高一数学（人教A版）教案 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式

一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

第1课时不等关系与不等式一（教学方式：基本概念课

一逐点理清式教学）

［课时目标］

i.在具体问题中建立不等关系，要注意区分“不等关系”“相等关系”与“不等式”等

概念.

2.理解实数比较大小的依据，重点掌握作差法比较实数大小.

3.能通过比较大小在实际生活中的应用建立数学建模的意识.

逐点清（一）用不等式（组）表示不等关系

［多维理解］

I.不等关系与不等式

不等关系不等关系常用不等式来表示

不等式用不等号（＞,V，2,W,#）表示不等关系的式子叫做不等式

2.不等式中文字诏言与符号诏言之间的转换

小于、低于、大干或等于、至小于或等于、至多、

文字语言大于、高于、超过

少于少、不低于不多于、不超过

符号语言><2

|微|点|助|解|

⑴不等关系强调的是关系，可用“2”表示.而不等式则是表示两

者不等关系的式子,如“aWb”“aWb”.要特别注意“2”和“W”

两个符号的含义：不等式读作大于或等于〃"，其含义是指“心〃或等价于

“4不小于bn,即公功或a=b中有一个正确，则a，b正确；不等式aWb读作“a小于或

等于。”，其含义是指“。<。或。=力”等价于不大于)"，即。<。或。=〃中有一个正确,

则a&b正确.

(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.

［微点练明］

1.某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如

下估计：理论考试成绩x超过85分，技能操作成绩)，不低于90分，答辩面试成绩z高于95

分，用不等式组表示为()

x>85G85

A.«用9()B.­v>90

・z295、z>95

厂>85x285

C.“290

D.«)>90

lz>95

z295

解析：选Ck超过85分表示为.085,y不低于90分表示为y290,z高于95分，表示

为z>95,故选C.

2.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万元;

方案“为第一年投资80万元，以后每年投资20万元.二列不等式表示“经过〃年之后，方

案B的投入不少于方案A的投入”的不等关系是()

A.80+20〃2300B.8O+2O〃W3OO

C.80+20(//-1)^30()D.80+20(/1-1)^300

解析：选D经过〃年后，方案B的投入为80+20(口-1)万元，则“经过〃年之后，方

案8的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80+20(〃-1)2300.

3.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,要求菜园的面枳

小小于96m2,靠墙的一边长为xm,则用小等式(组)表示其中的小等关系是.

解析：因为矩形菜园靠墙的一边长为xm,而喑长为18m,所以0<xW18.这时菜园的

04，..,30—x(15-1)m,因此菜园的面积5=«15—9.依题意有S296,即«15—今

另一条边长为一一=

04W18,

296.故该题中的不等关系可用不等式组表示为，.(15-296.

0<AW18,

答案："(

《15一方296

逐点清(二)实数(式)的比较大小

［多维理解］

I.文字叙述

(1)如果a—b是正数,那么色b；

(2)如果a—〃等于0,那么。三〃：

(3)如果。一〃是负数，那么心〃.反过来也对.

2.符号表示

(1)«>/?<=>«—/?>0；

(2)4=/?o“一b=0；

(,3)a<b^a—b<0.

3.用作差法比较两个数(式)大小的步骤

作差法是比较两个数(式)大小的基本方法，一般步骤：

①作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；

②变形：对差进行变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;

③确定差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.

④下结论：写出两个数(式)的大小关系.

［微点练明］

1.设M=2『+54+4,N=(a+l)S+3),则M与N的大小关系为()

A.M>NB.M=N

C.M<ND.无法确定

解析：选A因为M—N=2/+5a+4—(a+l>(a+3)=/+a+1所以

M>N,

2.若&=小+2小'5^5，c="+^5’则()

A.a>c>hB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

_...r-i-.小一264"\R-3小y［32—\I?J...

解X析r：选A因为a—c=小一6+2乖=2衽=2乖所以因

为c-b

=啦—3+俞=2也+乎-2巾,又(2也+小产一(2小＞=4#-9=晒一两＞0,且

2小+小＞0,2小＞0,所以入R+A/5＞2小，所以c一〃＞0,所以。＞从故

a?h2

3.已知小"都是正实数，比较/+》与a+〃的大小.

.(r.b2,一、ay+by-a2b-ab2(a-b)2(a+b)

解：石+"一(〃+〃)=------正------=一记一，

因为〃>()./?>(),所以〃+〃>(),ab>().

当a=〃时，5+工一(a+〃)=0,即石+5=〃+江

/Z?2“2〃2/〃2

当aWb时，石+1■—(〃+。)>0,即了+/q+/?.所以石+工2〃+〃.

-〃舄，比较，的大小.

设N=MN

4.a>/»0,M=cr-^b1

cr—b2a~b(a+b)(cr—b2)—(a1+b2)(a—b)

解：法一：作差法M—2币一k----------d+Bm+〃)----

(a-b)[(a+b)2—(序+从)]2ab(a—b)

(♦+")(〃+〃)=32+后)5+〃)，

因为a»>0,所以a+b>0,a—h>0,2(ib>0,/+/>(),

2ab(a—b)..c^—b2a-b..

所以西丽访＞0,所以字＞用.所以

“cr-b2八a-b._

法二：作商法因为a>h>0,所以,i

a-+b-a-_ir_b>0,2^/?>0,

cF-P

M/+及(a+))2a2-^-b2+2ab2ab

所以R=E~=。2+后=层+从=1十/奇:

a+b

次一从a-b

所以4+产不j工.所以M＞N.

逐点清(三)重要不等式。2+〃22"

一般地，V。，b^R,有序+〃22帅，当且仅当a=b时，等号成立.变形形式：

(l)abw"J,当且仅当〃=方时，等号成立；(2)"了当且仅当〃=力时，等号

成立.

I御点网|解|

(1)重要不等式的实质是实数平方的非负性，不等式中小b的取值既可以是某个具体的

数，也可以是一个代数式;

(2)当且仅当的含义：①当。=力时等号成立，即。=〃=/+从=2而；②仅当“=力时等

号成立，即a2-\~b2=2ab=>a=b.

［典例］已知a>0,b>0,证明a3-^b3^ah2+a2b.

证明：a^b3-(ab2+a2b)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a^b)=(a-\-b)(a2-2ab-^b2).

V«>0,Z?>0,且〃2+/22ab,/.«+Z?>0,/+从一2a/?20,a3+b3—(ab2+orb)>0,

故力2+“2〃

I思I维健I模I

比较两个数(式)的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过逻辑推理得到差的符号,

从而判定两个数(式)的大小关系，也可以由。+%。>0)构建重要不等式的形式，通过逻辑推

理进行证明.

［针对训练］

已知〃>(),求讦：〃+：22.

证明：法一当且仅当a=\时，等号成立.

法二,+92=飙(排一2=(3-排2・・・“十%.

［课时跟踪检)则］

(满分90分，选填小题每题5分)

1.下面能表示与人的和是非正数”的不等式为()

A.a+b<0B.。+/?>0

C.〃+%W0D.。+历0

解析：选C。与〃的和是非正数，即a+/?W0.

2.铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之

和不超过130cm,设携带品的外部尺寸长、宽、而分别为m4c(单位：cm),这个规定用

数学关系式可表示为()

A.a+b+c>130B.。+/?+«130

C.〃+b+c2130D.a+/?+cWl30

解析：选D根据乘生动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm可知,

a+/?+cW130.

3.若x£R,），£R，则（）

A.r+^lxy—1B.x1+y1=2xy-1

C./+广2不，-1D.『+)2忘2个一1

解析：选A由重要不等式『+)，22羽,，得/+优>2邛-1.

4.(多选)下列关于不等关系的说法正确的是()

A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车

载货物高度力(单位：米)满足力W4.5

B.用不等式表示“。与力的差是非负数”为〃一比>()

C.不等式x22的含义是指x不小于2

D.若或。=力之中有•一个正确，则。正确

解析：选ACD因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”，不超过用“W”表

示，故A正确；因为“非负数”即为“不是负数”，所以。一620,故B错误；因为不等式

工22表示x>2或x=2,即x不小于2,故C正确；因为不等式表示。<力或。=8，故若

或a=b中有一个正确，则人一定正确，故D正确.

5.设M=2a(。-2),/=(〃+1)(。一3),则()

A.M>NB.M>N

C.M<ND.MWN

解析：选A因为M—N=2a(〃-2)—(〃+l)(a—3)=2/—4a—(4—2〃-3)=/—2a+3

=(〃一l)2+2>0恒成立，所以M>N.

6.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工

人工资预算2()0()元，设木工x人，瓦工)，人，则请工人满足的关系式是()

A.5x+4)v2(X)B.5x+4y22()()

C.5x+4y=200D.5x+4)W200

解析：选D依题意，请工人满足的关系式是50x+40)W2000,即5x+4)W200.

7.若Q>0,v>0,，"=仔+二F，则M,N的大小关系是()

-I+x+y1+x1+y

A.M=NB.M<N

C.MWND.M>N

解析：选By>0,1+x+y>l+x>0,1+x+y>l+)>0,1.1+；+v<〔；丫，〔+：+v

VXiVXVXV

故4_=]4__L+i4_4.<7t7~+士=+，即MvN.

1+y1H-x+y1+x+y1+x+y1+x1+y

8.某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选

择一种.甲型号的船比乙型号的船少5艘.若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够：

每艘船载5人，则有船没有载满.若只选择乙型号的，每舰船载3人，则船不够；每艘船载

4人，则有多余的船.甲型号的船有()

A.9艘B.10艘

C.11艘D.12艘

解析：选B设甲船有x艘，则乙船有。+5)般，

4X<48<5A,

由题意可得,一,

[3(x+5)<48W4(x+5—1),

解得9.6<r<11,

又因为x为正整数，所以入=10.

即甲型号的船有10艘.

9.(多选)下列不等式.其中恒成立的不等式为()

A.a2-\-3>2a(a^R)B.『+炉>0

C.cr+tr>2(a-b-\\D.8啦肛忘41+8产

222

解析：选AD*.*«+3—2a=(«—1)+2>0,*.(r-\-3>2atA正确；f+y—xy=Q—

+$22o,B错误；/+〃一2(〃一5一l)=m—l)2+S+l)220,C错误；4f+8y2=(2r)2+(2吸

y)222・Zv2小丁=8也。，D正确.

10.(多选)19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实

数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一，可以推出实数理论中的六大基本

定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数p,满足

p2V2,q=p，~U，则下列说法正确的是()

A.p<qB.p>q

C.q<y[2D.q>\[2

n~-2/—2i)~-2

解析：选AC因为〃_.=、_〃+〃+2=p+2'而〃2<2，P>0，所以‘p+2<°，即"Vq，

“2—22〃+24(〃+1)2—2(〃+2)22(/，一2)

故A正确，B错误；因为〃+2-/；+20'T"2>一(p+2)2-(p+2)2

所以产6/5)2,即q<小,故C正确，D错误.

11.已知x<l,则f+2与3]的大小关系为.

解析；『+2—3"=@-1)(%—2).当x<\时，x-l〈0,x-2<0,所以(内一l)(x-2)>0,即

x2+2—3A>0,所以x2+2>3x.

答案：f+2>3x

12.某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得

超过200元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、1。元，一等奖人数与二等奖人

数的比值不得高于：，且获得一等奖的人数不能小于2.设获得一等奖的学生有x人，获得二

等奖的学生有y人，则人y满足的不等关系为.

"20x4-10><20(),

f2x+yW20,

Wv，

3x—yWO,

解析：由题意得化简得R

x22,x£N”,

在2,x£N\

产N*.

”N,

2+)W2(),

3x—yWO,

答案：

G2,A-eN+,

)eN

13.请根据矩形图表信息，补齐不等式：而不?+<西『2

如题图中的△A8C,根据三角形的两边之和大于第三边，知A8WAC+3C,当且仅当A,

B,C三点共线时，等号成立，所以仁1+廿+.上+法2口(“+匕)2+(c+,〃2

答案：，m+Z?)2+(c+d)2

14.某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均

每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工

x个，求解此问题需要构建的不等关系式为.

解析：因为该车工3天后的12天里，平均每天需加工x个零件，共加工12丫个零件，15

天里共加工(3X24+12r)个零件，则72+l2x>4()8.

答案:72+⑵>408

15.(10分)某单位计划组织员工参观花博会需租车前往.甲租车公司：“如领队买全票

一张，其余人可享受7.5折优惠”.乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”.这

两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公

司.

解：设该单位员工有八人(〃£N*),全票价为x(.r>0)元，坐甲车需花了|元，坐乙车需花”

31，1]1।

元，则)，|=工+4*(〃-1)="+不1〃，几I.因为yi-J2=4^-+4xn-5xn=4X~20^=4

且已知x>0,所以当〃=5时，乃=)个；当〃>5时，yv”；当〃<5时，yi>yi-因此,

当单位去参现的人数为5时，两家租车公司收费相同；多于5人时，选甲租车公司更优惠;

少于5人时，选乙租车公司更优惠.

1

16.(10分)已知x£R且37—1,比较1一%的大小.

解：•••y^：_(i_x)=

1+x1+£

当户0时，岳=°，♦.・土=1-1；

]

当I+人<0,即人v—I时，..<0,.I<I—A

\+x1+x

V21

当1+Q0且60,即—1令＜0或Q0时，的0,...本］一X.

综上，当xv-1时，yz匕＜1-x;

当x=o时，Y^=1—x；

当一1VxvO或r>0时，11>1—X.

I+x

第2课时不等式的性质及应月——(教学方式：深化

学习课一梯度进阶式教学)

［课时目标］

1.通过等式与不等式的差异，掌握等式和不等式的性质，能利用不等式的性质证明简单

的不等式.

2.运用不等式的性质分析解决问题时，必须验证是否满足它成立的条件.

也课前预知教材•囹主落实基础

1.等式的基本性质

性质性质内容

1如果a=b,那么b=a

2如果a=Z>,b=c,那么a=c

3如果a=b,那么a±c=h±c

4如果a=b,那么ac=bc

5如果a=b,cK(),那么

2.不等式的基本性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>h^b<ac

2传递性cob>h>c=^a>c不可逆

3可加性a>b<^>a+c>b—c可逆

a>b,c>()=>ac>bc

4可乘性c的符号

a>b,c<O=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d=>a-\-c>b-\-d同向

同向同正

6a>b>0,c>ci>O=^ac>bd同向，同正

可乘性

7可乘方性a>b>O=^an>bn(neN,”22)同正

3.不等式中的常用二级结论

(1)〃)/?,c<d=a-c>b-d.

(2)〃+c>b=^a>b~c.

⑶a>Z?>0,J>c>0=整.

(4)a>b,4〃>0=D；a>b,

⑸心从〃£N”,心1且〃为奇数=/>〃，仙>也.

b-\~ch

(6)a>/?>0,c>0=>—

a-vca

|微|点|助|解I

(1)性质3(可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它

从一边移到另一边”的依据.

(2)性质4(可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.

(3)性质5(同向可加性)，即''同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”.

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)若£>1，则。>瓦()

(2)〃与〃的差是非负实数，可表示为。一〃>().()

(3)VxER,都有％2"-1.()

(4)a,b,c为实数，在等式中，若a=b,则ac=Z?c；在不等式中，若公*/?,则ac>Z?c.(

(5)a,b,c为实数,若。。2>反2,则()

答案：(1)X(2)X(3)7(4)X(5)V

2.已知a<O<A则下列不等式恒成立的是()

A.a+bvOB.^<1

C5D.弁

答案：B

3.已知X243火c,则下列不等式一定成立的是()

A.2a—c>b~3dB.2ac>3bd

C.2a+c>〃+3dD.2a+3d〉Z>+c

解析：选C由于从2«3d<c,则由不等式的性质得〃+3d<2a+c,故选C.

曲课堂题点研究•迂移卷用融通

题型(一)利用不等式性质判断命题的真假

［例1］对于实数〃，b,c,下列命题中的真命题是()

A.若a>b,则ad>bd

/----------.在微“

B.若a>b>0,则可利用科株值“‘点”

C.若av/?<0,则

D.若a>b,另,则》0,b<0

解析：选D法一・・7220,，。二。时，有"2=仇2,故A为假命题；

11

==-

由a>b>0,有ab>0F4

a<b<00­Q—b>g—

A需故C为假命题;

a<b<0=^-a>-b>0

a>b=>b—a<0,

1111b-a'=RKO.・：a>b,工心。且XO,故D为真命题.

一>7=一一7>0=->0

abababJ

法二特殊值排除法.取c=0,则故A为假命题：取。=2,b=1,则！=；

1,峙耳7=2,有旨,故C为假命题.

I思I维健I模I

利用不等式的性质判断命题真假的注意点

（1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想

当然随意捏造性质.

（2）解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原

则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于睑证计算.

［针对训练］

1.下列命题中的真命题是（）

A.若a>b,则ac>bc

B.则a<b

Vv

C.若标>〃且48>0,则!

D.若a>b>c>d,则a—c>b—d

解析：选B若cWO,则ac>尻,不成立，故A错误；由不等式性质可知，若则有

a<bt故B正确；若苏>好且。。>0,则当7Vo时也能满足已知，此时乎今故C错误；当a

=5,b=2,c=11,d=2时，有a>b,c>d成立，但此时〃一c=5—11=—6,b—d=2—2=0,

由一6<0可知，。一0〃一d不成立，故D错误.

2.（多选）己知x,y,z为实数，则下列结论正确的是（）

A.若xz?〉*2,贝！J

B.若x>.y,则xz2〉/

C.若z<0,则J'

x.v

D.若z>），>x,则

解析：选AC因为z：2。，若xz2〉”?，当”=0时，xz2=yz2=0,不满足条件xz?〉*?,

所以z2>0,故xz2>”2=x>j,故A正确；当z2=0时，若/>>，有位2=*2=0,不满足xz'y/,

故B错误；若第”>0,则由不等式的性质有《W，又z<0,则故C正确；当z=5,y=3,

x=2,则一L=4，一L=<，」一<~®一,不满足」一>」一，故D错误.

z-x3z—y27—xz—yz-xz-y

题型（二）利用不等式的性质证明不等式

［例2］已知c>a>b>0,求证：”一>---

c-ac-b

证明：法一因为0方>0,所以0<c—a〈c一力，

所以(c-a)(c—所以0<;J--(c—a)<:J--(c—b)f

(c—a)(c—b)(c—a)(c—b)

即o<—!―>—^->o,

c-bc~ac~ac-b

又因为a>b>Ot所以』一》上7.

c-ac-b

法二因为〃>〃>(),所以十,.因为c>0,所以余《，所以彳一1<^一1,即，.

因为c>a>b>0,所以c—a>0,c—b>0.所以，一

c-ac-b

：._ab«c-b)一仇c-a)ac-ab-bc+ab«〃一/?)

’—c~ac~b(c~a)(c—b)(c—a)(c—b)(c—a)(c—by

因为所以〃——h>0,t—n>0,c——h>0,所以一~~>—

c-ac-b

［变式拓展］

在本例条件不变的情况下，求证：尸f

(c—ay((?­/?)

证明：法一因为0。>8>0,所以0<c—a<c—〃，

所以()<(c—a)2<(c一切2,所以(c—q)2(c—〃)2>0,

所以7J75-(c—fl)2<;JK(C一人尸，

(c-«)~(c-/?)-(c-6Z)-(C-/7)Z

即()<;~-Jr,所以;一~二^。，又因为所以;~~^77?.

(c-by(c-aY(c—ay(c-by(c~a)~(c—by

_aba(c—b¥—b(c—a)?ac2-2abc+ab?一(be2—2abc+ba2)

’—(c—a)2(°―32―(c—d)2(c—/>)2-(c—afyc—b)2

ac2—bd+aZ??一力序(〃一份(02一〃份

一(c—a^c—b)2~(c-afye—b)2"

因为所以〃一/?>0,c^>ab,c-a>(),c-b>(),所以(〃一»(/—a份>0,

所(以c—a)-广(c—晶b)->0.(所c—«)-以(c—二b)~因此(c~a产)-(c—by

I思I维健I模I

利用不等式的性质证明不等式的注意事项

(I)利用不等式的性质及实数大小关系的基本事实可以证明一些不等式.解决此类问题一

定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件

或跳步推导，更不能随意构造性质与法贝

［针对训练］

3.已知a>h>0,c<d<0,ni<(),求证:

\1

⑴Z—c'h—d'

inm

⑵~a—?b-d"

1I

证明：⑴因为“Ab〉。，—c>—d>0,所以a—c>b—（i>0,所以a—c^b-d'

⑵由⑴得士七,又〃向所以『与

题型（三）利用不等式的性质求取值范围

［例3］己知一1々<4,2<产3.

（I）求x—y的取值范围：

⑵求3x+2y的取值范围.

解：（1）因为一17<4,2<产3,所以一3<一）<—2,所以一4<x一产2.

所以x—y的取值范围是一4<x一产2.

（2）由一1<A<4,2<><3,得一3<3%v12.4<2）<6,所以1<3x+2y<18.

所以3x+2），的取值范围是l<3x+2），<18.

［变式拓展］

1.若将本例条件改为一求x—y的取值范围.

解：因为一l<x<3,

所以一3V—y<1,所以一4<r_3,<4.

又因为x<y,所以X—\<0,

所以x—y的取值范围是一4<x—y<0.

2.若将本例条件改为一1a+><4,2<x—yv3,求3x+2y的取值范围.

_m+〃=3,

解：设3x+2y=〃?（x+y）+〃（x—），），则，

〃?一〃=2,

/〃=1，5I

所以11即%+2）=5。+田+手工—>）,

又因为一1<x4-.y<4,2<¥—_y<3,

5513

所以一］<曰（工+），）<10,1<2（A—y）<2»

所以一|<|（工+刃+/一>）〈茎

393

即一手3x+2）<^".

393

所以3x+2），的取值范围是一齐31+2产片.

I思I维健I模I

利用不等式的性质求取值范围的策略

（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运

算，求得待求的范围.

⑵同向（异向）不等式的两边可以相力口（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中

多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.

［提醒］求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求

其他不等式的范围.

［针对训练1

4.已知K«<4,2<Z?<8,试求2。+3》与a-b的取值范围.

解：V1<«<4,2</?<8,工2<2。<8,6<3〃<24,；・8<2〃+3力<32.

*.*2</?<8,8<————2.

又1<«<4,A1+（-8）<a+（-b）<4+（-2）,

即一7<a—X2.

2a+3b的取值范围是8<2〃+3X32,a-b的取值范围是一7<〃一X2.

［课时跟踪检测］

（满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分）

A级一达标评价

1.与A/?等价的不等式是（）

A.|a|>|Z?|B.a2>b2

33

C.oD.a>b

解析：选D可利用赋值法.令。=1,〃=—2,满足但同<|例，a2<h2,^=—^<1,

故A、B、C都不正确.

2.已知实数则以下不等关系正确的是（）

A.a,->1->d>—aB.«>«-0>-1>—«

，，

C-.-।^>a>cr>-aDn.-1>tr>«>—«

解析：选C*.*0<«<1,0<a2<1,:>1,—l<~a<0,0<a2<a.因此，^>a>a2>—a.

3.已知a+A>0,b<0,那么a,b,—a,-b的大小是()

A.a>b>~b>—aB.a>~h>—a>b

C.a>~b>b>—aD.a>b>—a>—b

解析：冼CTa+b〉。，b<0,ci>—b>O,O>b>—a,/.—h>b>—a.

4.若Ya<3,~4<b<2,则z=〃一⑸的取值范围是()

A.{z|—3<zW3}B.{z|-3<z<5}

C.{z|-3<z<3}D.{z|l<z<4}

解析：选C由题设0W|b|<4,则一4<一|〃|W0,又1々/<3,所以一3<〃一|臼<3.故选C.

5.已知a>〃>c>0,贝ij()

A.2a<b~\~cB.a(b-c)>b(a—c)

C."'--D.(a-c)3>(b—c)3

a—cb-c

解析：选D对于A,因为〃>/?>(>(),所以a+a>/;+a>/;+c,即2“>〃+c,故错误；对

于B,取a=3»=2>c=1>0,则aS-c)=333-c)=4,故错误：对于C,由公力>c>0,得

a-c>b-c>(),所以士出,故错误；对于D,由a>b>c>(),得c>0,所以伍一c)3>(b

—c)3,故正确.

6.能说明“若〃汕，贝码为假命题的一组a,〃的值依次为.

解析：只要保证〃为正〃为负即可满足要求.当a>O>h时，^>0>1.

答案：1,一1（答案不唯一）

7.已知c>0,请用恰当的不等号或等号填空：（a-2）cS—2）c.

解析：因为“vXO,c>0,则。一2〈。一2,

答案：<

已知若一，

8.l<a<3,—4</?<2,z=/a6则z的取值范围是

1133111311

解析：：1<a<3,2<2«<2»又一4<0<2,/.—2<—f)<4.~9<2«"即-

mg3II1

答案：|z-5<z<y[

9.（10分）⑴已知4<板0,求证：

（2）已知.2，&*,求证：ab>0.

、下口日由千。ab-一a-俗+。)(人一。)

证明：(I)由于]一区=工1=—记—，

a<b<(),，〃+“<(),b—a>(),ab>(),

・・・心广<0,吟卷

1II1,h-a

⑵:不石，・9一尸°，即丁<°，布*b，

；・b-a<0,.\ab>0.

10.(10分)已知一4Wa—cW—l,-lW4a-cW5,求9a一。的取值范围.

h-c=x,k=/)=)，

解：令，解得《.

4a-c=y,L/、

k=3(>'-4x).

85

一

一

"一

34WxW—1,，产一手£子①.

85

--

・・・一lWyW5,・・・一§w|yW与②.①十②,3了-3

-IW9a—c<2().

B级——重点培优

11.已知x>>>z,x+j+z=(),则下列不等式一定成立的是()

A.xy>yzB.xz>yz

C.xy>xzD.x|.y|>z|y|

解析：选C因为Q：»z,x+y+z=0,所以3x>/+y+z=(),3z<r+y+z=O,所以A>0,

[x>0,

zv0.所以由j可得xy>xz.

l)>z,

12.有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是4，b,c,d,已知〃+%=c

+d，。+介b+c,a+c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是()

A.d>b>a>cB.b>c>cl>a

C.ct>b>c>aD.c>a>cl>b

解析：选A,.,4+/?=c+d,a+小>Z?+c,••・a+d+(a+Z?)>〃+c+(c+d),即a>c.*.b<d.又

a+c<h,*.a<b.综上可得，cl>b>a>c.

13.(多选)生活经验告诉我们，〃克糖水中有力克糖m>0,b>(),且公协)，若再添加。克

糖(c>0)后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：空趣称之为“糖水不等式”.根据生

活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是()

〃4°，则寝与5的大小关系随的变化而变化

A.若〃>/»(),

加

B.若b>a>0.cb+

心°，则下在7

b+db+c

C.若a>b>0,c>d>0,则

a~\~da+c

D，若b>0,则一定有1+a+/1+a+LT工+市

AT.".b+〃?bm(a—b\b+〃?b,,，一

解析：选BCD.・・》》(),心°，・・・本一厂而清)，，而北，故'错误；..3A。,

h+mhm(a—b)hb+"?%

'心仇,本一Z=^T^v°,..•不右’故B正确；・・'》后0，0g・・・。一八0,i。，

.〃+rb+d(〃+cj(4+c/)—(〃+d)(a+c)(a—b)(c—d).b+d〃+c

(a+c)(a+cl)=(a+c)(q+c/)>0,故C正确;

()<1+。<1+“+〃,()<I+〃<1+a+力,

.Q.、〃hb,a,hah

'•1+a>1+〃+〃'1+『1+“+〃'**14~6/I+〃>1+a+Z?1+〃+/?'故D正确.

14