第4章 数列（讲义培优篇）-苏教版高中数学选择性（原卷版）

第4章数列全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义•培优篇）

【苏教版】

最大（小）项。|

1.（2526高二上•江苏苏州•阶段练习）数列｛卅｝的通项公式为即=n（n+1）,｛"｝满足：%=Qn•（看）、则

数列｛九｝的最大项是第（）项・

A.6B.7C.8D.9

2.（2526高二上•四川成都•阶段练习）已知数列｛an｝的通项公式为舟，前n项和为又，则下列结论

错误的是（）

A.｛每｝的最小项是。7=-5,最大项是。8=6

B.当九二7时，5n最小

C.Vn€N\a„<an+1

D.3n6N*,%i<an+1

3.（2425高二上•安徽黄山・期末）已知数列｛即｝的通项公式为斯=2n2-lln+9,则｛%J中最小项的值

为.

n

4.（2425高二上•江苏•期中）已知数列｛册｝的前〃项和为9,Sn=2+3.

（1）求数列｛即｝的通项公式即；

（2）若数列｛b｝满足：b=求数列｛b｝的最大项.

nan

5.（2425高二下•贵州黔东南•阶段练习）己知数列｛an｝的前几项和为%,满足匕=7廿一^九⑺七N）

⑴求数列｛5｝的通项公式；

（2）设b=2求数列｛b｝中的最大项和最小项.

^区的判定与证明

I.（2425高三上内蒙古包头•开学考试）“数列｛册｝是等差数列”是“数列｛册+即+i｝是等差数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必耍条件

2.（2425高三上•黑龙江•阶段练习）已知｛Q,J是无穷数列，Qi=3,贝厂对任意的GN*,都有Q^+n=〜+

可”是“｛an｝是等差数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2425高二上•广东深圳•期末）若数列｛%3是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（）

A.｛|an|｝B.｛an+i-an）

C.｛pan+q]（p,q为常数）D.｛2an+n）

4.（2425高二上•河北沧州•期末）已知正项数列｛斯｝的前n项和为外,且满足©=3,4S〃=一+2an+m.

（1）证明数列｛%｝为等差数列，并求出它的通项公式；

（2）求一^—I---I—--F…+-"-的值，

aa

i2Q2a3a3a4^1000101

n+1

5.（2425高二上•福建凰门•阶段练习）已知数列｛4｝的前n项和为Sn，%=1,Sn+1=2Sn+2.

（1）证明数列｛奈｝是等差数列，并求数列｛册｝的通项公式；

（2）设以=票，若对任意正整数几，不等式以＜止尹恒成立，求实数m的取值范围.

等差数列的前〃项和及其最值

1.（2425高二上•浙江杭州•期末）数列｛册｝是等差数列，。5=10,的=18,记S9是｛即｝的前9项和,则（）

A.a3=6,S9=90B.a3=6,S9=94

C.a3=8,Sg=90D.a3=8,S9=94

2.（2425高二上•陕西西安•期末）设等差数列｛即｝的前n项和为S”，若的+劭V0,>0,则为的最大

值为（）

A.S5B.S&C.S7D.SQ

3.（2526高二上•江苏•阶段练习）等差数列｛册｝的前〃项和为工,。3=3,S4=10,则％=

4.（2526高二上4T肃陇南•阶段练习）记%为等差数列｛册｝的前几项和，已知％=-7,S3=-9.

（1）求｛an｝的通项公式：

（2）求又，并求Sn的最小值.

5.（2526高二上•江苏苏州•阶段练习）等差数列｛册｝前几项和为配，对任意正整数九，均有52〃=4sMa2n=

2ar+1.

⑴求为及Sn;

⑵在即和外之间插入九-2个数，使得这九（九>3）个数组成公差为必的等差数列，求篇耍册的值.

前丽^^与注明0

I.（2425高二上•湖北省直辖县级单位•期末）设数列｛an｝,｛力｝都是等比数列，则在4个数列｛即+%｝,

（an-bn],｛%也｝,囹中，一定是等比数列的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2425高二上・甘肃兰州•期中）已知数歹见即｝的前〃项和为S”且满足册=2Sn-l（neN+）.

(1)求药,g值；

(2)证明数列｛an｝为等比数列并求其通项公式.

3.(2425高二上•江苏苏州・期末)已知无为数列｛即｝的前〃项和，Qi=1，且%=Sn_i+n(n>2且neN)

(1)证明:｛%+1｝是等比数列,并求数列｛aj的通项公式;

(2)若％=)—,记”为数列｛匕｝的前〃项和,求证：37；>2.

«nan+l

4.(2425高三下•全国•开学考试)设数列｛斯｝的前〃项和Sn,%=4,即+1=手与(Sn-l).

(1)证明：数歹U｛景|｝是等比数列；

(2)求｛册｝的通项公式.

5.(2425高二上•山西吕梁・期末)已知数列｛册｝中，且满足斯+i-3册+1=0(n£N*).

(1)证明：数列｛々耳一非为等比数列；

⑵求｛册｝的通项公式；

(3)令匕=一^,S”为数列｛九｝的前八项和，证明：SnVSn+i<"

Qn'On+i7

列的前〃项和及其最值p

I.（2425高二下•浙江杭州・期末）已知&是等比数列｛%｝的前八项和，若&=2,。9=8。6,则Sio二（）

A.1022B.1023C.1024D.1025

2.（2025•北京西城•一模）设等比数列｛册｝的前71项和为Sn,前几项的乘积为若。逆2＜a2a3＜。，则（）

A.5n无最小值，7%无最大值B.%有最小值，G无最大值

C.S〃无最小值，7；有最大值D.Sn有最小值，为有最大值

3.⑵26高三上•福建・开学考试）记5〃为公比大于1的等比数列｛。八｝的前几项和，若%+。2+g=3%。2a3=

,则56=.

4.（2425高二上•青海西宁・期末）在公比大于0的等比数列｛%J中，a1=2,a2+a3=12.

（1）求数列｛%：｝的通项公式；

（2）求数列｛即｝的前n项和男.

5.（2425高二上•广东广州・期末）记Sn为等比数列｛&｝的前几项和，且每＞0（n62）口=9,S3=13.

⑴求数列｛即｝的通项公式册及前九项和医；

（2）若瓦=n-l（neN）cn=anbn,求数列｛cn｝的前n项和％.

等差二等比数列的综合应用

1.（2425高二上•甘肃定西阶段练习）已知数列｛%｝为等比数列，若。2・%=2%，且％与2a7的等差中项

为*则数列｛时｝的公比q=（）

A6B,2C,1D.4

2.12025•内蒙古赤峰•模拟预测）已知递增的等比数列｛即｝的前n项和为Sn,若的=12,a2+1是由与一1

的等差中项，则S3=（）

A.21B.21或57C.21或75D.57

3.（2425高二上•重庆・期末）若5是a与b的等差中项，3是Q与b的等比中项，则M+炉=.

4.（2425高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知等比数列｛斯｝的公比q>l,%+。2+。3=14,做+1是由，

的的等差中项.等差数列满足28=劭，/=a2.

（1）求数列｛册｝,｛b｝的通项公式；

（2）7=旦（几£N*）,求数列｛%｝的前〃项和.

an

5.（2425高三上•北京•阶段练习）已知等差数列｛aj中，散=3,公差d丰0;等比数列｛瓦｝中，b3=%,瓦是

。2和。3的等差中项，坊是由和。2的等差中项.

（1）求数列｛%｝，｛5｝的通项公式；

（2）求数列｛即+%｝的前几项和为；

（3）记金=an-%,比较扇+1与。的大小.

数列求和

I.（2526高一上•江苏•阶段练习）数列（册｝满足由十2a2+3a3十…十nan=Zn-l（n6N,n>1）,则数列

的前9项和为（）

A.—B.—C.-D.-

1651656655

2.（2425高二上•江苏淮安・期末）数列5｝满足MQn+i=3（n+1）即，的=3,数列｛aj的前〃项和又为（）

C.1+（14n-8）3n-123D.；+（^-；）3n+1

3.（2425高二上•湖北省直辖县级单位•期末）数列｛斯｝中g=2,且满足斯-an+1=联，an4-an+1=

则数列｛b｝的前2024项的和为.

4.（2425高二下•黑龙江哈尔滨•期末）已知等差数列｛即｝的前n项和%满足S5=25,a2+a5=12.

（1）求的通项公式；

（2）若加=/一，求｛%｝的前〃项和

4,一1

5.（2526高二上•江苏苏州•阶段练习）已如数列｛%｝为等差数列，公差d丰0,｛a„｝（neN，）的部分项

a“i,以2,…，a%恰为等比数列，若，=1,J=5,七=17.

⑴求心

（2）设数列｛%｝满足：匕="铲（九€寸），求数列｛%｝的前〃项和S…

题型8数列与不等式综合

1.：2425高二上•河北唐山•期末）数列｛%｝满足的=4,an+1=20n-2,对于任意的九EN',A（an-2）<an-

6恒成立，则实数入的取值范围是（）

A.（-co/l）B.（-oo,-l）C.（-1,2）D.（1,2）

n+1

2.(2025•陕西西安•二模)已知数列｛斯｝满足%=3,an+1-an=2,bn=(-l)Q+£）,若数列｛0｝

的前几项和为乙,不等式及<：入（3-5幻（716/7*）恒成立，则4的取值范围为（）

A-（M+8）B.仔+8）C.（V）D.（I，I）

3.（2425高二上•河北石家庄•期末）已知数列｛册｝满足%+2a2+3。3+―+九即=2、设.=（什：嬴J

Sn为数列｛当｝的前几项和.若Sn<t对任意九GN”恒成立，则实数珀勺取值范围为.

4.(2526高二上•江苏•阶段练习)已知数列｛5｝满足％=3,且2%n+i=2%n-L

(1)证明:数列(2吁％.-1｝是等比数列;

(2)求数列｛g｝的前几项和％;

(3)在⑵的条件下，令b=第注+族)，记数歹端｝的前几项和为加证明：l<Tn<l.

5.(2526高二上・甘肃兰州•阶段练习)已知正项数列｛册｝的前几项和为右，旦2底=an+l.

⑴求数列｛5｝的通项公式；

(2)设b=—^，数列｛^｝的前n项和为〃，求证：Tn<^

anan+l2

(3)若不等式上+—+—+••-+—<log2(m-1)-；对任意的nGN*都成立，求实数m的取值范围.

an«n+i«n+2a2n3

题型9数列与其他知识交汇

1.(2526高二上,福建漳州•阶段练习)德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对1+2+

3+•••+100的求和运算中，提出门到序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规

律性，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数fa)=或芸6(k>0),则/'(l)+f(2)+f(3)+・・・+

.5AC+6U，o

/■(A+2025)等于()

人k+2025n2k+6078r2fc+6078nk+2025

A・丁B♦——l_x•

2.(2425高三上•江苏盐城•阶段练习)已知数列1｝的前〃项和9=其1-a)(nGN*),若2+a=310g网,

3n4

且数列｛%｝满足。=内？b，若集合｛九|cn：>2,/lWR｝中有三个元素，则实数2的取值范围()

15

A.B，(获

2‘8

3.(2425高二下•广东珠海•期末)已知非零数列｛须｝,%=%・。2・。3-斯，点(即，2)在函数丫=三的图

象上，则数列｛温谈｝的前2024项和为.

4.(2425高三下•上海•阶段练习)已知函数/(幻=4V3sinxcosx-4cos2x.

(1)求函数/•(幻的单调减区间；

⑵如果函数/⑺在(0,+8)上的零点从小到大排列后构成数列｛册｝,求｛QN｝的前12项和.

5.(2425高二上・上海•期中)已知点(15)是指数函数/(%)图像上一点，等比数列｛册｝的前几项和为/5)-c,

数列协"(%>0)的首项为c,且数列｛b｝的前几项和又满足Sn-Sn-1=疝+历7(">2).

⑴求数列｛即｝的通项公式；

(2)求数列｛b｝的通项公式

(3)若数列｛晟3｝前几项和为丁…问7；>翳的最小正整数n是多少？

题型10

1.(2526高二上•福建莆田•阶段练习)南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题,

即一个数列｛Q,J本身不是等差数列，但从｛Qn｝数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列｛%｝

(则称数列｛册｝为一阶等差数列)：或者｛%｝仍旧不是等差数列，但从｛%｝数列中的第二项开始，每一项与

前一项的差构成等差数列｛0｝(则称数列｛。/为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列.类比

高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,128,64,…是一阶等比数列，则该数列的第8项

是(

A.25B.2,6C.221D.228

2.(2425高二上•广东广州・期末)设TH为正整数，数列内,g，。3m+2是公比不为1的等比数列，若从中删

去两项和<力后剩余的3m项可被平均分为m组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列

%小2,…，。3m+2是(iJ)一可分数列•现有下列3个命题：①数列a],。?，…，是(L5)可分数列；②数列

%。2，・・・，。8是(2,5)可分数列；③数列的,%a3m+2(m23)是(6,9)可分数列.其中是真命题的为()