计量经济学（第六版）课件 第四章 放宽基本假定的模型

第四章

经典单方程计量经济学模型：

放宽基本假定的模型

说明经典多元线性模型在满足若干基本假定的条件下，应用普通最小二乘法得到了无偏、有效且一致的参数估计量。在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假定的情况并不多见。不满足基本假定的情况，称为基本假定违背。对截面数据模型来说，违背基本假定的情形主要包括：解释变量之间存在严重的多重共线性；随机干扰项序列存在异方差性；解释变量具有内生性；模型设定偏误。在建立计量经济学模型时，必须对所研究对象是否满足OLS下的基本假定进行检验，这种检验称为计量经济学检验。经过计量经济学检验发现出现一种或多种基本假定违背时，则不能直接使用OLS法进行参数估计，而必须采取补救措施或发展新的估计方法。为什么不讨论正态性假设？WilliamH.Greene(2003),EconometricAnalysisInviewofourdescriptionofthesourceofthedisturbances,theconditionsofthecentrallimittheoremwillgenerallyapply,atleastapproximately,andthenormalityassumptionwillbereasonableinmostsettings.Exceptinthosecasesinwhichsomealternativedistributionisassumed,thenormalityassumptionisprobablyquitereasonable.一、多重共线性二、实际经济问题中的多重共线性三、多重共线性的后果四、多重共线性的检验五、克服多重共线性的方法六、案例

§4.1多重共线性

一、多重共线性的概念1、多重共线性如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为多重共线性(Multicollinearity)。perfectmulticollinearity

approximatemulticollinearity

2、实际经济问题中的多重共线性

产生多重共线性的主要原因：经济变量相关的共同趋势模型设定不谨慎样本资料的限制二、多重共线性的后果

1、完全共线性下参数估计量不存在如果存在完全共线性，则(X’X)-1不存在，无法得到参数的估计量。2、近似共线性下OLS估计量非有效

近似共线性下，可以得到OLS参数估计量，但参数估计量方差的表达式为

由于|X’X|0，引起(X’X)-1主对角线元素较大，使参数估计值的方差增大，OLS参数估计量非有效。

以二元线性模型离差形式为例：

y=

1x1+2x2+恰为X1与X2的线性相关系数的平方r2，也是X1关于X2OLS回归的可决系数由于r2

1，故1/(1-r2)1。可证明:多重共线性使参数估计值的方差增大，1/(1-r2)为方差膨胀因子(VarianceInflationFactor,VIF)当完全不共线时,r2

=0

当近似共线时,0<

r2

<1当完全共线时，r2=1，

3、参数估计量经济含义不合理

如果模型中两个解释变量具有线性相关性，例如X2=

X1

：这时，X1和X2前的参数

1、

2并不反映各自与被解释变量之间的结构关系，而是反映它们对被解释变量的共同影响。

1、

2已经失去了应有的经济含义，于是经常表现出似乎反常的现象：例如

1本来应该是正的，结果恰是负的。4、变量的显著性检验失去意义存在多重共线性时参数估计值的方差与标准差变大容易使通过样本计算的t值小于临界值，误导作出参数为0的推断可能将重要的解释变量排除在模型之外5、模型的预测功能失效

变大的方差容易使区间预测的“区间”变大，使预测失去意义。注意：除非是完全共线性，多重共线性并不意味着任何基本假设的违背；因此，即使出现较高程度的多重共线性，OLS估计量仍具有线性性等良好的统计性质。问题在于，即使OLS法仍是最好的估计方法，它却不是“完美的”，尤其是在统计推断上无法给出真正有用的信息。三、多重共线性的检验说明多重共线性表现为解释变量之间具有相关关系，所以用于多重共线性的检验方法主要是统计方法，如相关系数法、方差膨胀因子法、综合统计检验法等。多重共线性检验的任务是：检验多重共线性是否存在；估计多重共线性的范围，即判断哪些变量之间存在共线性。1、相关系数法

2、方差膨胀因子法

如果在OLS估计中，R2与F值较大，但t检验值较小，说明各解释变量对Y的联合线性作用显著，但各解释变量间存在共线性而使得它们对Y的独立作用不能分，故t检验不显著。3、综合检验法四、克服多重共线性的方法1、第一类方法：对模型施加约束条件并转换模型以减少解释变量的个数

2、第二类方法：增加样本容量

五、案例——粮食生产函数模型以粮食产量作为被解释变量Y，以影响粮食产量的主要因素粮食播种面积X1、有效灌溉面积X2、化肥施用量X3、大型拖拉机数量X4，采用C-D生产函数形式，建立地区粮食生产模型：

用2023年数据进行OLS估计：

(0.413)(0.078)(0.104)(0.066)

(0.035)

增加2020年数据后的OLS回归

(0.413)(0.078)(0.104)(0.066)

(0.035)比较：只有2023年的数据的回归标准差普遍有着较大程度的下降方差膨胀因子有升有降：

lnX2前参数估计的方差膨胀因子甚至上升了，但其标准差却下降了当模型存在共线性，将某个共线性变量去掉，剩余变量的参数估计结果将发生变化，而且经济含义也上可能发生变化；严格地说，实际模型由于总存在一定程度的共线性，所以每个参数估计量并不真正反映对应变量与被解释变量之间的结构关系。§4.2异方差性一、异方差的类型二、实际经济问题中的异方差性三、异方差性的后果四、异方差性的检验五、异方差的修正六、案例一、异方差的概念即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。1、异方差HomoskedasticityHeteroskedasticity2、异方差的类型同方差：

i2=常数，与解释变量观测值Xi无关；异方差：

i2=f(Xi)，与解释变量观测值Xi有关。异方差一般可归结为三种类型：单调递增型：

i2随X的增大而增大单调递减型：

i2随X的增大而减小复杂型：

i2与X的变化呈复杂形式二、实际经济问题中的异方差性例4.2.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为

Yi=

0+

1Xi+

iYi:第i个家庭的储蓄额Xi:第i个家庭的可支配收入。高收入家庭：储蓄的差异较大；低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小。

i的方差呈现单调递增型变化。例4.2.2:

以绝对收入假设为理论假设、以截面数样本建立居民消费函数：

Ci=

0+

1Yi+

i将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起随机项的异方差性，且呈U形。例4.2.3:

以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型

Yi=Ai1Ki2Li3ei被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A。每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。对于不同的企业，它们对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。三、异方差性的后果1、参数估计量非有效

OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性。

因为在有效性证明中利用了E(

’)=

2I

而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。

2、变量的显著性检验失去意义

变量的显著性检验中，构造了t统计量

其他检验也是如此。3、模型的预测失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；

所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。四、异方差性的检验1、检验思路检验方法很多GraphicalMethodFormalMetrodsParkTestGlejserTestSpearman’sRankCorrelationTestGoldfeld-QuandtTestBreusch-Pagan-GodfreyTestWhite’sGeneralHeteroscedasticityTestKoenker-BassettTest共同的思路：由于异方差性是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。问题在于用什么来表示随机误差项的方差？一般的处理方法：首先采用OLS估计，得到残差估计值，用它的平方近似随机误差项的方差。2、图示法（1）用X-Y的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）。看是否形成一斜率为零的直线。(2)用X-ei2的散点图进行判断3、布罗施-帕甘（Breusch-Pagan）检验

检验是否存在异方差，即检验随机项的方差是否与模型解释变量相关用OLS估计的ei2近似方差，构造辅助回归用辅助回归的可决系数构造F或者LM统计量模型：5、怀特（White）检验以二元模型为例在同方差假设下建立辅助回归模型辅助回归可决系数渐近服从辅助回归解释变量的个数说明：

辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。五、异方差的修正1、加权最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）

思路：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。

在采用OLS方法时:

对较小的残差平方ei2赋予较大的权数；对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。

例如，对一多元模型加权后的模型满足同方差性，可用OLS法估计。

一般情况下（矩阵形式）:Y=X

+

W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得W=DD’新模型：这就是原模型Y=X

+

的加权最小二乘估计量，是无偏、有效的估计量。

这里权矩阵为D-1，它来自于原模型残差项

的方差-协方差矩阵

2W

。普通最小二乘法是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特殊情况。加权最小二乘法是广义最小二乘法（generalizedleastsquares,GLS）中权矩阵为对角阵的特殊情况。如何得到

2W？寻找模型中随机扰动项的方差与解释变量间的适当的函数形式。

一种具有应用价值的方法

假设μ的方差具有指数函数的形式用OLS估计的e代替μOLS估计3、异方差稳健标准误法（Heteroscedasticity-ConsistentVariancesandStandardErrors）White提出了另一种解决异方差问题的方法：异方差稳健标准误法，适合样本容量足够大的情况。仍然采用OLS，但对OLS估计量的标准差进行修正。与原始OLS估计比较，参数估计量没有变化，但是参数估计量的方差和标准差变化明显。即使存在异方差、异方差稳健标准误法下，各种传统的显著性检验都是适用的，区间预测也是有效的。六、例题--农村居民人均消费函数

模型（改革开放早期（2001年）中国农村居民人均纯收入与消费支出的关系考察）中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。农村人均纯收入除包括从事农业经营的收入外，还包括从事其他产业的经营性收入以及工资性收入、财产收入和转移支付收入等。为了考察2001年从事农业经营的收入（X1）和其他收入（X2）对中国农村居民消费支出（Y）增长的影响，建立如下双对数模型：

关于异方差的分析截面数据样本，一般存在异方差。从经济现象分析，随机项的方差可能与其它收入（X2）有关。采用OLS估计模型，作出残差平方项ei2与lnX2的散点图，判断可能存在着递增型异方差。

布罗施-帕甘（G-P）检验结论：5%显著性水平下拒绝原模型随机干扰项方差相同的假设。

Eviews操作：怀特检验

结论：拒绝同方差的原假设。

Eviews操作：加权最小二乘估计

经试算发现WLS估计经检验，加权的回归模型已不存在异方差性。

稳健标准误法

参数估计与普通最小二乘法相同；由于参数的标准差得到了修正，从而使得t检验值与普通最小二乘法的结果不同。稳健标准误估计OLS估计Eviews操作：§4.3内生解释变量问题

一、内生解释变量问题二、实际经济问题中的内生解释变量问题三、内生解释变量的后果四、工具变量法五、内生性检验与过渡识别约束检验六、案例一、内生解释变量问题1、内生解释变量

经典模型的基本假设之一是解释变量是严格外生变量。如果存在一个或多个变量是内生解释变量，则称原模型存在内生解释变量问题。对于内生解释变量问题，假设X2为内生解释变量，又分两种不同情况：

内生随机解释变量与随机干扰项同期无关(contemporaneouslyuncorrelated)，但异期相关。

内生随机解释变量与随机干扰项同期相关(contemporaneouslycorrelated)。

2、截面数据模型的内生解释变量问题

对于截面数据模型，上述第1种情况几乎不存在。截面数据模型中的内生解释变量问题主要表现在内生解释变量与随机干扰项的同期相关性上，这时称内生变量为同期内生变量。二、实际经济问题的内生解释变量问题三种情形：被解释变量与解释变量具有联立因果关系（simultaneouscausality）；

（也称双向因果关系或反向因果关系）模型设定时遗漏了重要的解释变量，而所遗漏的变量与模型中的一个或多个解释变量具有同期相关性（omittingrelevantvariables）；解释变量存在测量误差（errors-in-variables）。

联立因果关系：联立方程模型中的每个结构方程在一个经济系统中，变量之间相互依存，互为因果，而不是简单的单向因果关系，必须用一组方程才能描述清楚。称为联立方程模型。联立方程模型的每个方程称为结构方程。每个结构方程的被解释变量是经济系统的内生变量，而解释变量既包括经济系统的外生变量，也包括其它内生变量，由经济行为关系决定。联立方程模型的每个结构方程一般都存在内生解释变量问题。例如：以地区数据为样本，建立某种消费品的需求函数模型，Qi、Pi、Yi表示各个地区的需求量、价格和居民收入。

经济学理论指出，商品价格是由供给与需求的均衡关系决定的，因此商品的需求量Qi又是影响价格Pi的重要因素。即价格和需求量一样，也是该经济系统的内生变量（如还存在价格方程：Pi=

0+1Qi+i)。实际上，上述需求方程只是联立方程模型系统中的一个结构方程。单方程形式中的联立因果关系例为考察企业引进外资是否真正提高了企业的效益，以企业资金利润率LR为被解释变量，以企业资产中外资所占比例WR和其它外生变量X为解释变量，建立模型。通过对企业引进外资情况的实际考察发现，凡是效益好的企业，比较容易引进外资，凡是效益差的企业，引进外资就很困难。

模型中，解释变量WR既影响被解释变量LR，同时它也受被解释变量LR的影响，而LR与μ具有同期相关性，从而导致WR与μ具有同期相关性。遗漏解释变量例劳动者的工资wage主要由劳动者的受教育程度educ、工作经验exper、个人能力abil等诸多因素决定。由于劳动者个人能力的大小很难测度，该解释变量无法引入到工资模型中，于是它对工资的影响进入到随机干扰项之中。而个人能力与其所受教育程度有着较为密切的联系，这就导致了实际用于模型中的劳动者个人受教育程度变量与随机干扰项间出现同期相关性。个人能力abil为同期内生解释变量。三、内生解释变量的后果

计量经济学模型一旦出现内生解释变量，且与随机扰动项相关的话，如果仍采用OLS法估计模型参数，会产生严重的后果。下面以一元线性回归模型为例进行说明。

1、内生解释变量与随机干扰项相关图

（a）正相关

（b）负相关

拟合的样本回归线可能低估截距项，而高估斜率项。

拟合的样本回归线高估截距项，而低估斜率项。2、OLS参数估计量是有偏、非一致性估计量。

OLS估计有偏非一致四、工具变量法1、工具变量的选取工具变量（InstrumentVariable）：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机干扰项同期相关的内生解释变量。选择为工具变量的变量必须满足以下条件：与所替代的内生解释变量高度相关；与随机干扰项不相关；与模型中其它解释变量不高度相关，以避免出现严重的多重共线性。2、工具变量的应用以一元线性回归模型为例（用矩估计法）总体矩条件：样本矩条件：(正规方程组)求解得：如果X内生，则E(Xi

i)0，无法写出对应的样本矩条件几个概念问题能否说“用工具变量代替了模型中的内生解释变量”？不能。模型的解释变量仍然是X。能否说“其它解释变量用自己作为工具变量”？可以。引入工具变量Z，满足E(Zi

i)=0，同时仍有E(

i)=0写出对应的样本矩条件：解得

这种求模型参数估计量的方法称为工具变量法(instrumentalvariablemethod)，相应的估计量称为工具变量法估计量（instrumentalvariable(IV)estimator）。工具变量矩阵，满足：E(Z’

)=0多元模型中，假设X2内生，则需寻找模型外的工具变量Z，以满足

E(Zi

i)=0，写出对应的样本矩条件取代原正规方程组中的对应于E(Xi2

i)=0的样本矩条件。求解新的正规方程组，可得参数的工具变量估计量。矩阵表示：3、工具变量法估计量是一致估计量

一元回归中，工具变量法估计量为4、在小样本下，IV估计量仍是有偏的5、工具变量法与两阶段最小二乘法工具变量法估计过程可等价地分解成两个阶段的OLS回归：第一阶段，用OLS法进行X关于工具变量Z的回归，并记录X的拟合值；第二阶段，以得到的X的拟合值代替X作为解释变量，进行OLS回归。被称为两阶段最小二乘法（twostageleastsquares,2SLS）。

可以严格证明：2SLS与直接采用IV是等价的。

对于一元模型：X为内生变量，Z为工具变量第1阶段OLS第2阶段OLS对于二元模型：X为内生解释变量，Z为外生解释变量，Z1为X的工具变量。第1阶段OLS第2阶段OLS对于二元模型：X为内生解释变量，Z为外生解释变量，Z1和Z2都是X的工具变量。第1阶段OLS第2阶段OLS6、工具变量法与广义矩方法如果1个内生解释变量可以找到多个互相独立的工具变量，就形成了广义矩方法（GeneralizedMethodofMoments,GMM）。在GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为它的核心问题。2SLS是GMM的一种特殊的估计方法，而当一个内生变量只有一个工具变量时所采用的IV，则是2SLS的一个特例。如果所有解释变量都是外生变量，则OLS法也可看成是IV和GMM的特例。五、内生性检验与过度识别约束检验1、Hausman检验(内生性检验)如果δ为0→v与Y同期无关→v与μ同期无关→X与μ同期无关→X是同期外生变量；如果δ显著不为0→v与Y同期相关→v与μ同期相关→X与μ同期相关→X是同期内生变量。Z1外生，与μ不相关怀疑下面模型中X是内生的，如何检验？选Z2作为X

的IV变量，OLS估计下式，并获得v的估计值：原模型中引入v的估计值，再进行OLS估计：2、过度识别约束检验

当1个内生解释变量有多于1个的工具变量时，需要对该组工具变量的外生性进行检验，这就是过度识别约束检验（overidentifyingrestrictionstest）。基本思路是：如果寻找到的工具变量具有外生性，则它们应与原模型中的随机干扰项不同期相关。因此，只需对原模型进行两阶段最小二乘回归（2SLS），将记录的残差项再关于所有工具变量与原模型中的外生变量进行OLS回归，并对该回归中的所有工具变量前的参数都为零的假设进行联合性F检验。例如：二元线性模型，X为内生解释变量，Z为外生解释变量，Z1、Z2为X的工具变量。如果J统计量的值大于给定显著性水平下的临界值，则拒绝Z1和Z2同时为外生变量的假设，意味着它们中至少有一个不是外生的。对模型进行2SLS，得到参数估计，并计算残差做残差关于所有工具变量及模型中外生变量的辅助回归，获得R2

六、案例模型利用中国各省区的数据为样本观测值，建立商品房需求模型。根据商品需求函数理论，对商品房的人均需求面积Q与居民的收入水平（地区人均GDP）及商品房的销售价格P（单位面积售价）有关。考虑到商品房的销售价格也同时受商品房的需求量的影响，则Q与P之间存在着双向因果关系，P为内生解释变量。考虑到商品房价格中包含政府对商品房的课税，而商品房的人均需求面积本身不会直接影响政府对商品房的课税政策，因此房产税Tax1可能是价格的一个适当的工具变量。

步骤对模型进行OLS估计；用房产税Tax1为工具变量，对模型进行IV估计；用房产税Tax1和土地增值税Tax2作为2个工具变量，对模型进行2SLS估计；进行过度识别约束检验，以检验Tax1、Tax2是否是外生变量；用豪斯曼检验判定商品房价格P是否确实是内生变量。

OLS估计IV

估计IV估计两个工具变量的2SLS过度识别约束检验(工具变量的外生性检验)2SLS中的J统计量显示，不拒绝ta1x和tax2作为工具变量的外生性假设

注意：教材中手工计算J=nR2=2.920，由于四舍五入，与软件结果略有差异豪斯曼检验（变量的内生性检验）

Log(P)关于log(Y)、Tax1、Tax2做OLS回归，并记录残差项v(详细操作参见《计量经济学（第六版）学习指南与练习》)前一页OLS估计记录的残差估计值v的t统计量和伴随概率显示：在5%的显著性水平下，拒绝参数为0的假设，可判断商品房价格是内生变量注意：Eviews软件是将P分别视为外生变量与不是外生变量，做两次IV估计（Y、tax1、tax2始终外生），检验两次IV估计的J统计量的差异是否“足够大”来判断P是否内生拒绝“差异为0”的原假设，判断：P内生§4.4模型设定偏误问题一、模型设定偏误的类型

二、模型设定偏误的后果

三、模型设定偏误的检验

一、模型设定偏误的类型

1、相关变量的遗漏（omittingrelevantvariables）

例如，如果“正确”的模型为而我们将模型设定为

即设定模型时漏掉了一个相关的解释变量。这类错误称为遗漏相关变量。

2、无关变量的误选(includingirrevelantvariables)

例如，如果“真”的模型为

Y=

0+1X1+2X2+但我们将模型设定为

Y=

0+1X1+2X2+3X3+即设定模型时，多选了一个无关解释变量。

3、错误的函数形式(wrongfunctionalform)例如，如果“真实”的回归函数为

但却将模型设定为

二、模型设定偏误的后果1、遗漏相关变量偏误（omittingrelevantvariablebias）

正确模型错误模型代入如果X2与X1相关，

1的估计量在小样本下有偏，在大样本下非一致。如果X2与X1不相关，则

1的估计量满足无偏性与一致性；但这时

0的估计却是有偏的。随机扰动项的方差估计也是有偏的。

1估计量的方差是有偏的。2、包含无关变量偏误（includingirrelevantvariablebias）对包含无关变量的模型进行估计，参数估计量是无偏的，但不具有最小方差性。3、错误函数形式偏误（wrongfunctionalformbias）产生的偏误是全方位的。例如，如果“真实”的回归函数为

Y=AX1

1

X2

2e

却估计线性式:Y=

0+

1X1+

2X2+v显然，两者的参数具有完全不同的经济含义，且估计结果一般也是不相同的。

三、模型设定偏误的检验1、检验是否含有无关变量检验的基本思想:如果模型中误选了无关变量，则其系数的真值应为零。因此，只须对无关变量系数的显著性进行检验。t检验：检验某1个变量是否应包括在模型中；F检验：检验若干个变量是否应同时包括在模型中。

2、检验是否有相关变量的遗漏或函数形式设定偏误残差图示法对所设定的模型进行OLS估计，得到估计的残差序列

ei做出