广东省惠州市2025-2026学年高二年级上册12月联考数学试题（解析版）

广东省惠州市2025-2026学年高二上学期

12月联考数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知4=（2,—1,3）,则2〃一匕等于（）

A.（1,-7-1）B.（1-7,7）

C.（7,3,5）D.（7,-3,-5）

【答案】B

【解析】因为〃

所以2。一匕二2（2,-1,3）-（3,5,-1）=（1,-7,7）.

故选：B.

2.抛物线V=4x的焦点到双曲线?的渐近线的距离为（）

1B2c2D6

A・a»亚ix・D・—

5555

【答案】D

2

【解析】因为抛物线），2=4x的焦点（1,0）,又双曲线!-丁二1的渐近线方程为

戈±2），=0,所以焦点到双曲线渐近线的距离为d=-yL==好.

Vl+45

故选：D.

3.若经过A（〃7,2）,8（1,2加一1）两点的直线的倾斜角为45。，则m=（）

4

A.-4B.-2C.-D.2

3

【答案】C

【解析】因为经过虫〃?，2）,3（1,2加一1）两点的直线的倾斜角为45。，

2m—1—94

所以该直线斜率勉=345。，即-------=1,解得〃?=[

\-m3

故选：C.

4.若直线4：21一＞+1=0与直线个"+），2=。（丘对平行，那么这两条直线之间的

距离为（）

313石Js

A.-B.-C.少■D.E

5555

【答案】D

【解析】有已知宜线4：21），+1=。与直线，2：丘+y—2=0（A£R）平行，

则2x1—（-1）•&=0,即攵=一2,

此时直线4：2戈一y+l=0与直线4：―2x+），-2=0,即/?：2x-），+2=0满足平行,

则两直线间距离八—=

汇+㈠-5

故选：D.

5.已知圆。：*-3）2+（），-2产=1,直线/过点（1,3）且倾斜角为a,则“直线/与圆。相

切”是“。二0”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当直线/没有斜率时，a=90，与圆不相切.

当直线/有斜率时，设直线方程为y-3=&*-1）,.♦.6-y-&+3=0,

|3%—2—2+3||2女+1|4

由题得=1,「.2=0或者％=__.

\lk2+\\lk2+\3

4

所以a=（）或者tancr=--.

所以''直线/与圆C相切”成立，则“a=0”不一定成立；“a=0”成立，则“直线/与圆C相

切”成立.

所以“直线/与圆C相切”是“a=0”的必要不充分条件.

故选：B.

6.下列说法正确的是（）

A.若a〃vO,则Cd,>>是钝角;

B.直线/的方向向量〃=（0,1,—1）,平面。的法向量〃二（1,一1,一1）,则/JLa

C.直线/经过点A（2,3,l）,3（0,1,0）,则P佶,3,21到/的距离为正

D.若｛a/,c｝是空间的一组基底，则｛a+Z?,〃+c,c+q｝也是空间的一组基底

【答案】D

【解析】对于A,若〃为＜0,则＜优。＞是钝角或平角，故A错误；

对于B,因为直线/的方向向量G=(OJ-1),平面二的法向量

()I-1

则一工」7工一，故。与〃不共线，即/_La不成立，故B错误；

对于C,因为4(2,3,1),B(O,1»O),呜，3,2),

则回(-2,-2,-1),”=0,11,.....”=()，

I2/

故P(|,3,2卜”的距离为网=3+。2+/=当•故C错误；

对于D,假设a+/?,〃+c,c+a三个向量共面，则a+力=xR+c)+y(c+。)，

所以4+/?=ya+xZ?+(x+)，)c,又｛&/?,[｝是空间的一组基底，

y=l

所以r=l,无解，即。+6/+。,。十。不共面，

x+y=0

所以｛a+A1+c,c+a｝也是空间的一组基底,故D正确;

故选：D.

22

7.6、鸟是椭圆C：*~+5=1(。〉人〉0)的两个焦点，P为椭圆。上一点，且

尸£J.P&.若.尸月鸟的面积为16,则。=()

A.2B.3C.4D.8

【答案】C

【解析】・・・防_1/^,・刊转的面积为16,・,・g|P611P用=16,

阀f+|图2=|片用2=4也又冏|+匹卜2々，

则(归国+|P周)2=归4广+|尸国2+2归/讣|尸国=＞4/=4C2+64,即有

b1=a1—c1=—=16,Z?=4.

4

故选：C.

8.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近

似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半

圆所在的圆过椭圆的右焦点尸（3,0）,半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线），二:及

与半圆交于点A，与半椭圆交于点8,则AAB/的面积是（）

•B.\（国1）

2

C.V2+1D.亚+1）

【答案】B

【解析】由题意知，半圆的方程为f+＞，2=9（X＜0）,

设半椭圆的方程为W+£=1（。＞方＞0,x20），

a~b~

则〃=c=3,所以/=6+/=18，

2,＞

故半椭圆的方程为三+二=1（x20）,

18917

（3,2、2q

设AX,,-V2,则52+±1=9,所以％=-己应，

I2J12J2

设小天，羡&］，则尤II痣），所以乂=3,

V2；—+------=1

189

故卜同=3+5五，%胪=?4同弓拒=去拒+1）.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.己知圆O:V+）?=4和圆M:丁+货+4x-2y+4=0,下列说法正确的是（）

A,两圆的公共弦所在的直线方程为y=2x+2

B.圆。上有2个点到直线x+y+2=0的距离为拉

C.两圆有两条公切线

D.点E在圆。上，点尸在圆M上，怛目的最大值为石+3

【答案】BCD

【解析】对于C,因为圆。：/+丁2=4,所以圆心0(0,0),半径为R=2，

因为圆+)?+4工-2)，+4=0,可化为(x+21+(y—l)2=1,

所以圆心M(-2,1),半径为〃=1，

则2-1〈|。陷=石＜2+1,所以两圆相交，

则两圆有两条公切线，故C正确；

对于A,两圆作差得4x—2y+4=T,即)，=2x+4,

所以公共弦所在的直线方程为)，=2x+4,故A错误；

对于B,圆心。(0,0)到直线/+)，+2=0的距离为d=［各=V2,

则夫-4=2-&＜也，

所以圆。上有2个点到直线x+y+2=。的距离为夜，故B正确；

对于D,|EF|max=|OM|+2+l=x/5+3,故D正确.

故选：BCD.

10.如图所示，在校长为1的正方体A8C7)—A4Gn中，。为8。的中点，直线AC交

平面于点M，则下列结论正确的是(

A.AC_LCQB.AC_L平面

C.直线4a与平面ABGR所成的角为gD.用到平面。出。的距离为年

6

【答案】ABC

【解析】如图，建立空间直角坐标系，4(i,o,i),c(o,i,o),q£)(o,o,o),

CMJUi.

Ac=(i,i,i),C)D=(O,i,i),Ace;。：。，即ACJ-G。，故A正确;

D5=(1J,O),4己。3=-1+1=0,则4CJ.O3,且。3。6。=。，DB'Du平

面GBD,所以AC，平面G8D,故B正确；

A(i,o,o),q(0,1,1),〃(0,0,1),80,1,0),4(1，0,1)，

AB=(0,1,0),ADt=(—1,0,1),AG=(-1,1,0)

设平面ABG。的法向量为，〃=(x,y,z),

AB-m=y=0

♦,令x=1,则z=1，

AD】'in--x+z=0

所以平面A8CQ的法向量为〃?=(1,0,1),

设直线4G与平面A3GR的夹角为。，

则sin8=cos(AC],〃»=—7="!-7==2,所以。二四，故C正确；

'/V2xV226

由B选项可知，AC_L平面GBD,AC=(T，LT)

所以平面。出。的法向量为AC=(-

4(1,1,1),8(1,1,0),肥=(0,0,-1),

点B,到平面CtBD的距离d=|q^-|=9=与，故D错误.

故选：ABC.

11.下列说法正确是()

A.直线xcos0+"y+2=O的倾斜角的范围是。苗U也")

B.方程](元+4)2+)，2一，(元一4『+)，2=6表示的曲线是双曲线的右支

C.已知向量4=(9,4,-4),〃=(1,2,2),则々在b方向上的投影向量为(1,一2,2)

D.直线(3+ni)x+4y—3+3/〃=0(〃z£R)恒过定点(一3,-3)

【答案】AB

【解析】对于A,直线的斜率A=—[-COS，€一号，方-，

，直线的倾斜角的范围是「ojlu]等，兀),故A正确；

L6」L6；

对于B：设尸(x,y),4-4,0),8(4,0),则方程等价为|口4|一|即=6v|AB|=8,

则根据双曲线的定义可知，P的轨迹是以A、8为焦点的双曲线的右支，故B正确；

abb9+4.2+(-4).2(1,2,2)/…、

对于C〃在〃方向上的投影向量为丁丁•仁二八),.卜=(1，22),

|/?|\bVI-+2-+2-Vr+2-+2-

故C不正确；

对于D,直线方程整理为：〃z(x+3)+(3x+4y-3)=0,

x+3=0[x=-3

由'/cC，解得C，故该直线恒过定点(—3,3)，故D错误；

3x+4y-3=0[y=3

故选：AB.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分.

12.双曲线2-一二二1的离心率为.

24

【答案】73

【解析】由双曲线标准方程知。2=212=412=/+/=6,则e=£=^二百.

aV2

故答案为：百.

13.当点P在圆f+),2=1上运动时，连接点尸与定点。(3,0),则线段PQ的中点M的轨

迹方程为.

【答案】HF/=4

【解析】设点因M是线段P。的中点，则点打2天一3,2)，)，

可得(2x—3)2+(2)，)2=1,

(3

所以点M的轨迹方程为X--+丁=；

I2

01

故答案为:+工

14.平行六面体A8CD-AAGR的底面ABCD是边长为2的正方形，且

NAA。=N4A8=60°,偿=3,M为4G,BR的交点，则线段BM的长为

【答案】E

【解析】由题意可知：

8M=阴+g4A=g+g(AA-4片)=M+gAD-gAB,

•2，-1I.211.21

则BM-=AA.+-AD-一AB=AA~+-AD+-AB~-AA.■AD-AA,■AB一一AB-AD

I122)144112

=9+l+l+3x2xl-3x2x-!--0=ll,

22

所以WM=JTT.

故答案为：JFT

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知4(—2,0,2),5(-1,1,2),C(—3,0,4),〃b=AC.

(1)求COS〈4,Z?〉;

(2)若版+。与h-2卜互相垂直，求实数上的值；

(3)若卜|=3,c〃BC，求c的坐标.

解：(1)因为4一2,0,2),〃(—1,1,2),]=A8，八AC，

所以[=(1,1,0),/?=(-1,0,2),

../.ci-b_1>/10

则"〃〉=师厂万kF

(2)因为。=(1,1,0),Z?=(-l,0,2),

所以如+〃=(k—l,Z,2),ka—2b=(k+2,k,-4).

又版+/?与版-2〃垂直，

所以（而+〃）•（总一力）=（左一1）（2+2）+22-8=（）,

解得％=或攵=2.

2

（3）由题可知，BC=（-2,-l,2）,

由c〃BC，知存在实数阳，使得c=〃?BC，即C=（-2",T“2〃Z）.

因为同=3,所以（_2〃）+（—〃?『+（2m『=32,解得加=±1,

所以己=（一2,-1,2）或6=（2,1,—2）.

16.已知圆C的圆心在工地上，且经过A（3,0）,B（l,2）两点.

（1）求圆C的方程；

（2）过点P（0,2）的直线/与圆C相交于M,N两点，且|MN|二2百，求直线/的方程.

解:（I）因为圆C的圆心在x轴上，所以设圆。的方程为（x-a『+y2=，（—>0）,

因为圆。经过A（3,0）,B（l,2）两点，

）（3-+02=r2ftz=l

所以八\..，解得；一

f（l-6/）2+22=r2P=2

所以圆C的方程为（x—I）：+）3=4.

（2）由（X-1）2+），2=4,可得圆心C（l,0）,半径为厂=2，

因为直线/与圆C相交于两点，且|MN|二26，

所以圆心C到直线/的距离为〃=-膏瞿=1.

当直线/的斜率不存在时，直线/为x=0,满足题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=履+2,即京一y+2=0,

|攵+2|3

则『^=1,解得％=-二，

Jl+二4

3

所以直线/的方程为），=—二1+2,即3x+4y-8=0,

4

综上直线/的方程为x=0或3x+4y-8=0.

22

17.已知椭圆C：三+看=1（。>/2>0）的离心率为方，焦距为2.

（1）求椭圆的标准方程;

9

（2）若直线/：丁=「¥十〃?（利£1^）与椭圆。相交于48两点，且的八/OBUQ.求弦长

8

|的.

221

解：（1）•.,椭圆。：、■+表■=1（。＞匕＞。）的离心率为J，故—二2，

又焦距为2,故2c=2,即有c=l,<7=2,则匕=Jd-c，=6,

・•・椭圆。的方程为工+工=1.

43

77

工+上=1

（2）联立J43»消去y整理得lx1-8/nr+4m2-12=0»

y=-x+m

由』二（一8〃2『-4x7（4加2-12）＞0,则nr＜7，

设4（X，yJ,8w,%），则玉+々=与，=4小；12

23疗]2

故yy?=（一X]+〃7）（一工2+〃?）=%入2_〃2（内+工2）+m

7

nl..y》3帆2一]29

则kOA'k°B=/21■=Q，

x,x24/H-128

化简得加2=1，即，7?=±1,满足"/<7，

2

故MM=J1+（-.7（^+^）-4X,X2=y

18.如图1,正三角形48c的边长为4,CO是A8边上的高，瓦尸分别是4C和8c边的

中点，现将VA8C沿CD翻折成直二面角A—OC—如图2.

（1）试判断直线A8与平面尸的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角E-OF-C的余弦值；

BP

（3）在线段3C上是否存在一点/）,使APLDE?如果存在，求出一的值；如果不存

BC

在，请说明理由.

解：（1）在VA8C中，

•••瓦尸分别是AC,8C中点,

・・・七/3/43.又43二平面£）£尸，

EFu平面DEF，

••・AB//平面DEF.

（2）因为二面角A—DC—8为直二面角，即平面AOC_L平面8。。，

且AO_LOC,平面AOC〕平面3。。=。。，

所以AD_L平面3OC.

如图，以点。为坐标原点，以直线。仇。COA分别为x轴、丁轴、z轴，建立空间直角坐

标系，则A（0,0,2）,*2,0,0）,C（0,2x/3,0）,£（0,73,1）,F（l,V3,0）,

所以O/二（1,6,0）,DE=（0,瓜1）,DA=（0,0,2）.

易知平面CDF的法向量DA=（0,0,2）.

设平面DEF的法向量n=（x,y,z）,

DF-/I=0,\x+\fiy=0

则〈即《「，

DE•〃=0,[j3y+z=0

取x=3,则〃=（3,-6,3）,

DAn_y/2\

所以cos(D4,〃

3AM二〒

所以二面角石一。口一。的余弦值为亘.

7

(3)存在.设P(s/O),有AP=(s",-2),则AP.DE=6-2=(),

••I----.

3

又3P=(s-2,f,0),PC=(-5,2\/3-r,0),BP//PC/.(i'-2)(2x/3-rj=-67,

:,瓜+t=20

把，=毡代入上式得s=g,

33

BP_\

:.BP《BC,在线段BC上存在点儿使APJ_OE，此时,

~BC~3'

19.二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线,举例

如下：二次函数y=f+i的图象可以由）,二/的图象沿向量〃=（0,］）平移得到；抛物线

），=/,即/=的焦点坐标为（0。），准线方程为；故二次函数）,=/+1的焦

\4J4

点坐标为（0,2〕，准线方程为y=±.

I4J4

（1）求二次函数y=」/-x+l的焦点坐标和准线方程；

4

（2）求二次函数y=cvr+bx+c（a*0）的焦点坐标和准线方程；

（3）设过A（4,l）的直线与抛物线），-x+i的另一个交点为4,直线48与直线

尸=人一4交于点〃，过点〃作x轴的垂线交抛物线），=一--x+1于点N.是否存在定点

4

G,使得用N,G三点共线？若存在，请求出定点G的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）二次函数），='/—%+1=_1（/2一4冗+4）=,*-2）2,

444

它的图象可以由抛物线y=；f沿向量〃?=（2,0）平移得到；

抛物线），=,工2即/=4y焦点坐标为（0,1）,准线方程为了二-1;

4

所以二次函数y=—x+i的焦点坐标为尸（2,1）,准线方程为），二-1.

4

"、一、人力将2,（b丫4ac-b2

I2a/4。

"_b_4ac-b2>

它的图象可以由抛物线），=ar2沿向量〃=平移得到;

,2/4〃,