高考数学试题分类汇编：常用逻辑用语（解析版）

4<02母用逮新用语

考点01判断命题的真假

1.(2024•新课标II卷•高考真题)已知命题p：VxeR,U+l|>l；命题q：玉>0,丁=工，则()

A.〃和夕都是直命题R.r?和〃都是直命题

C.〃和F都是真命题D.力和F都是其命题

【答案】B

【分析】对于两个命题而言，可分别取x=-l、x=l，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.

【详解】对于〃而言，取x=7,则有卜+1|=0<1,故〃是假命题，"是真命题，

对于4而言，取X=l,则有故4是真命题，r是假命题，

综上，r，和夕都是真命题.

故选:B.

2.(2021.全国乙卷.高考真题)已知命题〃HxwR,sinxvl；命题,小21，则下列命题中为真命

题的是()

A.PMB.7入qC.〃八FD.」(pvq)

【答案】A

【分析】由正弦函数的有界性确定命题P的真假性，由指数函数的知识确定命题4的真假性，由此确定正确

选项.

【详解】由于sinOO,所以命题P为真命题；

由于y=e'在R上为增函数，|乂20,所以dQe°=l，所以命题夕为真命题；

所以〃为真命题，鹏人q、〃八f、-i(pvg)为假命题.

故选：A.

3.(2022.上海.高考真题)数列｛4｝对任意〃eN”，且〃22,均存在正整数满足

=2。”一4，4=1,。2=3.

(1)求。4可能值；

(2)命题p：若成等差数列，则为<30,证明〃为真，同时写出〃逆命题小并判断命题q是真是

假，说明理由：

⑶若生m=3"',(m£1<)成立，求数列｛4｝的通项公式.

【答案】(1)7或9；

(2)答案见解析；

1,H=1

“3

⑶二«5x32,〃=2k+l,&eN".

ft

【分析】（1）利用递推公式可得%=5,进而可求出（；

（2）由题意可得q=2〃-l（〃e[L8],〃£N）则%=2%-。<30,从而命题〃为真命题，给出反例即可得

出命题4为假命题；

（3）由题意可得%2=2的川-q.（注2〃?），然后利用数学归纳法证明数列单

调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式.

【详解】（I）因为%=2%-6=5,所以《=2%-％=7或（=26一4=9,所以《可能值为7或9；

（2）因为4，%,…%成等差数列，所以4=2,67„=2«-1（//e[1,8],«GNV）,

所以4=2%-a=30-<30,

逆命题4：若/<30,则知生，…％为等差数列是假命题,举例：4=1,4=3,/=1

q=7吗=9,4=11，%=13,%=2%-=17,0,=2仆一％=21,故命题"为假命题，

（3）因为生”,=3",（，〃£N）所以%,廿2=3'Z,%”+2=26r2“川一卬/<2/〃），

=2a2nt-aj（j<2/w-l）,所以«2„f+2=4%1f-勺-4,

因此勿,+4=4%厂％,“2=4x3"'—3"'J3'”=%”，

以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明。用>凡恒成立：

当〃=1时，/>4明显成立：

假设当/?=k时命题成立，即4>k>ak_2>>%>4，

则%-%=2%a=-4>o,即%”>%,即命题得证；

回到原题，分类讨论求数列的通项公式：

1.若/=2m-l,则a2m=2a.+at=2a2m_x+q>*-4矛盾；

2.若/=2〃一2,则勺=3'i,所以q=3'"—物=3"i,所以i=2m-2,

此时=羽，”-勺=2x3-31=5x3Z,

=1

n-3

所以4”=(5%3',〃=2左+1«€1<,

n

y.n=2k,ke^*

3.若/<2阳—2,则加jV2x3"，所以4=3-2%>3”1,所以/=267,

所以生时2=2%..一生a（由（2）知对任意加成立）,所以％=2%-%，与事实上。6=2%一%矛盾,

1,〃=1

--3

综上=*5x32,〃=2攵+lMeN".

n

3±,〃=2A：MeN

【点睛】1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时步骤

(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤⑵的基础，步骤(2)是递推的依据.

2.在用数学归纳法证明时。，第(1)步验算〃=如的〃〃不一定为1,而是根据题目要求选择合适的起始值.第

(2)步，证明〃=k+l时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.

考点02充分条件和必要条件的判断与探求

4.(2024•全国甲卷・高考真题)设向量a=(x+l㈤/=(x,2),则()

A.“x=-3”是“a1匕”的必要条件B.“x=1+6”是“a〃b”的必要条件

C.“x=0"是的充分条件D.=+是“〃//”的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当a_L〃时，则a$=0,

所以x-(x+l)+2x=0,解得工=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a=(l,0),〃=(0,2),故a力=0，

所以ad.人即充分性成立，故C正确：

对B,当时，贝解得人=1土石，即必要性不成立，故B错误；

对D,当工=-1+右时，不满足2"+l)=f,所以〃/力不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

5.(2021・上海•高考真题)已知函数＞=/*)的定义域为R,下列是/(刈无最大值的充分条件是()

A./*)为偶函数且关于直线x=l对称B.为偶函数且关于点(1/)对称

C./*)为奇函数且关于直线x=l对称D./")为奇函数且关于点(1』)对称

【答案】D

【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对■称性可得/(.E+2)-/(X)=2,据此

可判断D的正误.

【详解】对于A,因为为偶函数，故/(r)=/a),

而f(x)的图像关于直线x=l对称，故/(2r)=/a),故"2T)=/(T),

故f(x)为周期函数目周期为2,

而f(x)在［0,2］必有最大值，故/%)必有最大值，故A错误.

对于B,而/。)的图像关于点(1,1)对称，故〃2-力+/(幻=2,

故f(x—2)+f(x)=2,故/(x+2)+/(x)=2,故"x+2)=/(x—2)

故”可为周期函数且周期为4,

而f(力在［0,4］必有最大值,故f(x)必有最大值,故B错误.

对于C,因为C")为奇函数,故/(-x)=-/(x),

而f(x)的图像关于直线丫=1对称，故f(2T)=f(x),故〃4-2)=一凡0,

所以〃x+4)=/(x)故/("为周期函数且周期为4,

而f(%)在［0,4］必有最大值，故/(%)必有最大值，故C错误.

对干D,因为f(X)为奇函数,故f(T)=_/("),

而f(x)的图像关于点(U)对称,故〃2-"+/3=2,

故f(x)-/(x-2)=2,设X=2〃,/!€N'，

则f(2")=/(0)+2〃，故/(x)无最大值，

故选：D

6.(2024.上海•高考真题)定义一个集合C,集合中的元素是空间内的点集，任取几，AeC,存在不全为

o的实数4，不，4,使得40只+40鸟+406=0.已知(1。0)€。，则(0,0,1)任。的充分条件是()

A.(0,0.0)eQB.(-L0,0)eQ

C.(0,1,0)eQD.(0,0,-l)eQ

【答案】C

【分析】首先分析出三个向量共面，显然当(1,0,0),(0,0,1),(0,LO)eO时，三个向量构成空间的一个基底，

则即可分析出正确答案.

【详解】由题意知这三个向量。儿0，(心共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，

对A,由空间直角坐标系易知((),0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当((),(),0),(l,(),0)eC无法推出

(0,0,1)^0,故A错误;

对B,由空间直角坐标系易知(-1。0),(1,0,。),(。,0,1)三个向量共面，则当(T0,0),(l,0,0)wC无法推出

(0,0,1)^0,故B错误；

对C,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，

则由(1,0,0),(0,1,0)eQ能推出(0,0,1)生Q,

对D,由空间直角坐标系易知(1,0,。),(0,0,1),(0,0,-1)三个向量共面，

则当(0,0,-1)(1,0,0)wC无法推出。0,1)任C,故D错误.

故选：c.

考点03判断命题的充分不必要条件

7.（2025・天津•高考真题）设xeR,则“x=O”是"sin2x=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.

【详解】Ft|x=0=sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=O”的充分条件；

又当x=7r时，sin2x=sin2n=0,可知sin2x=0Rx=0,

故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件,

综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.

故选:A.

8.（2025・北京•高考真题）已知函数的定义域为D,贝上/⑺的值域为R”是“对任意MeR,存在文。c。,

使得|〃飞）|>"”的（）

A.充分不必要条件B.必要大充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.

【详解】若函数/（x）的值域为R.则对任意MtR,一定存在.qe。，使得/（内）=|"|+1,

取则+充分性成立;

取f（x）=23D=R,则对任意MeR,一定存在斗€力，使得f（“）=|M+l,

取/"，则但此时函数/d）的值域为（0，侪），必要性不成立；

所以"/*）的值域为R”是“对任意用cR，存在与w。，使得|/（%）|>M”的充分不必要条件.

故选:A.

9.（2022・天津•高考真题）“工为整数”是“2x+l为整数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由当x为整数时，2工+1必为整数；当2工+1为整数时，“不一定为整数；即可选出答案.

【详解】当“为整数时，21+1必为整数：

当2x+l为整数时，x不一定为整数，

例如当2x+l=2时，x=-.

2

所以“x为整数”是“2x+l为整数”的充分不必要条件.

故选:A.

10.(2022•浙江•高考真题)设xcR,则“sinx=l”是“cosx=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】因为sin?x+cos?x=1可得：

当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；

当cosx=0时，sinx=±l,必要性不成立；

所以当xeR,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.

故选：A.

11.(2021•天津•高考真题)已知aeR,则“a>6”是>36”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.

【详解】由题意，若。>6,则/>36,故充分性成立；

若“2>36.贝或a<-6,推不出〃>6,故必要性不成立：

所以%>6”是“/>36”的充分不必要条件.

故选:A.

12.(2021・北京・高考真题)已知/(幻是定义在上叩］的函数，那么“函数/(x)在上单调递增”是“函数/⑴

在QI］上的最大值为/⑴''的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数1(力在［0』上单调递增，则融力在［0』上的最大值为〃1),

若f(x)在［0』上的最大值为/(1),

比如'

但f(x)=(x—gj在［og］为减函数，在为增函数，

故f（x）在［0』上的最大值为/⑴推不出/（X）在［05上单调递增，

故“函数”X）在［0』上单调递增”是在［。』上的最大值为”1）''的充分不必要条件,

故选:A.

考点04判断命题的必要不充分条件

13.（2024.北京•高考真题）设是向量，则“（。+力｝（。-%）=0"是“a=-〃或a=。”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量数量积分析可知,+〃）•,-2）=0等价于闷=忖，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为+叫=/-尸=。,可得即问=忖，

可知〃）=。等价于同=忖，

若…或a=-b，可得同=可即（〃+》）•（〃-。）=0,可知必要性成立；

若（〃+〃）.（〃一〃）=0,即闷=忖，无法得出a=〃或〃=一），

例如a=（l,O）,〃=（O,l）,满足同=忖，但awb且〃工-力，可知充分性不成立；

综上所述，“（4+8卜（"一"）二°”是“。=-）或的必要不充分条件•

故选：B.

14.（2021•浙江•高考真题）已知非零向量则"a.c=b-c”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分乂不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】

如图所示，0A=4,08=〃,0C=C,M=〃-〃，当AA_LOC时，〃一方与c•垂直，（"一4・；=0,所以12=兀

成立,此时"人

・•・=兀2不是a=b的充分条件，

zr八rrr

当时，6-。=0，，（。-"。”—。，，［［二V］成立，

・.・1>一九［是。的必要条件，

综上，3是>；-方’的必要不充分条件

故选：B.

15.（2023•天津•高考真题）己知的R,是"/+〃=2*的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.

【详解】由贝lja=±/，，当。=一人/0时/+〃=2时不成立，充分性不成立;

由『+/=2他，则（。-。）2=0,即a=b,显然/=〃成立，必要性成立；

所以/=从是/+Z/=2ab的必要不充分条件.

故选：B

16.（2023•全国甲卷•高考真题）设甲:sin2a+sin2/?=l,乙:sina+cosb=0,则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基木关系得解.

【详解】当sin?a+sin2Q=1时，例如a=],/?=。但sina+cos夕工。，

即加%+5而£=1推不出$巾。+8$/7=0；

当sina+cos/?=（）时，sin2a+sin2p=（-cosy^）2+sin2p=I,

即3也。+8S/7=0能推出5巾2。+5出26=1.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

17.（2021•全国甲卷・高考真题）等比数列｛〃“｝的公比为,，前〃项和为S“，设甲:q>0,乙：设“｝是递增

数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当｛，｝是递增数列时，必有%>0成立即可说

明4>。成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

【详解】由题，当数列为-2,-4,-8,时，满足，/>0,

但是｛，｝不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛SJ是递增数列，则必有可>。成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则4>。成

立，所以甲是乙的必要条件.

故选:B.

【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过

程.

考点05判断命题的充要条件

18.(2024・天津•高考真题)已知aSeR,则“/=/,，是"3"=3〃”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.

【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和3"=3”都当且仅当。=。，所以二者互为充要条件.

故选：C.

19.(2022・北京・高考真题)设｛《,｝是公差不为0的无穷等差数列，则”｛q｝为递增数歹广是“存在正整数N。,

当时，。“>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】设等差数列｛q｝的公差为4,则利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义

判断可得出结论.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,则"工0,记［x］为不超过工的最大整数.

若｛〃“｝为单调递增数列，则d>0,

若4N0,则当〃22时，q>4"；若4<。,则-1”,

由见=4+（〃-1”>0可得〃>1一与，取％=I吟+1,则当心乂时，。”>0,

所以，“｛〃”｝是递增数列”=>“存在正整数N。，当〃〉乂时，a“>0”；

若存在正整数N。，当〃〉乂时，alt>0,取keN'且々>乂，ak>0,

假设d<0,令q,=%+（〃-2）d<0可得〃>攵一2,且2—2>上，

da

当〃）k*+1时，为vO,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛qj是递增数歹山

所以，”｛《,｝是递增数列“<="存在正整数N。，当，0时时，%>0”.

所以，”｛。“｝是递增数歹『'是"存在正整数时,当，?>N。时，。”>0”的充分必要条件.

故选：C.

20.（2023・北京・高考真题）若孙注0,贝iJ“x+y=O”是".+1=-2”的（）

xy

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】解法一：由三+*=-2化简得到x+），=0即可判断；解法二：证明充分性可由x+），=0得到”=一），，

yx

代入土+上化简即可，证明必要性可由±+』=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可

yxyx

由二+2通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=。代入即可，证明必要性可由通分后用配凑

yxyx

法得到完全平方公式，再把x+），=0代入，解方程即可.

【详解】解法一：

因为M"。，且£+2=—2,

yx

所以f+）2=_2.ry,即./+），2+2.9=0,即（x+y『=0,所以x+y=0.

所以“x+），=0"是/+』=-2”的充要条件.

yx

解法二：

充分性：因为母HO,且x+y=o,所以工=一九

所以二+2=口+上=-1-1=-2,

*y-y

所以充分性成立;

必要性：因为冲HO,且土+上=-2,

所以/+）,2=_2盯，即炉+产+2炉=0,即（x+y『=o,所以x+y=O.

所以必要性成立.

所以"x+y=O”是，/+2=-2”的充要条件.

yx

解法三：

充分性：因为冷/0,且x+），=0,

所以）।二/+）,2W+y2+2.\y2D（x+yJ—ZAy—2冲二

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因为孙工o,且土+上=-2,

y%

所以y_/+y2