河北省五校联合教研体2025-2026学年高二年级上册期中考试数学试卷（解析版）

河北省五校联合教研体2025-2026学年

高二上学期期中考试数学试卷

一、选择题(本题共2()小题，每小题3分，共60分.)

1.“々+〃>4”是“。>2且/?>2”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当。=1/=4,此时满足。+>4,但。>2且〃〉2不成立，所以充分性不成

立；

反之：若。>2且〃〉2,可得。+〃>4成立，所以必要性成立，

所以“a+b>4”是“。>2且/?>2"必要不充分条件.

故选：B.

2.设〃力ER,则〃”是“同()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为同Na,由。"，根据传递性可知

因此%能推出"同>»',因此充分性成立；

不妨取。=-2/=1,满足时>人，但。不成立，因此必要性不成立；

所以是“同〉〃”的充分不必要条件.

故选:A.

3.化简：QA+OC+8O+CO=<)

A.BAB.ABC.ACD-CA

【答案】A

【解析】OA+OC+8O+CO=CO+OC+8O+OA=0+3A=ZM・

故选:A.

4.下列命题中正确的是()

A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量

C.若向量人同向，且则D.单位向量的模都相等

【答案】D

【解析】对于A：模为0的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；

对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不•定是相等向量，故B错误：

对于C：向量不可以比较大小，故C错误；

对于D：单位向量模为1，都相等，故D正确.

故选：D.

5.已知VABC中，点。，E满足8。=。。，AE=2EC>设=DE=b，则

AB=<）

A.a-3bB.-a+3b

C.5a-3bD.-5a+3b

【答案】A

【解析】AB=AE+ED+DB=-BD-DE+2EC=-a-b+2ED+2DC

=-a-b-2DE-}-2BD=-a-b-2b+2a=a-3b-

故选：A.

6.与向量A8=（3,4）向向的单位向量为（）

【答案】B

【解析】因为=彳=5,所以与向量A8=（3,4）同向的单位向量为

AB_（3士、

故选：B.

7.已知平行四边形A8CQ满足4（1,—2）,8（3,0）,C（4,3）,则点£>的坐标为（）

A.（2,1）B.（1,4）C.（3,2）D.（5,1）

【答案】A

【解析】设点O的坐标为（x,y）,

因为A8=（3—1,0—（—2））=（2,2）,DC=（4-x,3-v）.

因为43co是平行四边形，所以A3=OC，

4—尸x=2解得|，二:，所以点O的坐标为（2,1）.

即《13-2'

故选：A.

AB=(3,-2),AD=(jr,6),则工=()

A.-9B.-4C.4D.9

【答案】C

【解析】在长方形44c0中，由AB_LA/）可知

所以A5・AO=3x+6x(-2)=312=0,解得x=4.

故选：C.

9.已知向量。4=（2,1）,。区=（3,4）,贝I」.等于（）

A.(1,3)B.(-1,-3)

C.（5,5）D.(-5,-5)

【答案】A

【解析】由题意AB=O8-O4=(3,4)-(2,1)=(1,3).

故选：A.

10.己知a=（l」）,〃=（2』），c=（3,;c）,若（3a—。）/",贝।卜等于（)

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】因为a=（l』）,〃=（2,l）,c=（3,x）,所以3。一〃二（1,2〉

又因为（3%一人）/",所以67=0,解得x=6.

故选：A.

11.己知=5,b=7,则。+〃的最小值与最大值分别为（）

A.一2，12B.2,12C.2,14D.10,14

【答案】B

【解析】因为14=5,W=7,

所以Q+〃卜\ja2+b~+2ab=J25+49+2X5X7Xcosa,b=，4+70cosa,〃,

因为（。6«0,可,则cos（a,g）1,1],所以2W〃+Z?W12,

则卜+q的最小值与最大值分别为2,12.

故选：B.

12.已知a和力的夹角为15CT,且忖=2炳=6,则,+»）/=（）

A.-9B.-3C.3D.9

【答案】C

【解析】+为=〃力+2网2

---2

=a-b-cosl50°+2b

=2.G1周+2.（可=3.

故诜：C.

13.已知向量d=（2,—1）,〃=（4,2）,若则卜一同的值为（）

A.10B.3亚C.372D.Jj。

【答案】D

【解析】由〃_1人，可得2x—2=0,解得x=l,

「./?=（1,2）,.,.〃一/?=（1,一3）,则a—b=J.+（-3）~=VT5.

故选：D.

14.已知6和F?是椭圆会+女=1的两个焦点，过焦点匕的直线交椭圆于M,N两点，

则三角形的周长为（）

A.16B.6C.5D.11

【答案】A

【解析】由椭圆方程三十上=1可知,

1625

a=5,b=4,c2=a2-b2=9,c=3,所以忻闾=2c=6.

因点M在椭圆上，所以由椭圆定义可知制+|M闾=2〃=10,

所以三角形M耳鸟的周长为四用+|M周+忻段=10+6=16.

故选：A.

22

15.点（3,0）到双曲线1-汇=1的一条渐近线的距离为（

)

984

A.-B.-D.一

555

【答案】A

22

【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：—-^-=0即3五±4y=0,

169

9+0=9

结合对称性，不妨考虑点（3,0）到直线3x+4y=0的距离：d

J9+16-十

故选：A.

16-与双曲线14甘有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（）

2B.^4-21=1

A.—+y2=1

254

c/•>.

C.——+y-=1D.—+^-=1

10'134

【答案】c

幺V2

【解析】设椭圆方程为tr+上=1，

Jb2

双曲线:一!=1的焦点坐标为（3,0）,（—3,0）,

又短轴长为2,故乃=2,解得：h=\,

则/=9+1=10,故椭圆方程为三+V=].

10“

故选：C.

17.设点尸是椭圆5+?=1（。＞2）上的一点，耳居是椭圆的两个焦点，若旧周=46,

则|「用+|尸段=（）

A.4B.8C.4V2D.4币

【答案】B

22

18.双曲线C:2二-三二1上的点尸到上焦点的距离为12,则尸到下焦点的距离为（）

2539

A.22B.2C.2或22D.24

【答案】A

【解析】设C的上、下焦点分别为片，尸2，则|p制=12.

因为"=25,从=39,所以。=5,c=+b2=125+39=8,则I耳用1=2c=16,

由双曲线的定义可知,||P用—|P6||=2。=10,即|12-|尸乙||二10,

解得I%1=2或|P玛|=22,

当|”|=2时,|PEI+|P用|=12+2=14<|£亮|=16,不符合题意;

当|产名|=22时，|P用+|P鸟1=12+22=34>|丹乙|=16,符合题意.

综上所述：IP51=22.

故选:A.

2222

19.曲线工+±二1与曲线——+工=1（9<女<25）有共同的（）

25925-k9—k

A.长轴长B.短釉长C.离心率D.焦距

【答案】D

22

【解析】二+汇=1中：

259

长轴长=2后=10,短轴长=2囱=6,

离心率=—_2=—,焦距=2925-9=8.

V255

_X9_y2

曲线=1（9<Z<25）中:

25-k9-k

实轴长=2,25-女，虚轴长=2jFE，

一-.2,25-k+攵一94

禺心率=——,=-=-j=

2j25-ky/25-k

焦距=2y/25-k+k-9=8.

2222

.•.曲线上+上二1与曲线」_+二_=］（9<%<25）有共同的焦距.

25925-k9-k

故选：D.

20.已知双曲线C经过点（4,2）,且与双曲线+-丁=]具有相同的渐近线，则双曲线。

的标准方程为（）

X2V2X2V2

A.-2_=1B.---2_=]

8463

222，

C,工工=1D,上上=1

421212

【答案】A

2

【解析】由题意设双曲线C的标准方程为5-丁二%,代入点（4,2）,

得3一4=4,得4=4,

2

所以双曲线C的标准方程为三一二二1.

84

故选：A.

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

3・

21.四边形A8C0中，“八8二不。。”是“45。。是梯形”的条件.

【答案】充分不必要

一3一

【解析】若则A4〃CO且ABwCD，则四边形ABC。为梯形，故充分性

成立，

3

若A8CO为梯形，则AB//C。或AD//AC，若A/K平行于CO,则ABw—OC.故

2

必要性不成立.

一一

所以"48=13。。”是“ABC。是梯形”的充分不必要条件

故答案为：充分不必要.

22.己知a=（Z2）,/?-（-3,5）,口口与。的夹角为锐角，则4的取值范围是

【答案】见＜一且九声—

35

【解析】试题分析：因为向量々与。的夹角为锐角，所以〃力＜（）且〃与〃不共线，所以

—34+10＞0且540-6,解之得：g

35

考点：向量夹角及坐标运算.

23.已知两点A（5,T）,B（-l,4）,则A5=.

【答案】10

【解析】因为A（5,-4）,8（-1,4）,所以析、=（-1,4）一（5,-4）=（-6,8）,

所以卜8卜J（—6『+8?=Vi55=io

故答案为：10.

24.椭圆5/+62=5的一个焦点是（o,2）,那么左等于.

【答案】1

T2+£=|

【解析】由5/+与『=5,得?一，

I

又椭圆的一个焦点为（0,2）.所以=24=],且。=2.

k

由+/,得：=5,解得k=\.

k

故答案为：1.

3

25.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为），==%,则该双曲线的

4

离心率是__________.

【答案】|

4

22

【解析】设双曲线的方程为三一六=1（。>0力>0）

3

・・・一条渐近线方程为旷二一工

4

•.及」2〃2—9

a4'/a216

.c?25

.•/=正

c5

「•该双曲线的离心率e=-=-.

a4

三、解答题（本题共5小题，共45分，请在答题卡中对应题号下面指定位置作答，解答应

写出文字说明及演算步骤）

26.已知条件〃：后一2<x<4+5,条件4：0<X2-2X<3.若〃是“的必要不充分条

件，求实数2的取值范围.

解：由f-2x>0可得/>2或x〈0,

由丁一2X一3<0,即(x-3)(x+l)〈O可得一l<x<3,

故条件4对应的4的取值范围为:(-l,0)u(2,3),

因为P是夕的必要不充分条件，故(T0)D(2,3)是伏-2,〃+5］的真子集,

则左一2W-1,且A:十5工3,解得2,1］.

即实数攵的取值范围为：

27.已知单位向量。与〃的夹角为600.

(1)求。+2Z?；

(2)求向晟。与〃+2/7的夹角的余弦值；

(3)若(4+2))4/la+b),求4的值.

解：(1)dh=\a\hcos60=—

a+2b=\/a2+4a-b+4b2=币.

2

(2)d\d+2b^=d+2d-b=2t

a.(a+20)2不

CON〃，4+2h=------L==^—.

同卜+2“7

(3)因为(a+2Z?)(4a+/?),所以a+2Z?=x(A/z+b)=x2a+xZ?.

1=xA1

所以L，解得力=—.

2=x2

28.平面内给定两个向量〃=(3,1),〃=(T2)

(1)求13"+2〃；

(2)若("历)〃(2力.求实数女的值.

解：(I)因为〃=(3,1),〃=(-1,2),

所以3a+2〃=(7,7),贝！［3〃+24=5/72+72=7夜.

(2)由题意，a+kb=«-k,l+2k),2a-〃=(7,0).

因为（。+姑）〃（2〃一〃），则1+2%=0,解得％=

22I

29.已知椭圆E：鼻+/=1的左焦点为人，右焦点为鸟，离心率e=/，过

片的直线交椭圆E于A（/y）,8（%,%）两点，且XABF2的周长为8.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线用。的斜率为行，求AAB8的面积.

解：（1）依题意，△A86的周长为I人8|+|4行|+|86|=|川；|+|8用+|"；|+|8鸟|=4。=8,

解得。=2,而离心率6=,，则椭圆半焦距c=L。