基本不等式与一元二次不等式（12大题型）（期末专项训练）-高一数学上学期苏教版（解析版）

专题02基本不等式与一元二次不等式

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［题型通关•靶向提分

题型一直接运用基本不等式求最值（共5小题）

1.若切>>0,贝IJ1十三的最小值为<）

•Iy

A.2B,4

C.6D.8

【答案】D

【分析】借助基本不等式计算即可得.

【详解】由-9>。，得二>（）•2”），则至+肛22」生.良=2。话=8,

y入xy\y

当且仅当"=邑，即y=2x时取等号，所以最小值为8.

X）'

故选：D.

2.下列四个命题中，是假命题的为（）

I4

A.3x>l,x+—>2B.3x>-I,------->2-x

Xx+1

Vx>2,Vx+-^>2>/2

c.D.Vx<0,x+—<—2

x

【答案】D

【分析】利用存在量词命题及全称量词命题的真假判定方法，结合基本不等式判断即得.

【详解】对于A,取“=2…92+9|>2,A是真命题;

4

对于B,取x=0,=4>2=2-x,B是真命题；

x+\

对于C,«+左2荷差=2、%当且仅当4=a，即x=2时取等号,

因此当Vx>2时，Jx+-j=>2-71.C是真命题；

对于D,当x=—1时，x+—=—2；D是假命题.

x

故选：D

3.若0<x<g,则x（「2可取最大值时x的值是（）

111I

A.-B.-C.-D.

46810

【答案】A

【分析】根据基本不等式求解即可.

1

X+—X

【详解】x(l-2x)=2x(g-x<22\_

28

当且仅当x==；等号成立.

故选：A.

4.已知x>0,y>0,x+3y=6,则冷的最大值为（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】A

【分析】借助基本不等式计算即可得.

【详解】因为x>0,y>0,x+3y=6,

则工+3y=622《3xy,所以孙43,

当且仅当x=3y=3时，即当x=3,且），=1,等号成立,

故孙的最大值为3.

故选:A.

5.己知正数满足/+4/+必=10,则必的最大值为（）

A.2B.1C.5D.4

【答案】A

【分析】利用基本不等式求得油的最大值.

【详解】根据题意可得u~+4//+ub=10£2yj4ci~b2+ub-Sub»即ab<2»当”.仅'ia=2b—2时,等号成

立，

所以〃〃的最大值为2,

故选A.

题型二二次与一次商式求最值（共5小题）

6.已知x<T,则/一」+14的最大彳直是（）.

A+1

A.-11B.-8C.5D.8

【答案】A

【分析】化简变形利用基本不等式计算即可.

【详解】易知/_%+]4=（x+l）三（x+l）+g=x+]+J£_3.

x+1x+1x+1

因为KV-l,所以X+1<0,所以一（X+1）>0,

贝口+1+也=--（x+l）+f--

X+1\X+17J

当且仅当一（工+1）=-缶，即x=-5时，等号成立，

故X+1+—则“'+旧的最大值是-11.

x+1x+\

故选:A

7.设正实数X、八z满足x2_p+y2_z=（）,则立的最大值为（）

Z

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

二―1

【分析】由已知条件可得出z-A-y利用基本不等式可求得2的最大值.

一十12

【详解】因为正实数X、）'、Z满足/-盯+）,2-z=（）,则z=/+）,2一孙,

当且仅当±二£（x>o,y>。）时，即当x=y时，等号成立，

故干的最大值为I.

故选：D.

8.函数/（力=V（x.0）的最小值是（）

A.-1B.3C.6D.12

【答案】A

【分析】由基本不等式求解，

［详角华］/（A）==（X+l）+-^y-7（X.O）.

因为x.O,所以X+1+—二..2%=6,（当且仅当x+l=3,即x=2时，等号成立）.

x+1

故f（X）最小值为-1,

故选：A

9.若正实数x,y,z满足2V+y；+z2=4,则=的最小值为（）

xyz

A.2B.272C.2>/3D.3

【答案】B

【分析】由条件可得2+z=生土上，可以得到出=/；「：'」，再根据基本不等式求解即可.

2-zxyz（2-z）xyz

【详解】由条件可得2f+9=4-z2n2/+9=（2+z）（2-z）,

222/十）,2

所以ZH2,所以2+2=二」匚，所以Z+2一万工一2'+），2,

z-zxyzxyz（2-z）xyz

2V2、2V2

2『十9>2&2y2二2&y二2&

所以所以（2-Z）Z-「（2-Z）+ZT

（2-z）平（2-Z）JQZ（2-Z）A）?Z（2-Z）Z

F

当且仅当缶=y,且2一,即x邛,y邛，z=l等号成立.

故选：B.

10.设正实数工'/满足,/一3冲+4y2—z=0,则当且取得最大值时，2+。-2的最大值为（）

1xyz

9

A.9B.1C.-D.4

4

【答案】D

【分析】首先根据z=f-3町，+4，，变形与，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入

Z

232

一十——，再利用二次函数求最值.

xyz

【详解】由题意可知，z=f-3*+4y2,

xy_xy_I

所以"T-x12-3xy>+4y2~'竺一3,

yx

因为所以+?02后答3=-当+去即I），时,等号成立,

此时虫取最大值为1,z=xy=2y2,

z

1232

当时，上式取得最大值4,所以一+——的最大值为4.

2xyz

故选：D

题型三常值代换法求最值（共5小题）

14

11.已知〃>0满足4+8=3,则一+；的最小值是（）

ab

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据基本不等式“1”的代换可得最值.

【详解】由。>0,〃>0,口。+〃=3,

I41144a肥b（5+2"）=

则rII/厂8一+3,

Ib

当且仅当半=2,即。=1,6=2时取等号,

ba

14

叫+*最小值是3.

故选；B.

12.正数苍丁满足x+2y=3叶，则2x+9，的最小值是（）

D.8

【答案】A

【分析】应用常数代换结合基本不等式计算求解最小值.

2I

【详解】•.•正数X，y满足x+2y=3孙,一+—=3,

xy

当且仅当此=旦且x+2y=3-，，

xy

即*=15,），=25时取等号，即2x+9y的最小值是弓25.

故选：A.

]Q

13'已知小㈠"），且"拈=2,则"审的最小值为（）

9

A.2B.-D.3

4，・I

【答案】D

【分析】可利用配凑法与“1的妙用〃,结合基本不等式进行求解.

【详解】由题可知，"2+±=4,

又因为。+2>0,〃+1>0,

919

则力+1+=—(a+2+)伯+1+)

a+24Z?+la+2

9+101>^(6+10)=4,

=-[(a+2)(/?+1)+

4(a+2)S+l)

当且仅当（a+2）S+l）=3时，即当a=l力=0时，等号成立.

9

因此Z?+l+——-的最小值为4,

a+2

9

故分+——^的最小值为3.

故选:D.

4若两个正实数X,,满足且存在这样的X,y使不等式”+%〃?+2有解’则实数，〃的取值

范围是（）

A•（哈1

不，

B.12+8

一,+8

4

【答案】c

【分析】利用基本不等式得到X十三的最小值，再结合题意建立.不等式，求解参数范围即可.

【详解】因为工+>=外，所以一+—=1,

mi,>\11、，yx15yx、5Jx9

Kiju+—）（z—+—）=i+—+-+-=-+—+->-+2/—x—=-.

4xy4xy444xy4、4xy4

当且仅当;=上时取等，此时解得x=],y=3,

4xy2

而工+与<〃?+2,可得2<用+2,解得"H+e],故C正确.

44\4）

故选:C

15.己知x,y是非负实数目+,=1,则3x+4》的最小值为（）

c.乎D.6也

【答案】D

【分析】先化简已知分式等式，转化乐y的定量关系，再利用基本不等式性质“积定，个为定值”，求"和

3%+4y的最小值”即可.

【详解】因为后+京r-

।2），_（2y+l）-2y_

即：1---,=-~=~-----所以：-7=-------------

2y+\2y+\2y+lx+32y+l

一3

化简得：x（2y+1）=x+3»2.ry+x=x+3>2xy=3>所以=

3

因砂=二>（）,故x>0,y>0,

所以：3x+4y>27I^47=2Vi2Ay=2^12x|=2V18=65/2,

当且仅当3x=4y时，基本不等式的等号成片

又因为孙二

所以当.丫="），=义仁时，3x+4y的最小值为6夜.

故选：D

题型四条件等式求最值（共5小题）

16.若正数工、丁满足外-工-3y=1,则x+4），的最小值为（）

15

A.—B.8

2

D.15

【答案】D

r+1

【分析】由已知等式得出、=有’求得、>3,化简得出％+4》=（.1-3）+二三+7,结合基本不等式可求

X—3

得其最小值.

【详解】由外一."3y=l可得y（x—3）=x+l,

因为x>0,y>0,由y(x-3)=x+l可得不一3>(),故x>3,且丁=----

x-3

加A4(x+l)4(x-3)+1616/16

故4+4y=工+7------=x+---------------=x+-------+4=(x-3)+-------+7

A-3A-3X-3'7J-3

>2j(x-3)--+7=8+7=15.

V、'x-3

3_16即当(”=:时，等号成立，

当且仅当1~一二5时,

[y=2

x>3

故x+4y的最小值为15.

故选：D.

17.若正数“b满足2"=。+力+12,则〃〃的最小值为()

A.9B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】由2心=”+力+12得到2面-12=〃+。，直接利用基本不等式白+25A而求解即可.

【详解】•••2出=〃+力+12,«>0.Z?>0,2ab-12=a+h>24Zb,:.2ab—2而一12NO,

ab—y[ab-6>0»{4cib-3){4cib+2)0♦/.\[ab>3»「."29’

当且仅当a=〃时取等号，即…解得〃=力=3,

二.而的最小值为9.

故选：A.

18.若小〃均为大于1的实数，且3=3+6+〃，则〃7+2〃的最小值为（）

A.6B.9C.3+2&D.3+4&

【答案】D

【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可.

【详解】由题意可知：（〃LI）（〃-1）=4,

则"7+2〃=〃?-1+2（〃-1）+3N2J（"L1）・[2（〃-1）]+3=4&+3,

当且仅当〃?-1=2（〃-1）,即〃=1+&.利=2夜+1时取得等号.

故迄D

19.已知x，y为正实数，且肛=x+y+8,则冲的最小值为（）

A.4B.8C.16D.1672

【答案】C

【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法可求D的最小值.

【详解】因为为正实数，所以所以.口=工+），+822>闭+8,

所以刁，一2而一8",所以（向-4）（而+2）20,

解得而24或而4-2（舍去），所以孙216,当且仅当x=y=4时取等号.

所以孙的最小值为16

故选：C.

119x4y

20.已知x>0,y>0,且一+—=1,则一+尸的最大值为（）

xyi-x1-y

A.-25B.-18C.-12D.-9

【答案】A

9x4y_94_

【分析】由已知条件将所求式子变为匚一二‘厂一一,利用“1”的代换结合基本不等式

xy

求解.

【详解】因为X,）>。，且,+』=1,

Xy

9x4y94,、4

所以l-x1一）'i-11-1'

=-（4x+9y）f-+-1=-13-f^-4--1<-13-2性&=-25,

y）I%\xy

9v4r55

当且仅当一=一，即x=：,），=；时，等号成立，

Xy23

所以Y~~+~~的最大值为-25.

1-x\-y

故选：A.

题型五换元法求最值（共4小题）

x21’

21若实数乂旷满足个>。，则^―+的最大值为（）

x+yx+2y

A.2-41B.2+yf2C.4+2夜D.4-2V2

【答案】D

m=x+yx=2m-n

【详解】由实数苍y满足外>。.，设(；,解得f.

n=x+2yy=n-m

x2y2m-n2n-2m*/〃2niIn2mrr山口皿、【，〃2”？„

则——+—=-----+-------=4-(—+——)<4-2J------=4t-272,当且仅当一=——，及

x+yx+2yinntnnVtnnnin

x21

n=时等号成立，所以+~—的最大值为4-20

x+yx+2y

故选D

22.已知“>1,b>]工+4=1,则!的最大值为_____.

24-12〃-1ab

3

【答案】7/0.73

4

【分析】

通过换元，将分式变成整式，再通过“1〃的代换和基本不等式求出即可.

【详解】令」^二]，—=y,

a-I2b-1

贝lJx>0,N、0,a=^^,h=»-r+2y=1,所以T+1+2y+2=4,

x2y

Ix2yA+l-12(y+l)-212

abx+1y+\x+1y+\x+1y+1

1(12Y、1f2(y+l)2(X+\Y

4(x+ly+\p4x+iy+\

当且仅当x=y=1,即4=4,。=2时等号成立.

3

故答案为：4

4

23.已知实数X、y满足Mx+y）=2+2），2,则7f-y2的最小值为____.

［答案］吗+20

【分析】侬题意可得（X+2刃（x-y）=2,令.1+2），=〃?，x-y=n,则皿：=2,即可用含“、〃的式子表示

X、）「再代入7/_/，利用基本不等式计算可得.

【详解】因为实数X,y满足Mx+y）=2+2y2,

化为(x+2y)(x-y)=2,

令）+2），=切，x-y=n,则/〃〃=2.

联才可得*=m+2n

3

则7；1f2=7x”普_W^中2,〃、存20）

山2、（^+2O］J2夜+20

当且仅当2/=生，即〃/=3应，〃2=¥时取等号.

”3

故答案为：笔这.

24.若正实数x,），满足（3工一2）3+8（），-1）3=4-3工一2），，则21+q+斗的最小值是,

【答案】4

【详解】设加=3>_2/=2(y_l),则，/+/=-(，〃+〃)即(m+rz)(/?72-mn+〃2+1)=0

若〃?+〃h0,i|ii|nr+n2=mn-1>0,而nr+n1>2mn,仅当加=〃时等号成立，

所以〃m1>2mn=>nui<1,显然与〃矛盾，所以+〃=

777+2n,

X=-------y=—hI

由上32,由北)'>0,即〃?+2>0,〃+2=2—〃?>0,则一2<〃z<2,

2工+y+3x2_2(m+2)+3(〃+2)+2(w+2)2_2(〃?+2)+3(2—m)+2(m+2)2

所以xy32(/n4-2)3(〃+2)32。〃+2)3(2-m)

8(〃?+2)3(2-m),18(〃]+2)3(2-.

-------------1------------->2I-----------------------------4

3(2-in)2(〃i+2)V3(2-m)2(/〃+2)

当且仅当4(m+2)=3(2-⑼时等号成立，

2248

m=——n=—x=—y=—

所以7,7,即7,7时，H标式最小值为4.

题型六二次运用基本不等式求最值（共4小题）

25.已知a,b,c均为正实数，且〃则乎3a+c三十c—24■的最小值为_______.

babc+i

【答案】18

74

【分析】先化简提公因式再应用〃+b=l，。，力应用基本不等式，6（c+l）+'三-6再应用基本不等式，确

c+1

定取等条件成立取得最小值即可.

__.,-3acc243a（a+bY24

【洋解】由条件知一:+左+—7=C—+--+--

babc+1babc+1

(4ab八24(14ab，24/24—24,

=c\——+—+2+----->c2.-------+2+------=6c+------=6(c+1)H---------6

\baJc+1yHbaJc+1c+1c+1

I744〃/?,、2412

>2J6(c+l)«------6=18,当且仅当丁=—,6(c+l)=——,又因为a+b=l,即。=一，b=—,c=l

Vv7c+1bav7c+133

时，尊+=c+'2'4的最小值为18・

babc+1

故答案为：18.

26.若实数4,人满足而>0,则“2+6+彳］+1的最小值为()

2ab

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】解：因为cib>0,则。~+b~H-------F1>2abH-------)■122.2(tb------F1=3»

2ab2abV2ab

当且仅当2,而=」且。=)时取等号，即。="=也时取等号，

2ab2

此时取得最小值3.

故选:B.

27.已知实数m,ri满足m>2几>0,则源+：、的最小值为

【答案】8

【详解】因为m>2n>0,所以m—2n>0,n(m-2n)>0

0m2+\=[(m-2n)+2n]2+：

n<m—2n)n(m-2n)

2

=(m—2n)2+4n24-4n(m—2n)4------—

n(m-2n)

22

>4n(m—2n)+4n(m—2n)4-------=8n(m—2n)+-------

n(m—2n)n(m—2n)

>28n(m-2n)•」、=g

1n(m-2n)

当且仅当『n(m-2n)=忑三限即：时等号成立

Im—2n=2n2

所以rP+ntJin-的最小值为8.

故答案为：8.

28.己知。，8都为正实数，则2+§的最小值为.

【答案】2屈

【详解】I*b都为正实数,

，“+&空泊+2、厚La+3之

=2而

aabVaaba

当且仅当。=3及勺=々时，即。=麻=5时取等号.

aaab

故答案为：2M

题型七基本不等式的恒成立问题(共5小题)

14

29.已知实数x>0,y>0,—+—=3,且x+>2〃?恒成立，则实数w的取值范围为)

xy

A.[in\ni<9^B.C.D.卜〃卜〃之3}

【答案】B

【分析】由乘1法，求得工+)，的最小值，即可求解.

【详解】中=*+心力小+*卜白+2倍

当且仅当2v■=—4A,，即x=l,)=2时，取等号,

%y

所以〃?W3,

故选：B

30.已知x>(),y>0,若不等式工+工2矶、+力恒成立，贝心的最大值为().

A.三B.—C.1D.J2

22

【答案】C

【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得.

【详解】x>0,>o,y2X2/\Xy恒成立，

xyx+y

27

y~x~

而流十丁=y"=(x+)，)『肛+)』)

x+y冲(x+y)Jty(x+>')

jj+jHi,

孙yxyyx

当且仅当x=)岬寸，等号成立，则故〃的最大值为1.

故选：C.

31.己知“，〃为正实数，且3a2—2而+4=0,若不等式〃之机恒成立，则实数〃?的取值薨:围是

()

A.(-<o,2]B.(f4]C.(-co,2&]D.(-8,4夜

【答案】C

【分析】根据题意得人£+430),则匕-卜=〃+2»2五,再根据恒成立问题转化为最值即可.

2a''2a

*4.439

【详解】3/—2a〃+4=0即8=^^=±a+W(a>0),

2a2a

：.h--a=a+->242(当且仅当a=2=a时取等号)，

2aa

又不等式〃恒成立，

所以-ga)=2①.

X乙)min

故选:C.

32.若正实数内满足4X+L且x+-3a恒成立，则实数。的取值范围是()

4

A.{t/1-l<fl<4}B.{d-1<«<4}

C.{d-4<«<1}D.{a\-4<a<1}

【答案】B

【分析】由题意可得之/_3%再由乘1法和基本不等式可得最小值，由二次不等式的解法可得

I47min

所求范围.

41

【详解】正实数xy满足4工+»，=孙，所以一+—=1,

2

由》+与之/一3〃恒成立，可得＞a-3at

414Jmm

当且仅当y=4x=8时上式取等号：

则4之〃2一34,解得一

故实数。的取值范围是徊

故选：B.

33.设工、）'是正实数，且x+y=l,若不等式一［+一=之〃恒成立，则实数”的最大值为（）

x+2y+1

A.4B.2C.1D.4

4

【答案】C

【分析】先由基本不等式常数代换法求出」+一」的最小值情况，再由恒成立即可得解.

x+2y+\

【详解】X、y是正实数，且x+y=i,

则(x+2)+(y+l)=4,

nl1I1(I।%『\/1Ly+lx+2}1r八y+l,d+2

贝l——+——=----------+——x+1+(y+l)=-2+^—+——=-2+2tp——'?——=

x+2y+\4卜+2y+\JL7'，」4(x+2y+l)4(也+2y+lJ

当且仅当注=土［即工=。，＞=1时等号成立，

x+2y+l

但大、》是正实数，所以一1十一二的最小值的极限值为1，

x+2y+l

因为不等式」恒成立，所以4G.

x+2y+l

故实数。的最大值为1.

故选：C

题型八基本不等式的实际应用(共4小题)

34.某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新

型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为〃米，侧面长为。米.

⑴若满足a+/，-M+3=0,则展房占地面积至少为多少平方米？

⑵若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价

58co元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？

【答案】(1)9平方米.

(2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元.

【分析】(1)由a+〃之2而，结合一元二次不等式求解即可；

(2)由题意得到)=1200(3"助)+5800.再结合基本不等式即可求解.

【详解】(1)\'a+b=ab-3,^a+b>2>/cib,

:.ab-3>2\fab，

即ab-2>/ab-3>0,

解得，SN3或W7(舍)，

.•.他N9,当且仅当。=〃=3时，等号成立.

所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米.

(2)由题知必=192,

总造价为y=ax3xl200+2〃x3x8CX)+5800

=3600。+4800〃+5800

=I2(X)(3«+4/2)+58(X)

>1200x2巫茄+5800

=12(X)x2712x192+58(X)

=121000

3a=4b,fa=16,

当k即A口时，上式等号成立，

ah=192.[0=12.

所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元.

35.如图，某学校计划在一块空地上修建一个面枳为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径

宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为

⑴若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽；

(2)求使整个花坛区域(包括花坛和路径)面积最小时k的值.

【答案】⑴10

呜

【分析】(1)设花坛的长为X米，由花坛的宽与长之比为攵(0<A:<l),得到花坛的宽为仙米，由花坛

的周长为120米和矩形花坛的面积为500平方米，建立A和x的等式，求解即可；

(2)设花坛的长为x米，得到花宏的宽为米米，由题中条件得到工=¥，整个花坛区域(包括花坛和

路径)的长为*+6)米整个花坛区域(包括花坛和路径)的宽为(h+4)米，从而求得整个花坛区域(包括

花坛和路径)的面积，利用基本不等式求解即可.

【详解】(1)设花坛的长为x米，•••花坛的宽与长之比为k(0<ZKl),•..花坛的宽为丘米，

1花坛的周长为120米，，2(Ax+x)=120,

2(kx+x)=\20

•.•矩形花坛的面积为500平方米，.•."j=500,联立/LX=50。，

0<^<1

k=-

解得5,故花坛的宽为10米.

x=50

(2)设花坛的长为“米，•.•花坛的宽与长之比为左(0<心1),••・花坛的宽为依米，

5()0

...矩形花坛的面积为500平方米，，依以=500,.•.丘2=500，；“2二号一,

k

整个花坛区域(包括花坛和路役)的长为“十6)米，

整个花坛区域(包括花坛和路径)的宽为(履+4)米，

整个花坛区域(包括花坛和路径)的面积为S=*+6)(6+4),

展开得到s=kx2+(4+6幻x+24,H=500.

5=500+(4+6k)x+24,二$=(4+6k)x+524,

・「x=1。卢,/.s=(4+6Z)X1。卢+524,s=+60布&+524,

&4k4k

j竿X3逐4+524=40>/30-524,

+3石«+524>40.

当且仅当茎=3后4,即当々=；时取等号，

Jk3

.•・当2=:2时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小,

2

故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，k=（.

36.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底

面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因

此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方

米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2CW6）.

⑴当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？

⑵现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，具给出的整体报价为空山土»兀（。>0）,若尢论左右

X

两面增的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求〃的取值范围.

【答案】⑴4米，14400元

(2)%|0<〃<12}

【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价.

（2）根据整体报价列不等式，然后分离参数4,利用基本不等式求得。的取值范乱

【详解】(1)设甲工程队的总报价为y元，

贝ljy=3(150x2x+400x—+7200=9001+史卜72(M)(2<x<6),

又9001+3+7200>900x2^7^+7200=14400.

当且仅当x=3,即x=4时等号成立.

x

即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为144CX）元.

（2）由题意可得，900fx+31+7200>%”D对任意的XE{X|24XK6卜恒成立,

kX）X

即（x+4）；“1+”,

XX

所以

x+\x+1

X^+14--^-+6>2J(X+1)--^-+6=12,

x+\Vfx+\

9

当且仅当川二百，即＞2时等号成立.

所以0＜〃＜12,所以。的取值范围为{。[0＜。＜12}.

37.某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个.

⑴据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个.如何定价才使年销售总收入不

低于原收入？

⑵为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到f元.与此同时，升级需要

再投入（《产+5）万元作为技术支持和固定宣传费用.那么该玩具的年销售量，〃至少达到多少万个时，才能

使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？

【答案】（1）玩具的单价不少于2.5元且不超过4元时，才使年销售总收入不低于原收入

（2）该玩具的年销售量“至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和

【分析】（1）设玩具的单价为XN2.5兀，根据题意可得M13-2X）22.5XX=2（）,运算求解即可；

（2）根据题意整理可得〃此，一生，原题意即为存在此2.5,加之2+”有解，结合基本不等式运算求

4t4/

解.

【详解】（1）设玩具的单价为X22.5元，则年销售量为8-、^x0.2=13-2x万个，

令13-2壮0,解得2.53W6.5,

由题意可得：x（13-2x）＞2.5x8=20,

整理可得2k一13X+2040,解得2.5X4,

所以玩具的单价不少于2.5元且不超过4元时，才使年销售总收入不低于原收入.

（2）由题意可知:/n/＞—t"+5+20,且方＞2.5,可得mN—E4——,

44t

原题意即为存在d2.5,〃亚7I+与?5有解，

4I

因为"•竺=5,当且仅当!/二"，即f=10时，等号成立，

4rV4/4t

所以该玩具的年销售量机至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和.

题型九一元二次方程根的分布问题（共5小题）

38.」知方程V一2〃忒+/〃+2=0的两根都在区间（1,4）内，则〃?的取值范围为（）

A.[2,3）B.（1,£）C.[~y»3）D.[2,?）

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用•元二次方程实根分布列出不等式组求解即得.

【详解】令/(x)=f—2〃a+用+2,设，a)=0的两根为一为,

/(l)=3-w>0

/(4)=18-7/n>0is

由小占都在区间。⑷内，得:42"解得2々〃<3，

△=4〃?z-4(〃?+2)>07

I</n<4

所以m的取值范围为⑵蔡).

故选：D

39.若关于1的方程(A-2)i+2>/L+A=0有一个正根和一个负根，则实数攵的取值范围是()

A.0vAv3