赣湘粤三省六校2026届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

赣湘粤三省六校2026届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知点，，则直线的斜率是（）A． B． C．5 D．12．化简（）A． B． C． D．3．在中,,是的内心,若,其中,动点的轨迹所覆盖的面积为(

)A． B． C． D．4．正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成的角是()A． B． C． D．5．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8π B．6π C．4π D．π6．设函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．7．在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（）A．或 B．C． D．8．设的三个内角成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A． B． C．或 D．或9．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（）A． B． C． D．10．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A． B． C．5 D．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，且，则________.12．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：①；②数列，，，，…是等比数列；③数列，，，，…的前项和为；④若存在正整数，使，，则．其中正确的结论是_____．（将你认为正确的结论序号都填上）13．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.14．数列中，，，，则的前2018项和为______.15．直线的倾斜角为_____________16．与终边相同的最小正角是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线，.（1）证明:直线过定点；（2）已知直线//，为坐标原点，为直线上的两个动点，，若的面积为，求.18．在平面直角坐标系中，已知射线与射线，过点作直线l分别交两射线于点A、B（不同于原点O）.（1）当取得最小值时，直线l的方程；（2）求的最小值；19．知两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，求当m为何值时，l1与l2：（1）垂直；（2）平行，并求出两平行线间的距离．20．请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍，如图，在学校的东北力有一块地，其中两面是不能动的围墙，在边界内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？21．在中，A,B,C所对的边分别为，满足．(I)求角A的大小；(Ⅱ)若，D为BC的中点，且的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据直线的斜率公式，准确计算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据直线的斜率公式，可得直线的斜率，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2、A【解析】

减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.【详解】故答案选A【点睛】本题考查了向量的加减法，属于简单题.3、A【解析】

画出图形，由已知条件便知P点在以BD，BP为邻边的平行四边形内，从而所求面积为2倍的△AOB的面积，从而需求S△AOB：由余弦定理可以求出AB的长为5，根据O为△ABC的内心，从而O到△ABC三边的距离相等，从而，由面积公式可以求出△ABC的面积，从而求出△AOB的面积，这样2S△AOB便是所求的面积．【详解】如图，根据题意知，P点在以BP，BD为邻边的平行四边形内部，∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB；在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；∴由余弦定理得，；解得：AB=5，或AB=（舍去）；又O为△ABC的内心；所以内切圆半径r=,所以∴==；∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为．故答案为：A．【点睛】本题主要考查考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，余弦定理，以及三角形内心的定义，三角形的面积公式．意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是找到P点所覆盖的区域.4、D【解析】

首先根据得到异面直线与所成的角就是直线与所成角，再根据即可求出答案.【详解】由图知：取的中点，连接.因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成角.因为，所以，.因为，所以，.所以异面直线与所成的角为.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成角，平移找角为解题的关键，属于简单题.5、C【解析】设正方体的棱长为a，则＝8，∴a＝2.而此正方体的内切球直径为2，∴S表＝4π＝4π.选C.6、B【解析】

分别解和时条件对应的不等式即可.【详解】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为即，解得.综上，的x的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.7、C【解析】

将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得：，即可求得.【详解】解：，，由正弦定理得：故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.8、C【解析】

的三个内角成等差数列，可得角A、C的关系，将已知条件中角C消去，利用三角函数和差角公式展开即可求出角A的值，再由三角形面积公式即可求得三角形面积.【详解】的三个内角成等差数列，则，解得，所以，所以，整理得，则或，因为，解得或.①当时，；②当时，，故选C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等差数列性质、三角函数和差角公式、三角函数辅助角公式，综合性较强，属于中档题；解题中主要是通过消元构造关于角A的三角方程，其中利用三角函数和差角公式和辅助角公式对式子进行化解是解题的关键.9、A【解析】

数形结合，还原出该几何体的直观图，计算出各面的面积，可得结果.【详解】如图为等腰直角三角形，平面根据三视图，可知点到的距离为点到的距离为所以，故该棱锥的全面积为故选：A【点睛】本题考查三视图还原，并求表面积，难点在于还原几何体，对于一些常见的几何体要熟悉其三视图，对解题有很大帮助，属中档题.10、C【解析】

由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解析】

利用正切函数的单调性及周期性，可知在区间与区间内各有一值，从而求出。【详解】因为函数的周期为，而且在内单调增，所以有两个解，一个在，一个在，由反正切函数的定义有，或。【点睛】本题主要考查正切函数的性质及反正切函数的定义的应用。12、①③④【解析】

根据题中所给的条件，将数列的项逐个写出，可以求得，将数列的各项求出，可以发现其为等差数列，故不是等比数列，利用求和公式求得结果，结合条件，去挖掘条件，最后得到正确的结果.【详解】对于①，前24项构成的数列是，所以，故①正确；对于②，数列是，可知其为等差数列，不是等比数列，故②不正确；对于③，由上边结论可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，故③正确；对于④，由③知，即，解得，且，故④正确；故答案是①③④.【点睛】该题考查的是有关数列的性质以及对应量的运算，解题的思想是观察数列的通项公式，理解项与和的关系，认真分析，仔细求解，从而求得结果.13、【解析】

根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值【详解】因为所以角最大值为【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题14、2【解析】

直接利用递推关系式和数列的周期求出结果即可．【详解】数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1﹣an，则：a2＝a2﹣a1＝1，a4＝a2﹣a2＝﹣1，a5＝a4﹣a2＝﹣2，a1＝a5﹣a4＝﹣1，a7＝a1﹣a5＝1，…所以：数列的周期为1．a1+a2+a2+a4+a5+a1＝0，数列{an}的前2018项和为：（a1+a2+a2+a4+a5+a1）+…+（a2011+a2012+a2012+a2014+a2015+a2011）+a2017+a2018，＝0+0+…+0+（a1+a2）＝2．故答案为：2【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．15、【解析】

先求得直线的斜率，由此求得对应的倾斜角.【详解】依题意可知，直线的斜率为，故倾斜角为.故答案为：【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角的计算，属于基础题.16、【解析】

根据终边相同的角的定义以及最小正角的要求，可确定结果.【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是.故答案为：.【点睛】本题主要考查终边相同的角，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见详解；（2）【解析】

（1）将直线变形，然后令前系数为0，可得结果.（2）根据直线//，可得，然后计算点到直线距离，根据面积公式，可得结果.【详解】（1）由则直线，令且所以对任意的，直线必过定点（2）由直线//，所以可知直线，则直线，点到直线距离为又，所以【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及平面中线线平行关系，属基础题.18、（1）；（2）6.【解析】

（1）设，，利用三点共线可得的关系，计算出后由基本不等式求得最小值．从而得直线方程；（2）由（1）中所设坐标计算出，利用基本不等式由（1）中所得关系可得的最小值，从而得的最小值．【详解】（1）设，，因为A，B，M三点共线，所以与共线，因为，，所以，得，即，，等号当且仅当时取得，此时直线l的方程为.（2）因为由，所以，当且仅当时取得等号，所以当时，取最小值6.【点睛】本题考查直线方程的应用，考查三点共线的向量表示，考查用基本不等式求最值．用基本不等式求最值时要根据目标函数的特征采取不同的方法，如（1）中用“1”的代换配凑出基本不等式的条件求得最值，（2）直接由已知应用基本不等式求最值．19、(1)m(2)m＝﹣7，距离为【解析】

（1）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．（2）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值，再利用两平行线间的距离公式，求出结果．【详解】（1）两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，当（3+m）•2+4（5+m）＝0时，即6m+26＝0时，l1与l2垂直，即m时，l1与l2垂直．（2）当时，l1与l2平行，即m＝﹣7时，l1与l2平行，此时，两条直线l1：﹣2x+2y＝13，l2：﹣2x+2y＝﹣8，此时，两平行线间的距离为．【点睛】本题主要考查两条直线垂直、平行的性质，两条平行线间的距离公式，属于基础题．20、在线段上取点，过点分别作墙的平行线，建一个长、宽都为17米的正方形，教学楼的面积最大【解析】

可建立如图所示的平面直角坐标系，根据截距式写出AB所在直线方程，然后可设G点的坐标为，再根据题目中的要求可列出教学楼的面积的表达式,,然后利用一元二次函数求最值即可．【详解】解：如图建立坐标系，可知所在直线方程为，即.设，由可知．∴.由此可知，当时，有最大值289平方米．故在线段上取点，过点分别作墙的平行线，建一个长、宽都为17米的正方形，教学楼的面积最大．【点睛】本题考查一元二次函数求最值解决实际问题，属于中档题21、