2026年高考数学二轮复习专题12 圆锥曲线离心率的精妙解法4大考向（重难）（天津）（解析版）

重难点12：圆锥曲线离心率的精妙解法内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年天津卷离心率以5分小题（选择8-9题）为主，偶在解答题第1问考查，核心是椭圆/双曲线，重定义+基本量关系，难度基础-中档。近三年共性规律：必考5分、基础-中档；载体以椭圆为主、双曲线逐年升温；核心是a,b,c关系+定义转化；方法为几何法（定义/图形性质）、代数法（方程联立）；常与焦点三角形、定义、直线与曲线交点联动。预测2026年：2026预计题型与分值稳定，更侧重双曲线与抛物线/圆融合、动态与新情景，强化几何转化与运算精准。命题形式：5分选填（8-9题），或解答题第1问（5-6分）；载体为椭圆/双曲线，穿插抛物线/圆融合。基础型：椭圆离心率求值（保分），用a,b,c直接关系快速计算。中档型：双曲线+抛物线/圆，结合定义+交点条件列方程求e，需运算精准。新情景：动态最值（e范围）、实际建模（轨迹/光学）、参数耦合（含k/t的e问题），强化临界分析与多解验证。考向1：椭圆、双曲线中的定义法求离心率椭圆公式1:，公式2:变形，双曲线公式1:，公式1．（2025·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解.【详解】解：如图所示：设椭圆和双曲线的方程分别为：，，由题意得，设，则，解得，在中，由余弦定理得：，即，化简得，则，所以，，当且仅当，即时，等号成立；故选：C2．（2025·天津·三模）设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】分别根据椭圆与双曲线的定义，找到焦点半径之间的关系，再由，得根据勾股定理即得.【详解】解:设椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为，它们的半焦距为因为，所以为两曲线的一个公共点，不妨设所以，，故选：C3．（2026·天津南开·月考）已知椭圆与双曲线有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据椭圆和双曲线的半焦距的定义，结合椭圆、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理逐一判断即可.【详解】设，所以由椭圆和双曲线的标准方程可得，故选项A正确；因为是以为底边的等腰三角形，所以，由椭圆的定义可知，由双曲线的定义可知，于是有，又因为，所以，所以，，由余弦定理可知，所以选项B不正确；，所以选项C正确；因为，所以选项D正确，故选：ACD4．（2025·天津静海·模拟预测）已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则下列正确的有（

）①

②椭圆离心率为③圆与圆相切

④的最大值为4A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④【答案】A【分析】设，联立与椭圆方程，求出，即可求出、从而求出，即可判断①②，求出圆心坐标与半径，即可求出圆心距，从而判断③，设点，其中，表示出，结合二次函数的性质求出，即可求出的最大值，即可判断④.【详解】对于①：设，则由，解得，所以，解得，所以，则椭圆，由椭圆的定义，可得，故①正确；对于②：椭圆离心率，故②错误；对于③：圆的圆心为，半径，圆，即，则圆心为，半径，因为，所以两圆内切，故③正确；对于④：设点，其中，则满足，可得，则，当时，取得最大值，且，

故，故④错误；故选：A5．（2026·天津·月考）已知圆和双曲线，过的左焦点F与右支上一点Q，作直线l交圆C于A，B，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，记为，连接，得.记双曲线的右焦点为，连接，则∥，所以，且.根据题意列出关于的方程组，求出关系，即可得到的离心率.【详解】取的中点，连接，依题意，可得也是的中点，且，，即.记双曲线的右焦点为，连接，则，，且.所以，由，得；，得所以，代入③，可得.代入②，可得，即得.故的离心率为.故选：D.考向2：焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则1．（2025·天津·模拟预测）已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在中利用余弦定理求得，从而可得的面积，由等面积法可得内切圆半径，和正弦定理可得外接圆半径，结合已知可解.【详解】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解.如图，由椭圆的定义可知，且，又，利用余弦定理可知：，化简可得，所以的面积为，设的外接圆半径为，内切圆半径为，由正弦定理可得，可得，易知的周长为，利用等面积法可知，解得，又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以，即可得，所以，离心率.故选：C2．已知椭圆的左、右焦点分别为、．点在上，点在轴上，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出图形，利用中垂线的性质可知是边长为的等边三角形，求得，，利用椭圆定义可得出、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知为线段的中点，为线段的中点，且，，由中垂线的性质可得，，故，由勾股定理可得，由椭圆的定义可得，即，故该椭圆的离心率为.故选：C.3．（2026·天津滨海新·模拟预测）已知椭圆：，的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于点、两点，．(1)求椭圆的离心率；(2)点为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为．若，求椭圆的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）设椭圆的焦距为，由条件可得，，结合椭圆的定义可得，根据离心率定义求结论；（2）结合（1）求直线的方程，与椭圆方程联立求点的坐标，再求直线的方程，与椭圆方程联立求点的坐标，再求，的坐标，由条件列方程求，由此可得结论.【详解】（1）设椭圆的焦距为，故，因为，，所以，，所以，，又由椭圆的定义可得，所以，即，所以椭圆的离心率，（2）由（1），又，所以，故点的坐标为又点的坐标为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，联立，可得，所以，所以或，所以点的坐标为，又点的坐标为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，联立，可得，所以，所以，所以或，所以点的坐标为，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，由已知，所以，所以，，所以椭圆的方程为.4．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率.【详解】由题设，令，故，，所以，故①，由，令，则，由，则，所以，整理得，由，则，所以，整理得，所以，整理得②，联立①②，得，，故，即，所以.故选：D5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，为坐标原点，且线段的垂直平分线过焦点，若，则的离心率为．【答案】/【分析】首先根据椭圆性质和已知条件确定线段长度，，然后利用向量关系和已知条件求出，进而在中利用余弦定理建立等式，最后化简等式并求解离心率.【详解】如图所示，设，由已知得，则有．因为为线段的中点，所以，则由，可知，即，则．在中，由余弦定理得，则，整理得．故椭圆的离心率．故答案为：.考向3：定比分点求椭圆、双曲线的离心率点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或1．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理解得，进而可得，在中，利用勾股定理列式求解即可.【详解】设，因为，则，由椭圆的定义可得，，因为，即，在中，则，即，解得，可得，在△中，可得，即，整理得，所以椭圆E的离心率为.故选：B．2．已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】结合题意与双曲线定义得到，，再结合余弦定理建立齐次方程求解离心率即可.【详解】因为，所以，即，令，得到，，由双曲线定义得，，因为以AB为直径的圆过，所以，故，得到，整理得，解得，则，，在中，由余弦定理得，得，整理得，则，故A正确.故选：A3．（2026·天津·开学考试）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由点到线的距离公式可得，由勾股定理可得，从而得，在中，由余弦定理可得，则有，即可得，最后根据离心率公式计算即可.【详解】由题意得，，双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设点在直线上，即点在直线上，则，在直角中，，所以，故，在中，，所以，所以，故双曲线的离心率.故选：C.4．已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率.【详解】设，，，，，，又，，解得，，此时，，，，解得，又点在上，，，，又，即，解得，，即.故选：5．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取最小值为b，所以，再根据为直角三角形，可得，再在利用余弦定理可得离心率.【详解】根据题意如图：

点，其中一条渐近线为即，所以的最小值为点到直线的距离，所以，因为为直角三角形，所以，在中，，即，∵，∴，∴，即的离心率为，故选：D.考向4：余弦定理求椭圆、双曲线的离心率用余弦定理求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题1．（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】分情况设出焦半径，由向量数量积为零，可得垂直，利用勾股定理，建立齐次方程，可得答案.【详解】①当时，由，则，由，则，所以，即，由，，则，化简可得，由，则；②当时，由，则，由，则，所以，即，由，，则，由，则方程不成立.故选：D.2．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据椭圆的定义可得，从而得到点为椭圆的上顶点或下顶点，在中由余弦定理可得的值，最后在中由余弦定理可得结果.【详解】设，则，，由，可得，，所以点为椭圆的上顶点或下顶点，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即，.故选：B.3．已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案．【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为，由余弦定理可得，整理可得，所以，即，解得或，又因为，即．故选：A．4．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果.【详解】设，，则，在中，，所以，得，所以，因为，当且仅当时，取等号，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以.故选：C5．已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与椭圆相交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，结合题目所给条件及椭圆定义可得，即可表示出、、、，再借助余弦定理及计算即可得解.【详解】设，则，，则，由椭圆定义可得，故，即有，，，则，则有，整理得，即.故选：C.（建议用时：60分钟）1．（2026·天津东丽·月考）已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的左焦点为，求出，利用椭圆的定义求出，然后在、求出，可得出的值，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，设，则,则，直线的方程为，即，点到直线的距离为，设椭圆的左焦点为，连接，则，在中，，在中，由余弦定理可得,所以，，解得，因此，椭圆的离心率为.故选：B.2．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率.【详解】设过点且倾斜角为的直线为，与双曲线的渐近线联立可得:,,同理与双曲线的渐近线联立可得:,,由为等边三角形，则的中点坐标为，由题意可得：，即，，，，,所以解得,故选：A.3．（2025·天津·二模）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作，垂足为，则，设，则，由直线的斜率为，得出，在中由余弦定理即可求解．【详解】过点作，垂足为，则，如图所示，设，则，所以，所以，则，因为直线的斜率为，所以，则，在中，，在中，，由余弦定理得，，整理得，，故选：D．

4．（2025·天津南开·一模）设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根据题意画出图形，设点在第一象限，根据已知条件得到点在以原点为圆心，为半径的圆上，联立，解得，从而得到，利用正切值得到，再转化为的齐次方程求解即可.【详解】如图所示，设点在第一象限，，因为，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上.，解得.又因为，所以.在中，，，，所以，即.所以，，，即，所以.故选：C5．（2024·天津武清·模拟预测）双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，下列结论不正确的是（

）A．离心率为2 B．C． D．【答案】D【分析】对于A：根据垂直关系可得的值，进而可求得离心率，对于B：分析可知为线段的中垂线，即可得结果；对于C：联立直线方程与双曲线方程可求得点坐标，由点、点、点纵坐标可知、为线段的三等分点，结合三角形面积公式判断即可；对于D：由求解即可.【详解】如图所示，由题意知，，直线方程为，对于选项A：因为，则，整理得，所以离心率，故A正确；对于选项B：由选项A可知：直线的斜率分别为，可知，即为线段的中垂线，所以，故B正确；对于选项C：过作垂足为，过作垂足为，过作垂足为，如图所示，由选项A可知：直线方程为，直线方程为，联立方程，解得，即，联立方程，解得，即，联立方程，解得（负值舍去），即，所以，，，可知，即、为线段的三等分点，所以，设到直线距离为，则，，所以，故C正确；对于选项D：如图所示，由选项A可知：，所以，故D不正确；故选：D.6．（2025·天津·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取右焦点，连接、，作于点，由题意结合几何性质可得相应的边长及角度间的关系，借助余弦定理列出与、、有关齐次式，计算即可得.【详解】取右焦点，连接、，作于点，由为圆的切线，故，又，为中点，故为中点，又，故为中点，，则，，则，，由直线为双曲线的渐近线，故有，则，在中，由余弦定理可得，则，即，即，化简得，即，故.故选：D.7．（2025·天津河西·二模）已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】利用余弦定理构建齐次方程，求解离心率即可.【详解】由题意得，设一条渐近线的方程为，所以，由勾股定理得，因为垂直于渐近线，所以，因为，所以，而，在中，由余弦定理得，因为，所以，化简得，所以，故，则B正确.故选：B8．（2025·天津·二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由双曲线的对称性可得，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率.【详解】由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，则，即，，所以.故选：B9．（2025·天津南开·一模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】延长，交于点,由已知是的平分线，且，所以得到等腰三角形，所以,且点是中点，结合原点是中点，由中位线结合双曲线定义得到，进而求出；最后距离之积利用点到直线距离公式计算即可.【详解】如图，延长，交于点,由已知是的平分线，且，所以,且点是中点.由原点是中点，可得，又，所以，又离心率为，，.设点，所以，即，所以点P到两条渐近线距离之积为：.故选：B.

10．（2025·天津·二模）已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（

）A．16 B． C．8 D．【答案】D【分析】现根据双曲线的离心率，求出渐近线的斜率，继而根据点斜式求得直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦公式，即可求解.【详解】解：由题意得，故双曲线的渐近线方程为，又与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线的斜率为，又，故的直线方程为：，联立直线方程和抛物线方程得：，所以，所以.故选：D.11．（2025·天津·一模）已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于M，N两点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出抛物线准线方程，进而得到，由等边三角形得到