第4章 小结与评价（学案）-2025湘教版八年级数学上册

第4章三角形

第4章小结与评价

►学习目标与重难点

学习目标：

|.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。

2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定

理。

3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。

4.通过“命题一证明一应用”训练，提升逻辑推理与几何直观能力。

5.运用尺规作图验证几何性质，培养实践操作与数学建模能力。

学习重点：

1.一：角形性质与判定定理的综合应用。

2.尺规作图的操作规范与几何依据。

学习难点：

1.复杂图形中辅助线的添加（如构造中位线、垂直平分线）。

2.多次全等证明及几何语言规范表述。

►教学过程

一、知识图谱

二、思考回顾

教材第146页

1.三角形的三边之间有怎样的关系？什么是三角形的内角和定理？

【牛刀小试】1.以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（）

A.2,3,6B.3,4,8C.5,6,10D.7,8,18

2.在△48。中，若=则此三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

2.什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？

【牛刀小试】下列命题中为真命题的是（）

A.V16=±4

B.过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

C.同旁内角互补

D.有理数与数轴上的点一一对应

3.什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？反证法的基本思路是怎样的？

【牛刀小试】下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③全等三角形的对应

角相等.其中逆命题是真命题的命题共有个.

4.全等三角形有哪些性质？如何判定两个三角形全等？

【牛刀小试】下列条件中，能判定＞ABC»DEF的是：）

A.Z.A=乙0,乙B=£E,ZC=乙F

B.AB=DE,乙B=,AC=DF

C.Z-A=乙D，乙B=Z.E,AC=DE

D.AB=DE,=cE=90°,AC=DF

5.什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？

【牛刀小试】下列说法中：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②有一个的是60。

的三角形是等边三角形：③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为

等腰三角形；④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形。其中正确的说法共有（）个。

A.1B.2C.3D.4

6.什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理分别是什么？

【牛刀小试】如图,△/RC中，ABAC=90°,AC=8cm,DE是边上的垂直平分线，△/£?£）

的周长为14cm,则48的长度是cm.

三、注意事项

1.一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一.

2.判断一个命题是真的，需要进行证明.难以直接证明时，常用反证法.

3.判断一个命题是假的，只需要举出一个反例，使之符合命题的条件，但是不满足命题的结论.

4.一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.

5.由于全等三角形的对应边相等、对应角相等，因而证明线段相等或角相等时，常常先证明有关的两

个三角形全等.

四、课堂练习

【知识技能类作业】

必做题

1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm,则这个等腰三角形的周长是（）

A.7cmB.16cmC.19cmD.17cm或19cm

2.已知下列命题：

①若Q$0,贝=②若血标》九合，则7n＞几；③同位角相等，两直线平行；④对顶角

相等.

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）

A.I个B,2个C.3个D.4个

3.如图，在四边形4BCO中，AB=ADtCB=CD,若连接AC、B。相交于点。，则图中全等三角形

共有（）

A

C

A.3对B,4对C.2对D.5对

选做题

4.要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当。=

时，口=，得6a,所以这是一个假命题.

5.如图，CD是△ABC的高，且CD平分NACB,ZBAC=70°,NCFE=25。，则/CEF

=O

6.如图，在△ABC中.AB=AC,ZACB=60°,D是线段BC上一点，连接AD,在线段AD上分别取

两点E,F,连接CE,BF,若NBAD=NACE,ZBFD=60°,CE=5,则AF的长为

A

【综合拓展类作业】

7.为了测量一幢高楼的高在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角

乙DPC=17°,测楼顶4的视线PA与地面的夹角乙AP8=73°,量得点P到楼底距离P8与旗杆高度相

等,等于8米，量得旗杆与楼之间距离为。8=33米，求楼高是多少米？

A

田

田

田

DPB

五、作业布置

1.如图，要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离，小明在池塘外取的垂线BF上的点C,D,使

BC=CD,再画出8F的垂线DE,使E与A,C在一条直线上，这时测得0E的长就是的长，依据

C.ASAD.AAS

42=120°,则43的度数为（)

55°C.60°D.65°

3.如图，在等边三角形力BC中，40是边BC上的中线，且40=6,E是40上的一个动点，尸是边48的

中点，BE+EF的最小值为()

A.5B.6C.7D.8

4.如图。在AABC中，DE、DF分别为BC、AB边的垂直平分线，连接AD、CD,

(1)求证：DC二DA；

(2)若NB=30。.AC=5,则△ACD的周长为

答案解析

课堂练习：

1.【答案】D

【解析】解；①当腰是5cm,底边是7cm时，能构成三角形,

则其周长=5+5+7=17cm；

②当底边是5cm,腰长是7cm时，能构成三角形,

则其周长=5+7+7=196儿

故答案为：D.

2.【答案】B

【解析】①若处0,则|a|二-a,是真命题,

逆命题是若|a|=-a则怨0,是真命题,

②若ma2>na2,则m>n,是真命题,

逆命题是若m>n,则ma2>na2,是假命题,

③同位角相等，两直线平行，是真命题,

逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题,

④对顶角相等，是真命题,

逆命题是相等的角是对顶角，是假命题,

原命题与逆命题均为真命题的个数是2个;

故答案为：B.

3.【答案】A

【解析】解：由图可知AC=AC

VAB=AD,CB=CD,

・••△ABC^AADC(SSS)，

AZBAC=ZDAC,ZACB=ZACD,

△ABO^AADO(SAS),ACBO^ACDOCSAS),

一共有三对全等，故选A.

4.【答案】；、；、>.

42

【解析】解：当Q时，=p

Va>a,

・•・这是一个假命题.

故答案为：:、p

5.【答案】115

【解析】解；VCD是aABC的高，

AZADC=ZBDC=90°,

〈CD平分NACB,

AZACD=ZBCD,

在^ACD-^ABCD中，

(Z.ADC=Z-BDC

CD=CD,

{/.ACD=乙BCD

?.△ACD^ABCD(ASA),

AAC=BC,

AZB=ZBAC=70o,

:.ZACB=180o-70°-70o=40°,

'：ZACB+ZF+ZCEF=180°,

:.ZCEF=1800-40o-25o=115°.

故答案为：115.

6.【答案】5

【解析】解：VAB=AC,ZACB=60°,

/.△ABC为等边三角形，

・•・ZBAC=60°,

ZBFD=ZABF+ZBAD=60°,ZBAC=ZBAD+ZCAD=60°,

AZABF=ZCAE,

VAB=AC,ZBAD=ZACE,

.*.△BAF^AACE(ASA),

.*.AF=CE=5.

故答案为：5.

7.【答案】解：vDB=33米，PB=8米，

DP=33-8=25(米)，

•••乙CPD=17°,乙4PB=73°,“DP=4ABp=90°,

AZCPD+ZAPB=90°,ZDCP+ZDPC=90°,

•••乙DCP=^APB=73%

在ACP。和A/MB中，

(Z.CDP=乙ABP

DC=PB,

UDCP=Z.APB

/.△CPD三xPAB(ASA),

•••DP=AB,

答：楼高力8是25米.

作业布置：

1.【答案】C

【解析】解：•・7B18F,DELBF,

：,Z-ABC=Z-EDC=90°,

,:E与A,C在一条直线上，

AZACB=ZECD.

在△ABC和△EDC中，

(Z.ABC=Z.EDC

BC=DC,

VZ.ACB=Z.ECD

空△EOCQ4S4),

：.AB=DE,

・•・依据是AS4

故答案为：C.

2.【答案】B

【解析】解：・・・力8||8,

工乙ACD=41=65°,

VZ2=120°,

'：/-ADC=