2025-2026学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具.如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（）A. B.

C. D.2.如图，若每个小正方形的边长均为1，A，B，C均在格点（网格线的交点）上，则cosB的值是（）A.1

B.

C.

D.3.如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示.小亮由此估计阴影部分面积约为（）

A.2.8cm2 B.25.6cm C.22.4cm2 D.3.2cm24.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件一定能使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是（）A.∠ADE=∠ABC

B.DE∥BC

C.

D.AE•AC=AD•AB5.将抛物线y=（x-3）2-1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为（）A.y=（x-2）2-3 B.y=（x+4）2+1 C.y=（x-4）2-1 D.y=（x+2）2+16.如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠A=50°时，∠OBC的度数是（）A.25°

B.30°

C.35°

D.40°

7.下列关于反比例函数y=，说法不正确的是（）A.点（2，2）、（1，4）均在其图象上

B.双曲线分布在第一、三象限

C.该函数图象上有两点A（x1，y1）；B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＜y2

D.当y＜-2时，x的取值范围是-2＜x＜08.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+bc（a≠0）和的图象如图所示，则函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（）A.

B.

C.

D.

9.如图，已知△ABC.

（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N.

（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P.

（3）作射线AP交BC于点D.

（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点.

（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F.

依据以上作图，若AF=3，CE=5，，则CD的长是（）A. B.2 C. D.410.已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数），开口向上，过A（1，0），B（m,0）两点，且-2＜m＜-1.下列四个结论中正确的结论有（）

①b＞0；

②若时，则4a+3c=0；

③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上x1＜x2，且x1+x2＜-1，则y1＞y2；

④a≥1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1必有两个不相等的实数根.A.①②③ B.①③ C.①③④ D.①④二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.抛物线y=2（x+9）2-3的顶点坐标是

.12.若关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k的值为

．13.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为

.

14.如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为，则k的值为

.

15.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F.若CF=8cm,FB'=2cm,则BE=

cm.三、计算题：本大题共1小题，共9分。16.解方程：x2-2x-8=0．四、解答题：本题共9小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题9分)

计算：.18.(本小题9分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.

（1）求证：△ACD∽△CBD；

（2）若CD=2，BD=，求AD.19.(本小题9分)

随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流.某种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm,BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm,CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度.（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

（1）如图2，当B、C、D三点共线，CD=40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端点D距离地面的高度；

（2）调节支杆BC，悬杆CD，使得∠ABC=60°，∠BCD=97°，如图3所示，且点D到地面的距离为140cm,求CD的长.（结果精确到1cm）

20.(本小题9分)

石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，AB是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，点D是⊙O上的一点，连接CD并延长CD与AB的延长线交于点E，连接DB，已知CO∥DB.

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AC=2，，求⊙O的半径长.21.(本小题9分)

百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）.有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：

A：60＜x≤70，B：70＜x≤80，C：80＜x≤90，D：90＜x≤100，

下面给出了部分信息：

甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100.

乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90.甲、乙款评分统计表：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上述图表中a=______，b=______，m=______.

（2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分.请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（90＜x≤100）的用户总人数.

（3）DeepSeek（简称丙款）推出后引发广泛讨论.现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评.请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率.22.(本小题9分)

为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地.为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成.已知栅栏的总长度为18m.

（1）若矩形种植场地的总面积为36m2，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？

（2）当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？23.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n,2），与x轴，y轴分别交于C，D两点.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；

（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF=AB时，求a的值.24.(本小题9分)

如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（0，3），C（2，n）两点，直线l：y=x+2过C点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由；

（3）如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED=∠ABC时，直接写出此时点E的坐标．

25.(本小题9分)

某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究.

【问题发现】

（1）如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP=，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ.则CQ的长为______；

【问题提出】

（2）如图②，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ.试说明：PB•AQ=AP•CQ；

【问题解决】

（3）如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为8，CQ=3，求正方形ADBC的边长.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】（-9，-3）

12.【答案】±2

13.【答案】

14.【答案】10

15.【答案】

16.【答案】解：x2-2x-8=0

​​​​​​​（x-4）（x+2）=0，

x-4=0或x+2=0，

∴x1=4，x2=-2．

17.【答案】．

18.【答案】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，

∴∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠B=90°，

∴∠B+∠BCD=90°，

∴∠A=∠BCD，

∵∠ADC=∠CDB=90°，

∴△ACD∽△CBD

19.【答案】解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，

∵BC=30cm,CD=40cm,

∴BD=BC+CD=70（cm），

在Rt△DBE中，∠ABC=53°，

∴BE=BD•cos53°≈70×0.6=42（cm），

∵AB=115cm,

∴AE=AB-BE=115-42=73（cm），

∴端点D距离地面的高度约为73cm；

（2）过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥DF，垂足为G，延长GC交AB于点H，

由题意得：GH⊥AB，AH=FG，DF=140cm,

∴∠BHG=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BCH=90°-∠ABC=30°，

∵BC=30cm,

∴BH=BC=15（cm），

∵AB=115cm,

∴FG=AH=AB-BH=115-15=100（cm），

∴DG=DF-FG=140-100=40（cm），

∵∠BCD=97°，

∴∠DCG=180°-∠BCH-∠BCD=53°，

在Rt△DCG中，CD=≈=50（cm），

∴CD的长约为50cm.

20.【答案】（1）证明：如图，连接OD，

∵AC为⊙O的切线，

∴∠CAO=90°，

∵CO∥DB，

∴∠COA=∠DBO，∠COD=∠ODB，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠DBO，

∴∠COA=∠COD，

在△COA和△COD中，

，

∴△COA≌△COD（SAS），

∴∠CDO=∠CAO=90°，

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：∵AC=2，，

∴，

∴，

由（1）知△COA≌△COD，

∴DC=AC=2，

∴，

设⊙O的半径长为r,则OE=AE-r=4-r,

在Rt△ODE中，OD2+DE2=OE2，

∴，

解得，

即⊙O的半径长为．

21.【答案】86.5;85;20

估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为144人

图见解析，

22.【答案】矩形场地中垂直于墙的一边长为6米

当矩形场地中垂直于墙的一边长为米时，矩形种植场地的面积最大，最大值是m2

23.【答案】一次函数的表达式为y=-2x+8，反比例函数的表达式为

点P的坐标为（0，5）

a=7或a=9

24.【答案】解：（1）直线l：y=x+2过C点，则点C（2，3），y=x+2过C点，且与y轴交于点B，则点B（0，2），

将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：b=2，c=3，

故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；

（2）设点E（m，-m2+2m+3），则点D（m，m+2），

则DE=-m2+m+1，DF=m+2，

==或，

解得：m=或，

故点E（，）或（，）；

（3）由（2）知：E（m，-m2+2m+3），则点D（m，m+2），

DE=-m2+m+1，DF=m+2，

①如图2，当点E在直线BC上方时，

∵AB∥EF，∠ABD+∠EDB=180°，

∵∠AED=∠ABC，

∴∠AED+∠EDB=180°，

∴AE∥CD，

∴四边形ABDE为平行四边形，

∴AB=DE=1=-m2+m+1，

解得：m=0或（舍去0）；

②如图3，当点E在直线BC的下方时，

设AE、BD交于点N，作点N作x轴的平行线交DE于点M

∵AB∥DE，∴∠ABN=∠NDE，而∠A