2026年高考数学二轮复习专题12 直线与圆（复习讲义）（原卷版）

专题12直线与圆目录01析·考情精解 202构·知能框架 303破·题型攻坚 4考点一直线 4真题动向必备知识知识1直线方程的五种形式知识2对称问题知识3直线系方程命题预测题型1直线方程、过定点及与坐标系围成的面积问题题型2直线与圆涉及的对称问题考点二圆 10真题动向必备知识知识1直线与圆的位置关系判断知识2两圆位置关系的判断命题预测题型1直线与圆涉及距离最值问题题型2直线与圆位置关系综合求参数题型3圆与圆位置关系综合求参数命题轨迹透视平面解析几何中直线与圆是中学数学的重要内容,是考查考生学科素养的重要载体,高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主,注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，主要考查圆与方程,直线位置关系及其综合问题,主要考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力,从近三年的高考试题来看，本专题考查内容覆盖直线、圆,突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学科素养考点频次总结考点2025年2024年2023年直线T12，5分圆T12，5分T12，5分T12，5分2026命题预测预计在2026年高考中，题型与分值：填空12题(5分)仍是主场，难度中低，突出几何直观与快速计算；解答题或与圆锥曲线、向量等小综合，难度适中。基础方程：圆的标准/一般方程互化，求圆心、半径；直线方程(点斜、斜截、一般式)快速书写与应用。位置关系：判断直线与圆(相交/相切/相离)，求参数；弦长计算(勾股+距离公式)、切线方程(过圆上/外点)、圆上点到直线的最值(d±r)。综合应用：与向量(数量积、模)结合；与圆锥曲线(抛物线焦点/准线、椭圆离心率)小综合；新情景(光的反射、运动轨迹、实际距离)转化为直线与圆问题。强调几何法优先，减少复杂联立计算，重图形与性质应用。增加动态问题：动直线过定点、动圆半径/圆心变化，求参数范围或最值。渗透数学思想：数形结合、转化与化归、分类讨论，提升思维考查权重。考点一直线1．（2024·天津·高考真题，12，5分）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为．2．（2023·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．3．（2007·天津·高考真题，18，15分）设椭圆的左、右焦点分别为，，A是椭圆上的一点，，原点O到直线的距离为．(1)证明；(2)求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于两点，则．4．（2006·天津·高考真题，12，5分）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为．5．（2005·天津·高考真题）某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）6．（2006·天津·高考真题，12，5分）设直线与圆相交于A,B两点，且弦AB的长为，则=.知识1直线方程的五种形式1.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于轴的直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用2．求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）3．线段中点坐标公式若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．4．两直线的夹角公式若直线与直线的夹角为，则.5.三种距离①两点间的距离平面上两点的距离公式为．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离②点到直线的距离点到直线的距离特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离③两条平行线间的距离已知是两条平行线，求间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设，则与之间的距离注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．④双根式双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．知识2对称问题①点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为②点关于直线对称点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．③直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．④直线关于直线对称求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点第三步：利用两点式写出方程⑤常见的一些特殊的对称点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于点的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．知识3直线系方程过定点直线系过已知点的直线系方程（为参数）．斜率为定值直线系斜率为的直线系方程（是参数）．平行直线系与已知直线平行的直线系方程（为参数）．垂直直线系与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．过两直线交点的直线系过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．【易错提醒】在求两条平行线间距离时，先将两条直线前的系数统一，然后代入公式求算.求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）况题型1直线方程、过定点及与坐标系围成的面积问题1．（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3．（2025·天津河西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为．4．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为.5．（2025·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为.6．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则.7．（2025·天津河东·二模）轴，轴上的截距分别为的直线与圆交于两点，则的值为.8．（2025·天津和平·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为.9．（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．（2025·天津南开·一模）已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为．题型2直线与圆涉及的对称问题11．（2026·天津·调研）已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为.(1)求椭圆的离心率；(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程.12．（2026·天津和平·模拟预测）已知点在曲线上，则的最大值为.13．（2026·天津滨海新·模拟预测）已知直线的方程是：，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则的取值为（

）A． B． C． D．14．（2026·天津·月考）已知，两点到直线的距离相等，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．15．（2025·宁夏石嘴山·月考）设双曲线的半焦距为c，直线经过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为.16．（2025·天津滨海新·模拟预测）以下结论：①在空间，若，则四点必共面；②在平面直角坐标系中，到点的距离为1，到点的距离为2的直线有且仅有2条；③在平面直角坐标系中，已知点到直线的距离相等，则；④在平面直角坐标系中，，点满足，则点的轨迹方程为，设此轨迹为C，在轨迹C上存在点，使得；其中说法正确的序号是.17．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知圆C:上有且仅有四个点到直线l：的距离为2，则实数k的取值范围是

.18．（2025·天津河西·月考）已知直线，.(1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；(2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.考点二圆1．（2025·天津·高考真题，12，5分），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则．2．（2023·天津·高考真题，12，5分）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则．3．（2005·天津·高考真题）给出下列三个命题：①若，则；②若正整数m和n满足，则；③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1．当时，圆与圆相切．其中假命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·天津·高考真题，12，5分）若直线被圆截得的弦长为，则的值为．5．（2004·天津·高考真题，6，5分）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（

）．A． B．C． D．6．（2021·天津·高考真题，12，5分）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则．7．（2020·天津·高考真题，12，5分）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为．8．（2010·天津·高考真题，12，5分）已知圆的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为知识1直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：直线与圆相交，交于两点，；直线与圆相切；直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离．知识2两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：两圆相交；两圆外切；两圆相离两圆内切；两圆内含（时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210常用结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．【易错提醒】①求有关圆的切线问题易混淆“在”“过”（求有关圆的切线问题）②忽略斜率是否存在（与圆的代数结构有关的最值问题）题型1直线与圆涉及距离最值问题1．（2025·天津静海·模拟预测）已知点为圆上一点，则的最大值为，求取值范围为.2．（2025·天津南开·模拟预测）已知点，，动点满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点；(3)过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值.3．（2025·天津南开·开学考试）已知，以下结论正确的有（

）①②的最大值为26③的最大值是A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（

）①曲线围成的图形的面积为；②的最小值为；③点到直线的距离的最大值为；④曲线有且仅有4条对称轴A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．（2025·天津·月考）已知圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则.6．（2025·天津·月考）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．7．（2025·天津滨海新·月考）设直线则直线恒过定点；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为.8．（2025·天津河东·模拟预测）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．9．（2025·天津·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（

）A． B．3 C． D．210．（2025·天津·月考）已知点，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为.题型2直线与圆位置关系综合求参数11．（2025·天津·模拟预测）已知直线与圆交于、两点，且，则（

）A． B． C． D．12．（2025·天津·模拟预测）已知以点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆相交与，两点，当时，求直线方程：(3)已知实数，满足圆的方程，求的取值范围.13．（2025·天津南开·月考）已知直线与圆的交点为A，B，则线段的长为.14．（2026·天津南开·月考）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（

）A．圆与轴相切B．两圆公共弦所在直线的方程为C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线D．两圆的公切线段长为15．（2026·天津红桥·月考）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射光线所在的直线方程为.16．（2026·天津红桥·月考）已知圆关于直线对称．(1)求常数(2)已知斜率为的直线与圆交于、两点，若，为坐标原点，求直线的方程．17．（2026·全国·调研）直线被圆截得的弦长为．18．（2026·天津津南·月考）若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是．题型3圆与圆位置关系综合求参数19．（2026·天津津南·月考