《因数与倍数的有序探寻》-小学五年级数学下册教案

《因数与倍数的有序探寻》——小学五年级数学下册教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课隶属于“数与代数”领域中“数的认识”主题。其核心在于引导学生从整数乘除法的关系切入，理解因数与倍数这两个相互依存的概念，并掌握有序、不重复、不遗漏地寻找一个数的因数与倍数的方法。在知识链中，它既是对已学整数乘除法的深化与结构化，又是为后续学习最大公因数、最小公倍数、分数约分与通分奠定坚实的数论基础。课标强调，应“在解决问题的过程中理解概念”，这意味着教学不能停留于定义记忆，而应创设认知冲突，让学生在探究“如何找全”的实际问题中，自主建构方法，体会有序思考的重要性。这背后渗透的核心素养是“数感”与“推理意识”的培育。学生需在具体操作与抽象思考之间建立联系，感受数的丰富特征，并运用归纳、分类等数学思想进行有条理的思考，形成严谨的数学思维品质。

基于“以学定教”原则，学情诊断如下：五年级学生已熟练掌握整数乘除法计算，具备“整除”的初步感知，能够通过乘法口诀快速找到部分因数与倍数。然而，其思维难点在于：一是概念的抽象性，容易将“因数与倍数”孤立理解，忽视其相互依存关系；二是方法的系统性，寻找因数时易出现重复、遗漏，缺乏“成对寻找”的策略意识；三是思维的全面性，对于寻找像36这样因数较多的数时，难以做到有序、完整。为此，教学对策是：创设“排队”等直观情境，将抽象概念具象化；设计“找全所有因数”的挑战性任务，驱动学生探究有序方法；通过“数形结合”（如用面积模型摆长方形）提供思维脚手架，帮助中下水平学生直观理解“成对出现”的规律。同时，在任务中嵌入同伴互查、方法对比等形成性评价环节，动态诊断不同层次学生的思维进程，为针对性指导提供依据。

二、教学目标

知识目标：学生能够准确理解因数与倍数的概念，清晰表述两者间的相互依存关系。能熟练运用乘法与除法两种思路，有序、不重复、不遗漏地找出一个数的全部因数和指定范围内的倍数，并能用自己的语言阐释方法背后的道理。例如，能解释为什么找到一个数的因数要“成对成对地找”，并会用集合图等方式直观表示一个数的因数集合。

能力目标：聚焦数学核心能力中的“有序思考”与“归纳推理”。学生能够在“找出一个数的所有因数”这一具体任务中，经历从无序尝试到有序探索的过程，自主发现并概括出“从1试起，成对寻找”或“按除数从小到大的顺序寻找”的有效策略。能够将寻找因数的方法迁移到寻找倍数的情境中，并通过对比分析，提炼两者的异同，形成结构化认知。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究“找全因数”的挑战中，培养学生耐心、细致、追求严谨的科学态度。通过分享与对比不同寻找策略，引导学生学会倾听、尊重他人的思考成果，体验数学方法的多样性与优化价值，在思维碰撞中获得积极的学习情感体验。

科学（学科）思维目标：重点发展“分类思想”与“集合思想”。通过“如何把所有的因数一个不漏地找出来”这一核心问题，引导学生自然地将“找因数”的过程转化为一个“分类枚举”与“确定边界”的数学问题。在梳理与呈现结果时，引入集合图的初步观念，帮助学生直观感知一个数的因数是一个有限的、确定的整体，为后续用集合观点理解公因数奠定思维基础。

评价与元认知目标：引导学生学会评价方法的优劣。在探究环节，设计“比一比，谁的方法既快又全”的活动，鼓励学生依据“有序、不重复、不遗漏”的标准，对不同的寻找策略进行批判性审视。在课堂小结时，通过“回顾一下，我们今天是怎么一步步学会找因数和倍数的？”等问题，促使学生反思学习路径，提炼“从具体例子入手，发现规律，总结方法”的探究学习策略。

三、教学重点与难点

教学重点：探索并掌握找一个数的因数和倍数的方法，特别是体会有序思考在寻找因数过程中的必要性及其策略。

其确立依据在于：从课标要求看，“探索”与“掌握”方法是本课的核心认知过程，它直接指向学生“推理意识”和“数感”的发展，是支撑整个“因数与倍数”知识大厦的基石。从学业评价看，能否有序、完整地找出一个数的全部因数，是检验学生是否真正理解概念、形成严谨思维习惯的关键标尺，也是后续解决公因数、约分等复杂问题的必备技能。

教学难点：理解并掌握“有序、不重复、不遗漏”地找出一个数的所有因数。

预设难点成因在于：首先，学生的思维往往具有跳跃性和发散性，缺乏系统枚举的习惯，容易想到几个算几个。其次，因数的寻找涉及除法的反向思考，且对于较大的数，过程略显繁琐，学生易生畏难情绪或中途放弃。再者，因数的“成对出现”这一隐蔽规律，需要学生从大量具体例子中观察、归纳才能发现，认知跨度较大。突破方向在于：设计层层递进的任务链，从“找不全”的冲突出发，借助直观操作（如摆小正方形拼长方形）将“因数对”可视化，引导学生从“无序”走向“有序”，从“部分”走向“全部”，在归纳中自主建构方法。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（含情境动画、动态演示因数成对出现的过程、集合图模板）；数字卡片（1-30）；若干套小正方形学具（用于拼摆长方形）。

1.2学习材料：分层设计的学习任务单（包含探究记录表、分层练习、自我评价栏）。

2.学生准备

2.1预习任务：复习乘法口诀表，尝试用乘法算式表示12可以由哪两个整数相乘得到。

2.2常规物品：练习本、笔、直尺。

3.环境布置

3.1座位安排：四人小组合作式布局，便于课堂讨论与学具操作。

3.2板书记划：左侧板书核心概念与关系，中部预留区域记录学生探究过程与发现，右侧用于总结方法与展示典型作业。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境冲突，激活旧知

1.1呈现情境：“五一”班有12名同学要进行队列表演，要求每行人数相等、排成整行。可以怎样排队？请用一道乘法算式表示一种站法。

1.2学生口答，教师板书算式：如1×12=12，2×6=12，3×4=12。“大家想到了这么多种排法，真棒！从这些乘法算式中，我们发现12可以由1和12、2和6、3和4这些数相乘得到。在数学上，它们之间有一种特别的关系，今天我们就一起来研究。”

2.提出问题，明确目标

2.1聚焦核心：“在1×12=12这个算式中，我们说1和12是12的‘因数’，12是1和12的‘倍数’。那么，12的因数只有1和12吗？显然不是，从刚才的排队中我们还找到了2、3、4、6。怎样才能把12所有的因数一个不漏地、有顺序地全部找出来呢？又怎么快速找出一个数的倍数呢？这就是我们这节课要攻克的两大任务。”

2.2路径预览：“我们将从熟悉的小数开始研究找因数的方法，再挑战稍大的数，总结出‘法宝’。然后，用类似又不同的思路去探索倍数。最后，比比谁的方法最有序、最清晰。”

第二、新授环节

任务一：初识关系，尝试列举

教师活动：首先，结合板书的算式，清晰讲授：在整数乘法中，乘数是积的因数，积是乘数的倍数。强调“相互依存”关系，并让学生模仿举例（如根据3×4=12说关系）。接着，抛出问题：“根据这些算式，你能说出12的所有因数吗？”引导学生将乘法算式中的乘数汇集起来，得到12的因数有：1，2，3，4，6，12。“看，我们把12所有的因数都找出来了。大家觉得这样找，感觉怎么样？是不是有点‘碰运气’？万一漏掉了哪个呢？”引发学生对方法系统性的思考。

学生活动：倾听概念讲解，跟随教师进行口头表述练习。尝试从已列算式中收集12的所有因数，并初步感知目前方法的随意性。

即时评价标准：1.能正确根据给定乘法算式说出因数与倍数关系。2.能初步意识到仅从已有算式中收集因数可能不全面，对“找全”产生需求。

形成知识、思维、方法清单：

★因数与倍数的定义：在整数乘法算式a×b=c（a,b,c均为非零自然数）中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。教学提示：务必让学生反复进行口语表述，在“说”中深化理解。

★概念的相互依存性：因数与倍数是成对出现的，不能单独说某个数是因数或倍数。例如，必须说“3是12的因数”，“12是3的倍数”。

▲列举法（初步）：通过回想乘法算式，可以列出一个数的部分或全部因数。但这种方法依赖记忆，缺乏系统性。

任务二：探究体验，建构方法（找一个数的因数）

教师活动：出示探究问题：“请找出18的所有因数。”先让学生独立思考尝试。预计部分学生能找全但无序，部分会遗漏。选取有代表性的作品（无序的、遗漏的、有序的）进行展示对比。“瞧，这位同学找到了1,18,2,9,3,6。找全了吗？顺序上有什么特点？那位同学找到了1,2,3,6,9,18，你更喜欢哪一种排列？为什么？”引导学生发现“按顺序排列更容易检查是否遗漏”。接着，借助课件动态演示或让学生用18个小正方形摆长方形，直观感知：每摆出一种长方形（如1×18），就对应找到一对因数（1和18）。“摆完长方形，因数也就‘成对成对’地跳出来了！我们怎样才能在脑子里‘有序’地摆呢？”引导学生总结策略：从1开始试除，看能整除的商，则除数和商都是因数，直到除数超过商为止。

学生活动：独立尝试找出18的所有因数，并记录。参与全班对比讨论，发现有序排列的优势。通过操作学具或观察演示，理解“一对一对”找因数的几何意义。跟随教师引导，尝试用除法思路口头梳理寻找18的因数的过程（18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷4?不行…），并归纳方法。

即时评价标准：1.探究过程中，是否能尝试使用除法来检验。2.在对比讨论中，能否清晰表达对“有序”优势的认识。3.能否借助操作或想象，理解因数“成对出现”的规律。

形成知识、思维、方法清单：

★找一个数因数的基本方法（除法思路）：用这个数依次除以1,2,3…，若能被整除，则除数和商都是它的因数。也可以想乘法口诀。

★有序思考的策略（关键）：从1开始，从小到大逐一尝试，可以避免重复和遗漏。当尝试的除数超过第一次出现的商（即中间数）时，就可以停止。

▲数形结合的理解：一个数的因数总对数，等于能拼成不同长方形的数量。这为理解因数的有限性和对称性提供了直观模型。

任务三：方法迁移，探寻倍数

教师活动：“我们有了找因数的好方法。那要找出一个数的倍数，比如2的倍数，该怎么办？思路会和找因数一样吗？”让学生先猜一猜。然后引导学生从定义出发：2的倍数就是哪些数除以2没有余数，也就是2乘1、2、3……得到的积。板书：2的倍数有2，4，6，8…“看，2的倍数写得完吗？”学生意识到倍数的个数是无限的。因此，找倍数通常是在自然数范围内，按从小到大的顺序，用这个数依次乘1、2、3……“所以，找因数是‘除法’思路，有尽头；找倍数是‘乘法’思路，无限延伸。真是一对有趣的‘反操作’！”

学生活动：对比因数，思考并猜想找倍数的方法。根据概念，尝试列出2的几个倍数。观察、发现倍数的个数是无限的。总结出找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘自然数。

即时评价标准：1.能否正确类比与对比，说出找倍数与找因数在思路上（乘法vs除法）和结果个数（无限vs有限）上的不同。2.能否流畅、正确地写出指定数的几个倍数。

形成知识、思维、方法清单：

★找一个数倍数的方法：用这个数依次乘1、2、3……所得的积都是它的倍数。通常从小到大地写出若干个。

★因数与倍数的集合特性对比：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

▲“除法”与“乘法”的逆向思维：找因数是“结果固定（c），寻找乘数（a,b）”；找倍数是“乘数固定（a），寻找结果（c）”。这体现了乘除法运算的互逆关系在概念中的应用。

任务四：对比梳理，形成结构

教师活动：引导学生将找因数和找倍数的方法进行系统对比。可以设计一个对比表格（方法、特点、关键点等），让学生小组讨论后填写。“经过刚才的探索，谁能当小老师，总结一下找因数的‘法宝’和找倍数的‘口诀’？”鼓励学生用精炼的语言概括。同时，介绍用集合图表示一个数的因数的方法（画一个椭圆，里面有序地写出所有因数），让学生为18的因数画一个集合图。

学生活动：参与小组讨论，合作完成对比表格。尝试用自己的话概括寻找方法。练习用集合图表示一个数的因数，感受因数的整体性。

即时评价标准：1.对比表格的填写是否准确、清晰。2.语言概括是否抓住了“有序”、“成对”、“无限”等关键点。3.集合图的表示是否规范、完整。

形成知识、思维、方法清单：

★方法体系化：找因数：想乘法或除法，有序成对找，有限有范围。找倍数：用乘法依次乘，无限延伸开，最小是本身。

▲集合思想初步：一个数的所有因数可以看作一个整体，用集合图表示，直观且不重不漏。这是数学表达规范化的起步。

▲结构化认知：将因数与倍数的知识（概念、方法、特性）通过对比、梳理，连成网络，形成整体认知结构，便于记忆和应用。

第三、当堂巩固训练

本环节设计分层、变式练习，提供针对性反馈。

1.基础层（全员过关）：

1.2.“快速反应”：写出下面各数的因数（强调有序）：16的因数；24的因数。

2.3.“顺藤摸瓜”：写出下面各数5个倍数：3的倍数；7的倍数。

3.4.反馈方式：学生独立完成，同桌互换批改。教师巡视，收集典型错误（如因数遗漏、顺序混乱）。“同桌互相检查一下，因数找全了吗？排列顺序是从小到大吗？”

5.综合层（大多数学生挑战）：

1.6.“火眼金睛”：判断“一个数的倍数一定比它的因数大”这句话对吗？请举例说明。

2.7.“学以致用”：李阿姨准备了30个月饼，要装在若干个礼盒里，每个礼盒装得同样多且至少装2个。有几种装法？（实际是找30的大于1的因数）

3.8.反馈方式：小组讨论后全班分享。教师重点引导学生通过反例（如一个数本身既是因数也是倍数）驳斥错误判断，并欣赏解决问题时对因数概念的实际应用。

9.挑战层（学有余力）：

1.10.“数字谜题”：一个数既是24的因数，又是6的倍数，这个数可能是多少？

2.11.反馈方式：请最先完成的学生上台讲解思路，展示其如何先分别列出24的因数集合和6的倍数集合（在一定范围内），再找交集。教师点明这已涉及到“公”的概念，为后续学习埋下伏笔。

第四、课堂小结

1.知识整合：“这节课的探索之旅即将结束，谁能用一张图或者几句话，梳理一下我们最大的收获？”邀请学生上台，结合板书，用思维导图或语言梳理因数倍数的概念、寻找方法及关键区别。

2.方法提炼：“回顾一下，我们是怎么学会这些方法的？（从例子出发-操作体验-发现规律-总结方法）。在‘找全’因数的过程中，最重要的数学思想是什么？（有序思考）。”

3.作业布置与延伸：

1.4.必做（基础性作业）：1.完成课本相关练习题。2.请为数字36制作一张“数学名片”，名片上要写出它的所有因数（用集合图形式）和它的前6个倍数。

2.5.选做（拓展性作业）：研究“完美数”。6的因数有1，2，3，6，除去它本身6，其余因数1+2+3=6。像这样等于它本身之外所有因数之和的数，叫做完美数。你能再找到这样的一个数吗？（提示：20以内的自然数中寻找）。下节课分享你的发现。

六、作业设计

1.基础性作业（全体必做）：

1.2.练习一：写出下列各数的所有因数，要求按从小到大的顺序排列：15,28,32。

2.3.练习二：写出下列各数的5个倍数：4,9,11。

3.4.设计意图：巩固最基本的概念和方法，确保所有学生掌握核心技能。要求有序排列因数，是为了强化课堂习得的思维习惯。

5.拓展性作业（建议大多数学生完成）：

1.6.实践应用：妈妈买来30个苹果，准备分装在几个水果盘里。要使每个盘子里苹果数相同，可以怎么装？请列出所有可能的装法（每个盘子至少装2个）。你觉得哪种装法最合理？为什么？

2.7.设计意图：将找因数的方法置于真实的生活情境中，实现知识的迁移应用。附加的“最合理”问题，融入了简单的优化思想，鼓励学生进行合情推理与表达。

8.探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

1.9.数学探秘：“猜猜我是谁”——我是一个两位数，是5的倍数，我的所有因数之和是18。请问我可能是多少？请写出你的推理过程。

2.10.设计意图：这是一道综合性、开放性的题目，需要学生综合运用倍数特征、找因数、枚举和推理等多种能力。鼓励学生尝试、探索，体验解决复杂问题的乐趣，发展高阶思维。

七、本节知识清单、考点及拓展

★因数与倍数的定义（核心）：在a×b=c（a,b,c为非零自然数）中，a、b是c的因数，c是a、b的倍数。关系是相互的。考点：根据算式判断关系，或自己举例说明。

★找一个数的因数的方法（核心技能）：1.除法思路：从1开始试除，能整除则除数和商都是因数，直到除数>商。2.乘法思路：想哪两个整数相乘得这个数。关键：有序、成对寻找，确保不重不漏。考点：给出一个数（如24、36），要求写出其所有因数。

★找一个数的倍数的方法（核心技能）：用这个数依次乘1、2、3…。倍数的个数是无限的，通常写出前几个。考点：写出某个数的指定个数的倍数。

★因数与倍数的特征对比（核心理解）：

*因数：个数有限，最小是1，最大是它本身。

*倍数：个数无限，最小是它本身，没有最大。

*考点：判断相关说法正误（如“一个数的最大因数和最小倍数相等”是对的）。

▲“有序思考”策略（学科思想）：在数学中，特别是进行枚举时，按照一定的顺序（从小到大）进行，是避免混乱和遗漏的重要思维方法。教学提示：要反复强调和训练。

▲数形结合理解因数（方法渗透）：用拼长方形（面积模型）理解因数的“成对出现”，非常直观。有助于学生从几何角度深化认识。

▲集合图表示法（知识拓展）：用一个椭圆圈出一个数的所有因数，是数学中表示一个集合的直观方式。为后续学习集合表示公因数、公倍数做准备。

▲完美数简介（文化拓展）：像6这样的数，其所有真因数（除本身外）之和等于它本身，称为完美数。下一个是28。可以激发学生对数论的好奇心。

八、教学反思

本次教学围绕“有序探寻”这一核心，力图将概念理解、方法建构与思维发展融为一体。回顾预设与生成，反思如下：

(一)目标达成度评估

从课堂巩固练习与小结反馈来看，大部分学生能准确表述因数倍数关系，能运用有序方法找出指定数的因数与倍数，“有序”、“成对”成为学生口中高频词，表明知识技能目标基本达成。在解决“30个月饼装盒”问题时，学生能主动转化为找因数问题，并展开讨论，体现了能力与应用的初步迁移。情感目标在小组合作探究与方法对比中有所体现，学生表现出一定的探究热情和倾听习惯。

(二)核心环节有效性分析

1.导入环节的“排队”情境，有效地将抽象概念与学生已有经验连接，提出的“如何找全”问题精准地指向了本课思维难点，激发了探究动力。

2.任务二（探究找因数方法）是本节课的“重头戏”。通过“尝试18→展示对比→操作体验→归纳方法”的流程，搭建了合理的认知阶梯。学具操作（或动态演示）的介入是关键，它让抽象的“成对出现”变得可视可感，有效地化解了难点。“当学生看着摆出的不同长方形，恍然大悟地说‘哦，原来一对因数就是一条长和一条宽’时，我知道，他们是真的理解了。”

3.任务三（迁移找倍数）与任务四（对比梳理）的设计，促进了知识的系统化。通过对比，学生不仅掌握了两种方法，更深刻地理解了因数与倍数集合特性的不同，以及乘除运算的互逆思想，初步形成了知识网络。

(三)学生表现与差异关照剖析

在探究过程中，观察发现学生分层明显：约三分之一的学生能迅速发现“成对”规律并总结方法；过半学生需在操作和教师引导下逐步建构；少数基础薄弱学生仍停留在无序尝试阶段，对“何时停止”的判断存在困难。针对此，准备的小正方形学具为后两类学生提供了至关重要的“脚手架”。分层练习的设计，让不同层次的学生都能获得成功体验和挑战