第二十一章 一元二次方程 单元提优卷-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章一元二次方程单元提优卷

用时：120分钟总分:120分得分：

一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分）

1.（2025•四川眉山东坡区期末）关于x的方程（（〃I）x"由〃1=0是一元二次方程，则（）.

A.m=lB.m#lC.m=-3D.m=I或m=-3

2.若关于x的一元二）欠方程av2+也什2=0〃甫）用一根为x=2025则关于x的一元二次方程”6+1_/十加十力=-2必

有一根为（）.

A.2023B.2024C.2025D.2026

3.（2025福建泉州南安期末）已知m是关于x的一元二次方程f-3/〃+2=0的一个实数根，且满足（病

-3〃?+1]（〃+1）=-4,则2的值为（）.

A.-3B.1C.-3或-1D.-3或1

4.若一元二次方程/+区+4=0的两个实数根中较小的一个根是m（n#0）,则什㈤^记等于（）.

A.mB.-mC.2mD.-2m

5.（2024.黑龙江中考）关于x的一元二次方程（（"L2）F+4X+2=0有两个实数根，则m的取值范围是（）.

A.m<4B.m>4C.m>-4且m#2D.m<4且n#2

6.（2024.四川乐山期末）定义一种新运算a白=商口石，其中a>0,b>0,当x&x-3）=2时,x的值为（）.

A.-IB.4C.4或-]D.3

7.（2025.江苏镇江句容期中）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架.

《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何?”大意为：有一形状是矩形

的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少?利用方程思想，设矩形门宽为x尺，

则依题意所列方程为（1丈=10尺，1尺=10寸）（）.

4/+々+6.8>=\0286-6.8户102

C.x（x+M）=102DJC（X-6,8>102

8.（2024.南通中考）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200k«2023年平均每公顷产8450kg.求水稻每公顷产

量的年平均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则列方程为（）.

47200。+4=8450B.7200(1+2x)=8450

C.84506l-v/=7200D.8450（1-2x）=7200

9.（安徽宣城二中自主招生）已知三个关于x的一元二次方程以2+ex+a=Oct2+G+b=o恰有一个公共

实数根，则1+t+%勺值为（）.

DCcaab

A.0B.1C.2D.3

10已知关于x的一元二次方程”2+以+。=0出笫以下列说法正碓的有（）.

①若ac>0.则方程“f+bx+cR必有两个不相等的实数根；

②若a+b+c=0,则b2~4ac>0;

③若c是方程qf+bx+cuO的一个根，则一定有ac+b+l=O成立；

22

④若x0是一元二次方程。1+笈+。=0的根,则b-4ac=（2ax（）+b）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本题包括8小题，每小题3分，共24分）

II（2024.湖南岳阳汨罗期中）将一元二次方程2/=5尸3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数

为.

12.若01是方程x2-21=0的根，则W2

+nrA=.

13.（2024.青岛中考）如图,某小区要在长为16m,宽为12m的矩形空地上建造一个花坛,

度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为m.

14（2024.烟台中考）若一元二次方程23-4x-1=0的两根为m,n,则3m2-4m+n2的值为.（第13题）

15.（2024.湖南邵阳期末）在^ABC中，8。=4〃8=2百/。=&且关于乂的方程F-2Ox+“2=o有两个相等的实数

根，则AC边上的中线长为.

16（2024•湖南湘潭期末）对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中的较大值，如：max

{2,5}=5.按照这个规定，方程小。*“，入户¥2-3的解为.

17.（2024•南京中考）已知4-8是关于x的方程（（x-2）QF+8x+c）=0（abc是有理数，a#0）的一个根，则该方程

的另外两个根分别是.

18.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为响伴方程”.例如『=4和（x-

2）（x+3）=0有且仅有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”若关于x的方程—+反+c=04翔质参数

同时满足a+b+c=O和a-b+c=O,且该方程与（x+2）（x-n）=0互为“同伴方程”，则n二.

三、解答题（本题包括8小题，共66分）

19.（6分）解方程:

(1)^-6^+5=0;(2)2/+厂2=0.

20.（6分）（2025•湖北宜昌夷陵区期中）设一元二次方程/+瓜+*0.在下面的四组条件中选择其中一组b《的值，

使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.

@b=2,c=1;@b=3,c=1b=3,c=-1;@b=2,c=2.

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.

21.（8分）（2025•福州一中一模）已知关于x的一元二次方程.，一（k2）x-h0.

（1求证：该方程一定有两个实数根；

⑵若x=2为该方程的一个解,求k的值.

22.（8分）（2024.南充中考）已知X1，口是关于x的方程r-2履+改一什上。的两个不相等的实数根

⑴求k的取值范围；

⑵若k<5,且k,.勺足都是整数，求k的值.

23.（8分）（2025湖南张家界永定区期中）我们规定：对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,,其中等式

右边是通常的乘法和减法运算，如：|[3,2]L][5，l]=3x5-2xl=13.

⑴求卜4,3]□[2,-6]的值；

（2）已知关于x的方程[x，2xT]』”a+1，〃“=0有两个实数根，求E的取值范围.

24.（8分）（2024.湖南株洲建宁实验中学期末）定义：如果关于x的一元二次方程af+bx+cR®#。）满足a-b+c=0,,

那么我们称这个方程为,,黄金方程”.

（1）判断一元二次方程〃+5"3=0是否为黄金方程,并说明理由；

⑵已知什〃-0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值.

25.（10分）（2025•宁夏银川期中）如图在Rf/BC中,[6=90/C=10cm£C=6c〃,现有两个动点P,Q分别从点

A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以Icm/s的速度沿BC向终点C

移动，其中一点到终点，另一点也随之停止.连接PQ,设两个动点运动时间为x秒.

（l）用含x的代数式表示BQ,PB的长度.

⑵当x为何值时，匚P80为等腰三角形.

（3）是否存在x的值,使得四边形APQC的面积等于20卅喏存在,请求出此时x的值；若不存在,请说明

理由.d

（第25题）

26.（12分）（2024•陕西商洛期木）某商场销售批衬衫，平均每天可售出2（）件，每件盈利40元.为了扩大销售，增

加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单

价降了x元.

（1）完成下列表格（用含x的式子填空）.

每天的销售量/件每件衬衫的利润阮

降价前2040

降价后

⑵当衬衫的单价降多少元时，商场销售这批衬衫每天可盈利1050元，且对消费者更有利?

⑶能否通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利1500元?

1.c［解析］根据一元二次方程的定义得出|m+l|=2且m-1,0,解得m=-3.故选C.

2.B［解析］a(x+l)1+bx+b=-2,

整理，得46rH方+6/1万2=0.

设t=x+l,则at2+bt+2=0.

因为关于x的一元二次方程(加+版+2=0&现殖一根为x=2025,

所以aP+b/+2=0有一个根为t=2025,

则x+l=2025.解得x=2024,

所以一元二次方程。6+172+川+/>=-2必有一根为x=2024.故选B.

3.A［解析］:!!!是关于x的一元二次方程fTx+a+ZR的一个实数根,，012-3111+2+2=0,，1112-3：11+口

(W2-3/M+l)(a+l)=-4,□(a+1)M,Aa=1或3二•在方程/-3工+4+2=0中,口=秒-4知=(-3)2-40+2)20,解得把^,/.a=

-3.故选A.

4.D|解析I：/+反+4=0的两个实数根中较小的一个根是m,□上笑=/〃,解得/)+%2-16=-2/儿故选D.

5.D［解析］根据题意，得严川纥:丁大解得血且用故选口

6.B［解析卜ab=y］a6,其中a>0,b>0,，x&x-3)=28［］y/x^=5=2,两边平方得x(x-3)=4整理得.x2-3x-4=0,

(x-4)(x+l)=0,/.Xi=4,X2=-1.丁x>0,x-3>0,，x>3,，x=4.故选B.

7.A8.A

9.D|解析|设X。是它们的一个公共实数根，则a帝bx()+c=04诒+cxo+a=Oc$+axo+/)=O把上面三个式子相加，

整理，得（Q+b+c）（君+xo+l）=O.因为.r§+A-o+l=（xo+0+40,所以a+b+c=O.即a+b=-c.由题易知,abcM,于是廿

_尸十/#寸/_°3+/户一3+5）3_-3〃Z>（a+〃）_3abe口

abcabcabcabc*

10.B［解析］①..•ac>0,，△=b2-4ac的符号无法确定，故①错误;②•••a+b+c=0,，a=-b-c,・••方程为（-b-c）x2

+/?A+C=0,Q\J=b2-4（-b-c）c=b2+4儿+叱式人^>川,,故②正确;③当c=0时,c是方程尔十方尸。的根，但是b+1不一

2

定等于0，故③错误；®*.'x0是一元二次方程。『+云+（?=（）的根,，X。=",匚2aio+b=±'2_4r/c,［b-4ac=（2a

与+8”故④正确.故选B.

11-5

22

12,6［解析［•••m是方程./一公-1=0的根，口机2-2〃?-1=0,即加2T=2〃?口m2+*=（加_：）2+2=（f±l）+2=2

+2=6.

132［解析］设小路宽为xm根据题意得（16-2x）（12-入）=912乂16.解得乂=2或*=12（舍去）,.“\路宽为21］］.

14,6［解析］•・•一元二次方程2/-4x7=0的两根为m,n^2m2-4m=1,w+w=-y=2,mn=-1,Wm2-4m+n2=2m2

-4ni+nr+n2=l+（m+n'）2-2mn=\+22-2^（一;）=6.

15.5［解析］•・•关于x的方程./-20H/=0有两个相等的实数根,.□□=（-20尸-4/=0,解得@=10或a=-10（舍去）,.

2

［AC=\0.□^C2=16J52=（2V2l）=84/C2=1OO,匚8C2+4炉=4C2,□□,48C为直角三角形，且AC为斜边，.・.AC边上

的中线长为|xl0=5.

16x=-2或产子^［解析］当x<l时方程max",公=/_3为1-3=1,即1=4,解得占=2（不合题意,舍去）,

电=一2；：当x>l时方程〃心。，丫尸*-3为，-3=x,即，一广3=0,解得勺=上普，不合题意,舍去）.

17.24+715［解析］关于x的方程（（工一2）（加+及+c）=0（a,b,c是有理数a/））中,x-2=（）或苏+版+c=0.n4-正是关

于x的方程（（LZXof+bx+cH）的一^根，口属-4a企0,且将x=4-/代入原方程，可得（a（4-vT5J+b（4-v45）^c=d,

整理，得31a+4b+。-（8。+6）713=0.

・・・ahc为有理数，□产言鬻。解得｛—将产一8d代入尔+6L4和2整理得ffx+UO,解得.

isa+b-i）,c=a.c=a

产4+而或尸4-灰，则该方程的另外两个根为2和4+VT5.

181或-1［解析］•同时满足a+b+c=O和a-b+c=O关于x的方程（ad+6x+c=o@£（）而）两个实数根分别为修=］,

x2=-l.

V（x+2）（x-n）=0,x+2=0或x-n=O,

Aix+2)(x-n)=0的根为x=-2或x=n.

二ax2+Z?x+c=O(«^0)-^(x+2)(x-n)=0互为"同伴方程，n=l或n=l.

19⑴分解因式得(x-l)(x-5)=0,

/.x-l=OScx-5=0,.*.X1=l,x2=5.

(2)2x2+x-2=0,Va=2,b=l,c=-2,

匚/_4〃c=i2_4x2x(_2)=17,

l-Z>=Vb2-4ac-liVT7

尸4-，

TWT?-1-777

xi=­J2=-J-•

20•・•使这个方程有两个不相等的实数根，

匚万一4">0,即b2>4c；②③均可.

选②解方程，则这个方程为.f+3戈+1=0,

-3+V5-3-V5

匚阳=——共2=——；

选③解方程，则这个方程为，+3尸1=0,

l-teVb2-4ac-3土VT5

尸lit2""，

-3+/I3-3-70

g丁出=丁.

21.(1)Va=1,b=-(k-2),c=-k,

匚□=[—(〃-2)]2-4xlx(-k)

=F-4A+4+4A

=t2+4>0,

・•・该方程一定有两个实数根.

(2»巴x=2代入方程.r―(A—2).LD得22—2(h2)-k=0,解得公)人的值为(

22.(1)•・•原方程有两个不相等的实数根，・•・△>(),

匚口=(-2%)2-4X1x(/—什1)=4P一4炉+444=4匕4>(),解得k>1.

(2；・lvk<5,・・