐近线、焦点三角形，熟练定义与公式，提升与抛物线综合题的转化能力；小题抓快速运算与结论应用（如焦点到渐近线距离=b）。题型01双曲线的定义及概念辨析解｜题｜策｜略（1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；（2）若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。例1（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．例2（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（

）A． B．C． D．【变式2】（2025·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（

）A． B． C． D．4题型02利用定义求距离和差最值解｜题｜策｜略利用定义||PF1|-|PF2||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值例1（2025·天津·调研）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（

）A． B．C． D．例2（2025·天津南开·一模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（

）A．12 B．11 C．10 D．9【变式1】（2026·天津南开·月考）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．10【变式2】（2026·天津滨海新·调研）设点P是曲线上一动点，点Q是圆上一动点，点，则的最小值是题型03双曲线标准方程的求解解｜题｜策｜略1、由双曲线标准方程求参数范围（1）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.（2）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。2、待定系数法求双曲线方程的五种类型（1）与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；（3）与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)；（5）与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)例1（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（

）A． B． C． D．例2（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．【变式1】（2025·天津河东·二模）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，的延长线与抛物线的准线交于点B，，的面积为，O为原点，双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（2025·天津河西·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．题型04双曲线的焦点三角形问题解｜题｜策｜略求双曲线中的焦点三角形面积的方法（1）=1\*GB3①根据双曲线的定义求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；=3\*GB3③通过配方，利用整体的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面积。（2）利用公式求得面积；（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。例1（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为.例2（2025·天津南开·一模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（

）A． B． C．2 D．4【变式1】（2025·天津和平·一模）设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（2025·天津和平·二模）设、分别为双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过点，若在双曲线右支上存在点，满足，且点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则点到该双曲线的渐近线的距离为（

）A． B． C． D．题型05求双曲线的离心率与范围解｜题｜策｜略1、求双曲线的离心率或其范围的方法（1）求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．（4）通过特殊位置求出离心率．2、双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k<0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).例1（2025·天津·二模）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．例2（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【变式1】（2025·天津南开·一模）设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．4【变式2】（2024·天津河西·二模）已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．3题型06双曲线的中点弦问题解｜题｜策｜略解决中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点、，其中中点为，则有.证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴.例1（2026·天津和平·调研）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．例2（2025·天津红桥·调研）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为．(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程．【变式1】（2025·天津西青·月考）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（

）A． B．C． D．题型07直线与双曲线相交弦长解｜题｜策｜略求弦长的两种方法：（1）交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：[例1（2025·天津武清·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（

）A．6 B． C． D．4例2（2025·天津河东·一模）已知双曲线的焦点为、，抛物线的准线与交于、两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【变式1】（2025·天津和平·二模）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·天津滨海新·模拟预测）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．题型08直线与双曲线综合问题解｜题｜策｜略1.

先判位置关系，减少无效计算联立直线y=kx+m与双曲线方程，消去y得到关于x的方程：若二次项系数为0，直线与双曲线渐近线平行，此时只有一个交点（非相切）；若二次项系数不为0，用判别式判断：判别式>0有两个交点，判别式=0相切，判别式<0无交点。2.

活用韦达定理，规避复杂求根设交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，联立后得到一元二次方程Ax2+Bx+C=0，优先用x1+x2=-B/A、x1x2=C/A处理弦长、中点、面积等问题，无需解出具体交点坐标。3.

聚焦核心题型，掌握对应技巧弦长问题：弦长公式，注意直线斜率不存在时单独讨论；中点弦问题：用点差法简化运算（设中点M(x0,y0)，将A,B代入双曲线作差，得斜率同时需检验中点是否在双曲线内部；定点/定值问题：设直线参数（如过定点(x0,y0)），联立后将目标表达式用韦达定理转化，消去参数得到定值，或整理成关于参数的恒等式求定点。4.

关注特殊性质，简化解题步骤利用双曲线渐近线特性，判断直线与渐近线的位置关系；涉及焦点时，结合双曲线定义（||PF1|-|PF2||=2a）转化线段长度，降低计算复杂度。5.

规范检验步骤，避免遗漏情况解题后需检验：①联立方程的二次项系数是否为0（直线与渐近线平行的情况）；②判别式是否满足条件（交点存在性）；③中点是否在双曲线对应区域内（点差法必验）。例1（2026·天津北辰·月考）已知抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，抛物线的准线与坐标轴交于点，若为直角三角形，则双曲线的渐近线斜率绝对值为（

）A．0.5 B． C． D．2例2（2026·天津河东·月考）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B.(1)求斜率k的取值范围；(2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程.【变式1】（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，下列结论不正确的是（

）A．离心率为2 B．C． D．【变式2】（2025·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．（建议用时：40分钟）1．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．2．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．3．（2025·天津·模拟预测）已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数a的取值范围为．4．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为.5．（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2026·天津南开·月考）双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．7．（