2026年高考数学二轮复习专题15 概率（复习讲义）（解析版）

专题15概率目录01析·考情精解 202构·知能框架 303破·题型攻坚 4考点一古典概率 4真题动向必备知识知识1古典概型知识2概率的基本性质知识3解题步骤及技巧命题预测题型1古典概率问题题型2离散型变量与概率综合题型3概率的基本性质考点二条件概率 20真题动向必备知识知识1条件概率知识2相互独立与条件概率的关系命题预测题型1条件概率问题题型2独立性检验与概率综合命题轨迹透视天津高考对该部分内容主要以探索创新情境与生活实践情境为载体，重在考查考生的逻辑思维能力及对事件进行分析、分解和转化的能力;该部分考查的必备知识在选择题和填空题中常常考查多种形式的概率问题等,重点考查知识的应用性与基础性,考查的关键能力主要是逻辑思维能力、数学建模能力、创新能力;考查的学科素养主要为理性思维、数学应用和数学探索考点频次总结考点2025年2024年2023年古典概率T13，5分T13，5分T13，5分条件概率T13，5分T13，5分T13，5分2026命题预测预计在2026年高考中，题型与分值：大概率仍为填空13题（5分），两空设计，第一空古典概型，第二空条件概率，也可能加入全概率公式的简单应用。核心考点：古典概型：重点是组合计数（选排、分组），常与互斥/对立事件结合，注意放回与不放回的区别。条件概率：公式P(B|A)=P(AB)/P(A)是关键，会用列举法/排列组合求P(AB)与P(A)；可能结合独立事件与乘法公式（P(AB)=P(A)P(B|A)）。新增热点：全概率公式（2025已考），2026可能小幅提高要求，需掌握“原因→结果”的分步概率计算。命题新情景：结合校园活动、生活服务、科普闯关、体育赛事等真实场景，信息包装更贴近生活，要求快速提取有效条件。综合趋势：与排列组合、独立重复试验、分布列/期望小综合，不考孤立知识点，注重逻辑链连贯推导。难度定位：送分+区分设计，第一空基础，第二空稍综合，无偏难怪，强调过程规范与公式准确。考点一古典概率1．（2024·天津·高考真题，13，5分）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为．【答案】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.【详解】解法一：列举法给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有：,共10种情况，其中甲选到有6种可能性：，则甲参加“整地做畦”的概率为：；乙选活动有6种可能性：，其中再选择有3种可能性：，故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.解法二：设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，则甲选到的概率为；乙选了活动，他再选择活动的概率为故答案为：；2．（2023·天津·高考真题，13，5分）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为．【答案】/【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；乙盒中黑球个数为，白球个数为；丙盒中黑球个数为，白球个数为；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，黑球总共有个，白球共有个，所以，．故答案为：；．3．（2004·天津·高考真题，16，14分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛(1)求所选3人都是男生的概率；(2)求所选3人中恰有1名女生的概率；(3)求所选3人中至少有1名女生的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）先求出试验包含的所有事件的方法数，再求出3人都是男生的选法，然后利用古典概型的概率公式可求得结果；（2）先求出试验包含的所有事件的方法数，再求出所选3人中恰有1名女生的选法，然后利用古典概型的概率公式可求得结果；（3）先求出试验包含的所有事件的方法数，再求出所选3人中至少有1名女生的选法，然后利用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】（1）由题意得试验包含的所有事件是从6人中选3人共有种，而3人都是男生的选法有种，所以所选3人都是男生的概率为；（2）由题意得试验包含的所有事件是从6人中选3人共有种，而所选3人中恰有1名女生有种，所以所选3人中恰有1名女生的概率为；（3）由题意得试验包含的所有事件是从6人中选3人共有种，而所选3人中至少有1名女生有，所以所选3人中至少有1名女生的概率.4．（2012·天津·高考真题，17，15分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率．【答案】(1)3,2,1(2)【详解】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1．(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所以P(B)＝＝．5．（2012·天津·高考真题，17，15分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）（3）【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故，．所以ξ的分布列是ξ024P随机变量ξ的数学期望知识1古典概型一般地，若试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.知识2概率的基本性质（1）对于任意事件都有：．（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．（5）概率的单调性：若，则．（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．解决古典概型的问题的关键解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：(1)本试验是否具有等可能性；(2)本试验的基本事件有多少个；(3)事件是什么．知识3解题步骤及技巧解题实现步骤：(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；(3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；(4)利用公式求出事件的概率．解题方法技巧：(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型．①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．【易错提醒】互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是在试验的结果不能同时出现来确定的．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作．分类讨论思想是解决互斥事件中有一个发生的概率的一个重要的指导思想题型1古典概率问题1．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率.【答案】【分析】根据题意可知三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，由二项分布的概率计算公式即可求解①；求出事件A与事件AB包含的样本点个数，根据条件概率计算即可.【详解】由题意可知，单次摸到不超过3的概率为，超过3的概率为，记事件A=“三次摸出卡片的数字有两次不超过3”三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，故；事件A的总情况数为，记事件B=“三次中有一次摸出编号为2的卡片”，则事件AB为：有一次摸出编号为2，另外一次为1或3，第三次超过3，可由如下步骤实线事件AB，第一步：从三次摸出卡片中选出一次摸出编号2，共3种情况，第二步：从剩下的两次摸出卡片中选出一次摸出编号1或3，共种情况，第三步：从剩下的一次摸出卡片中选出超过3的编号，共2种情况，由分步乘法计数原理可知，事件AB总情况数为，所以故答案为：，2．（2025·天津南开·模拟预测）2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为．【答案】//【分析】利用组合数，结合古典概型，并结合条件概率的定义计算即可.【详解】总共有6款饮品，甲选购3款不同饮品，总的选购方案数为组合数,甲选购的饮品中包含“林林清风”的方案：固定“林林清风”被选中，则甲需从剩余5款饮品中选购2款，方案数为，因此，概率为；条件：甲已选购包含“林林清风”的3款饮品（记作集合，其中必含“林林清风”），乙独立选购3款不同饮品，总的选购方案数为.要求甲、乙所选饮品集合的交集大小恰好为1（即恰有1款相同）；设饮品全集为，其中为“林林清风”，不失一般性，设甲选购，则剩余饮品为.乙选购时，恰有1款与甲相同，即乙从中选1款，并从中选2款.从选1款的方案数：，从选2款的方案数：.因此，满足条件的乙选购方案数为，概率为.故答案为：；.3．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案.【详解】中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为，取到偶数的概率为，的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性.设，，有；考虑递推关系：代入，，，当时，，为奇数的概率为，故.所以是以为首项，为公比的等比数列；所以，当时，，当时，.故选：A4．（2025·天津北辰·三模）某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为.【答案】/0.25/0.125【分析】利用古典概率公式求得丢失物理书的概率；利用全概率公式求得答案.【详解】依题意，丢失的一箱恰巧是物理书的概率为；记事件“丢失数学书”，事件“任取两箱都是数学”，则，，所以所求概率.故答案为：；5．（2025·天津·二模）某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为.【答案】【分析】①利用条件概率公式计算即可；②利用古典概型概率公式即可求解.【详解】①记第一次取到红求为事件，第二次取到白球为事件，则，，所以；②记小强恰好抽到1个一等奖奖品券为事件，则.故答案为：①；②.6．（2025·天津滨海新·三模）某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率．【答案】【分析】根据古典概型的概率公式及组合学公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，即可求解第二空.【详解】从个人中任取人，全部情况有种，恰有一名两名男生的情况有，故恰有一名男生参加AI人工智能学习的概率为；有女生参加AI人工智能学习的情况有种，恰有一名女生参加AI人工智能学习的情况有种，故在至少有一名女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为.故答案为：；.7．（2025·天津·一模）某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为．【答案】【分析】两位同学选择相互独立，每位同学选择软笔书法社团的概率相等，按照分步乘法公式求出结果，第二小空为条件概率，根据条件概率公式求解.【详解】一个人选择软笔书法社团的概率为，所以两人都选择软笔书法社团的概率为.设两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团为事件,两人选择不同社团为事件,事件分为只有一人参加杨柳青年画社团和两人同时参加杨柳青年画社团两种情况，所以，根据条件概率计算公式,故答案为：；.8．（24-25高二下·天津·期中）2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为．【答案】210/【分析】根据分组分配先将6人分成三组，再进行分配即可求得不同的安排方法；再利用古典概型计算可得所求概率.【详解】根据题意可将6名工作人员分成三组，符合题意的分组为2，1，3或2，2，2；因此不同的安排方法有种；若三项工作各安排2人，共有种，则甲和乙安排相同工作的方法有种，所以甲和乙安排相同工作的概率为.故答案为：210，.题型2离散型变量与概率综合9．（2025·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求概率.【详解】由题设，甲乙都不能破译的概率为，所以密码被成功破译的概率为.故选：A10．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是．【答案】；58【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果.【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为；至少抽到1张“获奖卡”的概率为，设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则，所以．故答案为：；11．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为.【答案】【分析】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件抽取的一个零件为次品，利用全概率公式可求得的值.【详解】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件抽取的一个零件为次品，由题意可得，，，，，由全概率公式可得.故答案为：.12．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为．【答案】【分析】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”，分别求出、，代入条件概率公式求解即可；首先确定终止检验的条件为：同种类型的饮料被全部取出，从而确定X的值，然后分析每个取值的情况并计算概率值，最后代入期望计算公式进行计算.【详解】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”，则，，所以在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期的概率为.随机变量的取值为2,3,4,5，记为“第“i”次取到过期饮料”，，,.故答案为：.13．（2025·贵州铜仁·三模）一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作，则第二次取出的球是黑球的概率为；在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率为．【答案】【分析】记表示第次取到黑球，，根据已知条件结合全概率公式即可求解；根据已知条件利用样本空间法即可求解.【详解】记表示第次取到黑球，，；，，，.故答案为：.14．（2025·天津南开·二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为．【答案】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得出都取到红球的概率；根据条件概率公式计算可得两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率.【详解】设事件表示“从甲袋中取到红球”，事件表示“从乙袋中取到红球”，甲袋中有个红球，个球，所以；乙袋中有个红球，个球，所以.因为从甲、乙两袋中取球相互独立，所以“都取到红球”即与同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式可得.设事件表示“两球颜色不同”，事件表示“乙袋中取出黄球”.先求：两球颜色不同有“甲红乙黄”和“甲黄乙红”两种情况.“甲红乙黄”的概率；“甲黄乙红”的概率.根据互斥事件概率加法公式，.“两球颜色不同且乙袋中取出黄球”即“甲红乙黄”，.根据条件概率公式，可得.故答案为：；.题型3概率的基本性质15．（2025·天津·二模）甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.【答案】【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解.【详解】设甲、乙、丙三人各自独立地做对同一道题分别为事件，则，因为，，解得，或，设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题为事件，当时，，，，当时，则，综上，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.故答案为：.16．（2025·江苏南通·二模）某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为．【答案】【分析】甲通过第一轮分甲遇到乙和不遇到乙两种情况求解，当甲乙获冠军时，说明甲乙都晋级第二轮，且第二轮不相遇都获胜即可据此得解.【详解】甲在首轮遇到乙的概率为，此时甲获胜的概率为，甲遇到其他6名选手的概率为，此时甲获胜的概率为，所以甲获胜概率为：；第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为,进入第二轮的4人中，甲和乙不相遇的概率为，且两人均击败对手的概率为，故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为，所以甲、乙在第三轮争夺冠军的概率为.故答案为：；17．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是；从第3个盒子中取到白球的概率是．【答案】【分析】应用古典概率求法求从第1个盒子中取到白球的概率，再应用独立乘法公式和互斥事件加法求从第3个盒子中取到白球的概率.【详解】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是，当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球，从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为，从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为，所以，对应概率为；当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球，从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为，从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为，所以，对应概率为；综上，从第3个盒子中取到白球的概率是.故答案为：；18．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为．【答案】0.820.398【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二空即可.【详解】第一空：由全概率公式可得：；第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：，故答案为：0.82；0.398.19．（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是.【答案】/【分析】由题意，根据条件概率公式和全概率公式求解即得.【详解】设事件“学生玩手机超过小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件，由题意可得，，，则，所以.故答案为：.20．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则；．【答案】/0.25【分析】设出事件，由题意得到，由互斥事件的概率加法公式和全概率公式得到概率的递推式，接着构造等比数列,求出其通项公式即得.【详解】设“经过次传球后，球在甲的手中”，则事件的概率即，则依题意，，则，即，(*)因代入解得，，；由（*）可得，，且，故数列是以为首项，为公比的等比数列，于是，，则得，.故答案为：；.考点二条件概率1．（2007·天津·高考真题，16，14分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(1)求取出的4个球均为红球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）若“取出的4个球均为红球”，则从甲、乙两个盒内各任取2个球均为红球，结合独立事件的概率乘法公式运算求解；（2）若“取出的4个球中恰有1个红球”，则有两种可能：“甲盒内任取2个球中有1个红球，乙盒内任取2个球中没有红球”和“甲盒内任取2个球中没有红球，乙盒内任取2个球中有1个红球”，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】（1）记“从甲盒内任取2个球中有个红球”为事件，“从乙盒内任取2个球中有个红球”为事件，则，，故取出的4个球均为红球的概率.（2）取出的4个球中恰有1个红球的概率.2．（2006·天津·高考真题，16，14分）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．(1)从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；(2)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）．【答案】(1)(2).【分析】（1）根据已知条件，结合独立重复试验下事件的概率计算公式求解即可；（2）根据对立事件的概率计算公式，先求得都是次品的概率，再求解即可.【详解】（1）根据题意，从甲机床生产的产品中任取3件，恰有2件为正品，则1件为次品，故其概率为：.（2）因为甲乙机床生产产品相互独立，故从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，都是次品的概率为，故其对立事件至少有1件正品的概率为：.3．（2006·天津·高考真题，16，14分）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；(3)设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列．【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析.【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；(3)利用独立重复试验概率公式求出前3次中恰好击中两次的概率，再由概率乘法公式求所求事件的概率；(3)先确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列.【详解】（1）设事件该射手第次射击，击中目标为，，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，互斥，所以又事件相互独立，所以；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知的取值有，，，，，，又，，，，，所以随机变量的分布列为：345…………4．（2021·天津·高考真题，13，5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．【答案】【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.故答案为：；.5．（2020·天津·高考真题，13，5分）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．【答案】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.6．（2019·天津·高考真题，17，15分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，故，从面.所以，随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望.(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由(Ⅰ)知：.7．（2011·天津·高考真题，17，15分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球、个黑球；乙箱子里装有个白球、个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，若摸出的白球不少于个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（I）求在一次游戏中，（i）摸出个白球的概率；（ii）获奖的概率；（II）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望【答案】（I）（i）；（ii）；（II）见解析【分析】（I）（i）摸出三个白球说明甲箱子取个白球，乙箱子取个白球，个黑球，根据古典概型概率公式求得结果；（ii）获奖的情况包括摸出个白球或个白球，根据和事件的概率公式，结合古典概型求得结果；（II）确定所有可能的取值，可知，利用二项分布概率公式计算得到每个取值对应的概率，从而得到分布列；再利用二项分布数学期望计算公式求得.【详解】（I）记“在一次游戏中摸出个白球”为事件，（i），即摸出个白球的概率为：（ii）即获奖的概率为：（II）由题意可知，所有可能的取值为：，且则；；的分布列如下：知识1条件概率定义一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．（3）如果与互斥，则．注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．知识2相互独立与条件概率的关系相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．事件的独立性（1）事件与相互独立的充要条件是．（2）当时，与独立的充要条件是．（3）如果，与独立，则成立．【易错提醒】条件概率：设A，B是条件S下的两个随机事件，，则称在事件A发生的条件下事件B发生的概率为条件概率，记作，，其中表示事件A与事件B同时发生构造的事件．要注意概率与的区别：（1）在中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在中，事件A，B同时发生．（2）样本空间不同，在中，事件B成为样本空间；在中，样本空间仍为，因而有．题型1条件概率问题1．（2025·天津河北·二模）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是．【答案】/【分析】应用独立事件乘法公式求甲以的比分获胜的概率，先确定甲获胜的概率，再求其中甲第一局获胜的概率，最后由条件概率公式求甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率.【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜，所以甲以的比分获胜的概率，事件表示“甲获胜”，则前两局甲获胜，或前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜，所以甲获胜的概率，事件表示“甲第一局获胜”，则，所以.故答案为：，2．（2025·天津河西·二模）已知甲袋中装有个红球，个白球；乙袋中装有个红球，个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球，若两个球同色，则将取出的两个球全部放入甲袋中；若两个球不同色，则将取出的两个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响.按上述方法操作一次，在甲袋中恰有个小球的条件下，当时从甲袋中取出的是红球的概率是；按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有个小球的概率是.【答案】【分析】记住事件甲袋中恰有个小球，事件从甲袋中取出的是红球，利用条件概率公式可求得的值；对前两次模的球的颜色进行分类讨论，结合独立事件的概率公式可得出所求事件的概率.【详解】记住事件甲袋中恰有个小球，事件从甲袋中取出的是红球，则，，由条件概率公式可得；根据题意，若乙袋中恰有个小球，则两次操作后，取出的两球是同色的，有种情况：（i）第一次都取出红球，第二次都取出红球，其概率为；（ii）第一次都取出红球，第二次都取出白球，其概率为；（iii）第一次都取出白球，第二次都取出红球，其概率为；（iv）第一次都取出白球，第二次都取出白球，其概率为.因此，重复操作两次后，乙袋中恰好有个小球的概率为.故答案为：；.3．（2025·天津·二模）将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则.【答案】/0.25【分析】（1）根据题给条件可判断随机变量服从二项分布，即，再根据即可得解.（2）写出事件包含的事件个数，再根据条件概率公式计算即可.【详解】由题意知，正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的概率，且在桌面上连续独立地抛掷次，为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则随机变量服从二项分布，即，则；正四面体与桌面接触面上的数字分别为，的包含的事件总个数为，事件为“为偶数”包含的事件个数为，事件为“，中有偶数，且”包含的事件个数为.则，，则.故答案为：；.4．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则．【答案】30【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案，所以甲和乙选择的课程不同共有种方案；事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术”先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案，若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案，丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案，根据分步乘法计数原理，共有种方案；若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案，其余两人分别选择另外两门课程，有种方案，根据分步乘法计数原理，共有种方案；根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案，根据条件概率公式，；故答案为：30；.5．（2025·天津河东·二模）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为.【答案】【分析】利用组合，求出从个人物手办中，随机购买个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式，即可求解；利用条件概率公式，即可求解.【详解】从个人物手办中，随机购买个盲盒，共有种买法，又个盲盒中，包含哪吒和至少一位龙王有种买法，所以小明随机购买个盲盒，其中包含哪吒和至少一位龙王的概率为，记事件：随机购买个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：随机购买个盲盒，恰有哪吒父母中的一位，则，，所以，故答案为：；.6．（2025·天津和平·二模）已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为.【答案】【分析】设出事件，利用条件概率公式计算出概率，再利用全概率公式计算出从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，取到一张红色卡片的概率.【详解】设从甲盒中取出2张卡片中有一张是红色卡片为事件A，从甲盒中取出2张卡片中有一张是白色卡片为事件B，则，，所以，若从甲盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为，若从乙盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为，故从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为.故答案为：，7．（2025·天津河北·二模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为.【答案】/【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率的计算公式求解.【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为，设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件，则，，，该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为.故答案为：，.8．（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望.【答案】【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望.【详解】设“第一次取到黑球”为事件，“第二次取到白球”为事件.则.表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有种取法，第二次取白球有种取法，从个球中依次取个球的总取法有种，所以.根据条件概率公式，可得.随机取出个球，取出的球中白球的个数可能取值为，，.表示取出的个球都是黑球的概率，从个黑球中取个球的组合数为，从个球中取个球的组合数为，所以.表示取出的个球中有个白球和个黑球的概率，从个白球中取个球的组合数为，从个黑球中取个球的组合数为，所以.表示取出的个球中有个白球和个黑球的概率，从个白球中取个球的组合数为，从个黑球中取个球的组合数为，所以.根据期望公式可得.故答案为：；.9．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.【答案】【分析】利用条件概率公式计算摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式求红球的概率.【详解】记事件表示“至少抽到一个红球”，事件表示“2个球都是红球”，,,所以.设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则,所以,所以.故答案为：①，②.10．（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率．【答案】【分析】根据古典概型的计算方法可求两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率；设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，先求出，，在利用条件概率公式即可求第二空.【详解】设事件表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”，则；设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，则，，∴．故答案为：．题型2独立性检验与概率综合1．（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（

）①回归直线恒过点，且至少过一个样本点：②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好；④某项测量结果服从正态分布，若，则A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立型检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布可判断④.即可得出合适的选项.【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，①错；对于②，根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，②对；对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好，③对；对于④，某项测量结果服从正态分布，若，则，④对.故选：C.2．（2025·天津·一模）下列说法正确的