2026届上海师大附中数学高一下期末调研试题含解析

2026届上海师大附中数学高一下期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角的对边分别是，若，则（）A． B．或 C．或 D．2．在中，为的三等分点，则()A． B． C． D．3．已知等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．记为实数中的最大数.若实数满足则的最大值为（）A． B．1 C． D．5．函数，是A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数6．若直线y＝﹣x+1的倾斜角为，则A． B．1 C． D．7．设满足约束条件，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．108．实数满足,则的取值范围为（）A． B． C． D．9．在中，，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形10．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A． B． C． D．或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．12．已知满足约束条件，则的最大值为__________．13．已知等差数列，若，则______.14．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则角_______.15．在等差数列中，，，则的值为_______.16．已知是边长为的等边三角形，为边上（含端点）的动点，则的取值范围是_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围18．如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示．19．已知数列中，，点在直线上，其中.（1）令，求证数列是等比数列；（2）求数列的通项；（3）设、分别为数列、的前项和是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在，则说明理由.20．已知数列满足若数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）求证：是等差数列.21．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

直接利用正弦定理，即可得到本题答案，记得要检验，大边对大角.【详解】因为，所以，又，所以，.故选：D【点睛】本题主要考查利用正弦定理求角.2、B【解析】试题分析：因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，，所以，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若，则，即有，为边的三等分点，则,故选B．3、C【解析】

设等比数列的公比为q，利用通项公式与求和公式即可判断出结论．【详解】设等比数列的公比为q，若，则，则，而与0的大小关系不确定.若，则，则与同号，则与0的大小关系不确定.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4、B【解析】

先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解.【详解】因为，所以，整理得：，解得，所以，同理，.故选B【点睛】本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5、A【解析】

判断函数函数，的奇偶性，求出其周期即可得到结论.【详解】设则故函数函数，是奇函数，由故函数，是最小正周期为的奇函数.故选A.【点睛】本题考查正弦函数的奇偶性和周期性，属基础题.6、D【解析】

由题意利用直线的方程先求出它的斜率，可得它的倾斜角α，再利用特殊角的余弦值求得cosα．【详解】∵直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1，故它的倾斜角为α＝135°，则cosα＝cos135°＝﹣cos45°，故选：D．【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，特殊角的余弦值，属于基础题．7、B【解析】

结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得，当取到点时得到最小值，即故选【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法8、A【解析】

画出可行域，平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的取值范围.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界的位置，由图可知目标函数分别在出取的最小值和最大值，最小值为，最大值为，故的取值范围是，故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划求最大值和最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9、B【解析】

利用余弦定理、三角形面积公式、正弦定理，求得和，通过等式消去，求得的两个值，再判断三角形的形状.【详解】，又，，，又，，又，，，，，，解得：或，一定是直角三角形.【点睛】本题在求解过程中对存在两组解，要注意解答的完整性与严谨性，综合两种情况，再对的形状作出判断.10、B【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【详解】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β为钝角，∴cos（α+β），则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα••，故选B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、分层抽样.【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样故答案为分层抽样．点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．12、57【解析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴的截距取最大值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出目标函数的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距取最大值，此时，取最大值，即，故答案为.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值时，找最优解求解，考查数形结合数学思想，属于中等题．13、【解析】

利用等差数列的通项公式直接求解.【详解】设等差数列公差为，由，得，解得.故答案：.【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14、【解析】

根据三角形面积公式和余弦定理可得，从而求得；由角的范围可确定角的取值.【详解】故答案为：【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用问题，关键是能够配凑出符合余弦定理的形式，进而得到所求角的三角函数值.15、.【解析】

设等差数列的公差为，根据题中条件建立、的方程组，求出、的值，即可求出的值.【详解】设等差数列的公差为，所以，解得，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式进行计算，考查方程思想，属于基础题.16、【解析】

取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，其中，利用数量积的坐标运算将转化为有关的一次函数的值域问题，可得出的取值范围.【详解】如下图所示：取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则点、、，设点，其中，，，，因此，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围，可以利用基底向量法以及坐标法求解，在建系时应充分利用对称性来建系，另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴，可简化运算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）[0，].【解析】

(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x，∴f(α)＝＝＝＝.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋＝sin(2x＋)＋，∵≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin(2x＋)≤1，0≤f(x)≤，∴f(x)∈[0，]．本试题组要是考查了三角函数的运用.18、，，【解析】试题分析：利用向量的加减法的几何意义得，再结合已知及图形得最后求出．试题解析：解：考点：向量的加减法的几何意义19、（1）证明过程见详解；（2）；（3）存在实数，使得数列为等差数列.【解析】

（1）先由题意得到，再由，得到，即可证明结论成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出数列的通项；（3）把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．【详解】（1）因为点在直线上，所以，因此由得所以数列是以为公比的等比数列；（2）因为，由得，故，由（1）得，所以，即，所以，，…，，以上各式相加得：所以；（3）存在λ＝2，使数列是等差数列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2∴又=∴，∴当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型.20、(1)(1)证明见解析【解析】

数列满足，变形为，利用等比数列的通项公式即可得出数列满足：，时，，可得，化为：，可得：，相减化简即可证明．【详解】（1）数列满足，，数列是等比数列，首项为1，公比为1．，．证明：数列满足：，时，，解得．时，，可得，化为：，可得：，相减可得：，化为：，是