广东省广州市黄埔区2025-2026学年高一年级上册期中教学质量监测数学试题（解析版）

广东省广州市黄埔区2025-2026学年高一上学期期中

教学质量监测数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={1[0<工<3},B={x|l<x<4},则AIB=()

A.(0,1]B.(0,4]C.[3,4)D.[1,3)

【答案】D

【解析】因为集合4=.0<%<3},B={x|l<x<4},

所以AIB={X|1<X<3}=[1,3).

故选：D.

2.下列各图中，不能表示y是x的函数的是()

二二

c.hDX

【答案】B

【解析】由函数的定义知，每一个工的取值，有且仅有一个y值与之对应，

由选项A,c和D的图象可知，每一个X的取值，有且仅有一个y值与之对应，

所以选项A,C和D错误，

由选项B的图象知，存在x的取值，一个x的取值，有两个值与之对应，

所以不能表示y是x的函数，

故选：B.

3.已知不等式o?+法+c>0的解集为(一3,2),则不等式仁/+法+4>0的解集为

()

A.(—2,3)B.(―-2)U(3,-KO)

【答案】C

【解析】因为不等式火2+/沈+0>0的解集为（-3,2）,

所以一3和2是方程以？+/以+6=0的两个根，且。<0,

-3+2=--

所以<",可得人=。,。=-6。，

CAC

-3x2=—

a

则不等式ex2+bx+a>^）等价于-box'+ov+〃>0,

tW6x2—x—1>0»解得工<一；或工>二,

32

故不等式c£+法+。>0的解集为18,-g）u；，+8.

故选：C.

4.已知：->-（6/,Z?GR,且4〃/0）,下列不等关系一定成立的是（）

ab

A.a>bB.时<网

C.a-\-b>abD.ab1>a2b

【答案】D

【解析】对于A,可取。=-2/二-1,满足]■>[,但得不到〃>力，故A错误；

ab

对于B,可取4=12=-1,满足但不满足时<例，故B错误：

对于C,可取〃=-2/=-1,满足_1>!，但。+〃=一3<。6=2,故C错误；

ab

对于D,因-->0<=>ab（b-tz）>0,而。/一〃%=o仅Z?-〃），

abab

故必有ab1>crb成立，即D正确.

故选；D.

5.已知函数/（£）的定义域为A,命题〃：/（“为奇函数，命题夕：/（0）=0,那么P是“

的（）

A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

【答案】C

【解析】P：〃x）为奇函数厕/（0）=。，但//'（0）=0,无法得函数/（X）为奇函数，

例如=满足/(0)=。，但是为偶函数.

所以〃是4的充分不必要条件.

故选：C.

-x2+2ax+4,X<\

是一;，十0°

6.已知函数/(%)=,上的减函数，则。的取值范围是

一，x>14

X

()

A.B.

C.D.(一。/]

一6

【答案】A

【解析】当X>1时，/(8)=一在(1,+8)上单调递减;

X

当xWl时，/(%)=—工2+2依+4,

-x2+2ax+4,x<1

1_

要使得函数〃x)=是一不，+8上的减函数,

一,x>1

x

2(-9-21

需满足〈,解得一1<a<——

2

-(-l)'+2tz+4>j

则。的取值范围是-1,一;

故选:A.

7.已知〃?〉0,冲>0,当x+y=2时，不等式‘+,之2恒成立，则成的取值范围是

)

A.y/l<m<2B.m>\

C.0<m<\D.1<m<2

【答案】B

【解析】因为相>0，xy>0,x+y=2,

l…机11(m1Y、I(,myx、

所以一+—=二—+-(x+y)=-/n+l+—+-

xy2(xy)2(xy)

>1W+1+2H.£

21\Xy

x+y=2

2\[m_2

当且仅当,,即x时取等号,

\[m+1\/m+1

1

tnI

乂因为不等式一十—22,亘成立，

所以，（m+l+2j^）22,即+2>[m-3>0>解得即〃zNl,

故选：B.

8.对于非空正数集4=怙,。2M3,…，4"}（〃£可,〃之2）,其所有元素的几何平均数记为

6（4）,即G（A）=yq%...a〃,若非空正数集8满足下列两个条件：（1）BqA；（2）

G（B）=G（A）.则称5为A的一个“稳定子集”.根据以上信息，集合{1,2,4,8,16}的“稳

定子集”有（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

【答案】B

【解析】因为A={1,2,4,8,16},贝[G（A）=%x2x4x8xl6=4,

又因为由题意可知：集合3至少有2个元素，

若集合6有2个元素，则集合6可以为{1」6},{2,8},共2个；

若集合8有3个元素，则集合8可以为{1,4/6},{2,4闾，共2个；

若集合B有4个元素，则集合B可以为{1,2,8』6},共1个；

若集合B有5个元素，则集合8可以为{1,2,4,8,16},共1个；

综上所述：集合{1,2,4,8,16}的“稳定子集”有2+2+1+1=6个.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.以下满足{0,2,4}q40{0,1,2,3,4}的集合A有（）

A.{0,2,4}B.{0,1,3,4）

C.{0,1,2,4}D.{0,123,4}

【答案】AC

【解析】由题意可知,集合A包含集合{0,2,4集同时又是集合{0,1,2,3,4}的真子集,

则所有符合条件的集合A为{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.

选项BD均不符合要求，徘除.

故选：AC.

32

10.已知正数。，〃满足一+—=1,则下列结论中正确的是().

ab

A.ab>24B.ai^>5i2瓜

2

C.。一7的最小值为26—1D.b与a—2可以相等

b

【答案】ABD

32(32

【解析】由题设±+±二122/±当且仅当〃=6力=4时等号成立，A对;

ab\cib

.,...z32._3b2cic_13b2〃__/r

由a+/?=(。+Z>)(—i—)=5H----1---25+2J—•—=5+2>/6,

abab\ab

当且仅当迎二%,即。=3+遥/=2+遥时取等号，B对;

ab

23?3

由题设一二1一一>0,则。>3,而。―±二。+二—12-l=2A/3-l，

baba

当且仅当Q=6取等号，显然等号不成立，C错;

32

若。=。-2>0,即。>2,则一+——=1,整理得"―7a+6=0,

aa-2

所以。=6,满足题设，D对.

故选：ABD.

1,XEQ

11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数/(幻=

0,XG^Q

被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则以下关于狄利克雷函数/("的

结论中，正确的是()

A.函数〃X)满足:/(-x)=/(x)

B.函数/(x)的值域是[0,1]

C.对于任意的XER,都有/(/(X))=1

D.在/(x)图象上不存在不同的三个点A、B、C,使得VA3C为等边三角形

【答案】AC

1”Q

【解析】由于/*)=〈

O,XG^Q

对于选项A,设任意xwQ,则T£QJ(-X)=1=/(X)；

设任意XWaQ，则一XW4Q,/(—x)=O=/(x)，

总之，对于任意实数XJ(T)=〃X)恒成立，所以选项A正确，

对丁选项B,/(*)的值域为｛0,1｝,又｛0,1｝利0』，所以选项B错误,

对于选项C,当xwQ,则/(x)=lj(〃x))=〃l)=l,

当则/a)=0j(/(x))=〃0)=l,所以选项C正确,

此时|=|AC|=忸。|=乎,

对于选项D,取4(0,1),

得到VA8C为等边三角形，所以选项D错误,

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数〃力=+(x+D”的定义域为

\J\-2x

【答案】(一8，-l)U-L-

2

【解析】因为“工)二加_2]+(*+1汽

fl-2x>01

所以函数的定义域满足：।八，解得：x〈一旦工工一1

x+lwO2

(1\

所以函数的定义域为：(YO,-l)U-1,-.

\乙)

故答案为：(-8,-l)U(-l,g

13.已知命题P：VxsR,都有V+av+azo是真命题，则实数〃的取值范围是

【答案】[0,4]

【解析】因为命题P：VXGR,都有f+ov+azo是真命题,

所以△4()，即/一4440,解得04。44,

所以实数。的取值范围为[0,4].

故答案为：[0,4].

14.若不等式一f+产一26+120对任意X£[T,1]及。1，”恒成立，则实数/的取值

范围是.

【答案】(F,-2]U{0}U[2,+QO)

【解析】由题意得/一2〃+12/对任意x£[一|,i]及[£[_]/]恒成立，

所以，_2G+1N1对任意aw[-1,1]恒成立,即「一2勿20对〃£[-1,1]恒成立，

令g(a)=t12-2at=-2心+产，则g(a)是关于。的一次函数，

加⑴20[?-2/>0

所以只需<\八，即〈7,解得或，4—2或，=0,

1^(-1)>0[r+2r>0

所以实数7的取值范围是(-8,-2]U{0}U[2,+8).

故答案为：(-8,-2]U{0}U[2,+8).

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(X)=“'+〃(。〉0,且々¥1).

(1)若函数的图象过点(。，2),求〃的值；

2

(2)若函数/(x)在区间[2,3]上的最大值比最小值大求。的值.

2

解：(I)f(0)=a°+〃=l+b=2,解得〃=1.

(2)当0<〃<1时，/(工)在区间[2,3]上单调递减，此时/(力心="2)="+〃，

21

/(x)min=/0=/+匕，所以。2+1-1/+1)=5，解得：〃二耳或0(舍去)；

当〃>1时，/0)在区间[2,3]上单调递增，此时/(耳1向=〃2)=/+〃，

2a

/(Hmax=/(3)="+6，所以/+1-卜/+1)=]，解得：或0(舍去).

13

综上：u=一或一.

22

16.培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N.已知向水中每投放1个单位的物

质N,贝|J/(ZG[0,24])小时后，水中含有物质N的浓度增加)，mol/L,1y与/的函数关系

16

4,0<r<12,

7+4

可近似地表示为)，=〈根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于

6-；,12<Y24.

2moi/L时，物质N才能有效发挥作用.

(1)若在水中首次投放1个单位的物质M计算物质可能持续有效发挥作用的时长；

(2)若，=0时在水中首次投放1个单位的物质N,f=16时再投放1个单位的物质N,试

判断当，£[16,24]时•，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3moi/L,并说明理由.

解：(1)当0W/W12时，由题得4一上-22,解之得4WY12；

r+4

当12V/W24时，由题得6-!之2,解之得12Kdi6；

4

所以4W/W16.

所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时.

(2)当/w[16,24]时，水中含有物质N的浓度为.vmol/L,

则尸6-%(4--)=107*提用07r—12+1216

)

4r-12

r-1216

=7-()<7半*.

4r-12

当且仅当7=20时等号成立.

所以当/w[16,24]时，水中含有物质N的浓度的最大值为3moi/L.

所以当，£[16,24]时、水中含有物质N的浓度始终不超过3moI/L.

17.已知y=/(x)在(0,+8)上有意义,单调递增且满足/(2)=lJ3)=〃x)+〃y).

(1)求证：/(寸)=2/(工)；

(2)求不等式的/(X)+/(E+3)W2的解集.

解：⑴因为/(Ay)=〃x)+〃y),令.=%,得到/(f)=/(x)+/(x)=2/(x),

所以/(f)=2/3.

(2)Q/(X)4-/(A+3)=/(X(X+3))<2=2/(2)=/(4),

又函数/(x)在区间(0,+2)上单调递增，

x>0

所以•x+3>0,解得0<xWl,

x(x+3)<4

所以不等式的f(x)+/(%+3)W2的解集为{xIOvxWl}.

18.回答下列问题:

(1)已知不等式+4工人的解集是求〃，力的值;

(2)对于二次函数y=-f-3工+4,当时，丁的最小值是。，最大值是

4

b(a^b),求a,〃的值.

33

解：⑴令小)二君3+4三(一)2+1,作出函数/⑴的图象，如图:

3

因为/(X)min=1•〃<4》2-3工+44〃的解集是{耳4二X《〃}(40/?).

3

若。>1,则不等式。4一/-3%+40〃的解集是两段区域，不合题意,

4

3

若。“由/⑴.印可知此时〃用/一3»4恒成立'

又因为不等式a<^x2-3x+4<b的解集为k|a<x<b}(a^b),

所以〃力是方程%一…5即312N6-*。的两根,

力/一士8

=4a=—

3a=0

则，解得，或4(舍去),

,16-4/7。二4「=i

cib=-------b

33

综上，。=0,2=4.

33

(2)令丁=f(x)=—x'-3x+4=—(x-2)7+1,

44

因为当aMxW〃时，)'的最小值是。，最大值是人(。。人),

3

a=f(b)=-b2-3b+4

4

若在［。,句上单调递减，则有〈

3

h=f(a)=—a2-3r/+4

4

两式相减，得。-6二［出一。2)-3(8一〃)，由于

Q8344

整理得〃二一一a,则一一a=-a2-3a+4,解得。二一，则〃二一，不符合题意；

33433

3,

f(a)=—a~-3〃+4=。

若/(幻在上单调递增，则;，且。之2,

f(b)=2-3b+4=b

「4

4.

又a〈b,解得。=一,。=4