吉林省长春市宽城区2025-2026学年九年级（上）期末数学试卷（含解析）

九年级期末质量监测

数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

I.在-3,-I,0,2这四个数中，最大的数是（）

A.B.-1C.0D.2

2.下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（)

()

A.3a-a=2B.

C.(a+2)(a-2)=c『-4D.(-a)2=-a2

4.用配方法解方程f+©+1=0时，配方结果正确的是（）

A.U-2)2=5B.(x-C.(x+2)2=5D.(x+2)z=3

点。是它们的位似中心，其中O£=2O8,则△ABC与△。石尸的周长之比是（）

A.1：2B.1：4C.1：3D.1：9

6.人行天桥的示意图如图所示，若高8C长为10米，斜坡4c长为30米,则tanA的值为（）

D.3

34

7.如图，四边形ABC。是。的内接四边形，AB=BC,连接。4、OB.若ND=100°,则的大小是（）

A

D

A.80cB.90°C.1(X)°D.110°

8.如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：40,2）,8（1,0）,C（3.1）,。（2,3）.在经过这四个点中的三个点的

二次函数），=纨2+法+。的图象中，。的值最大时二次函数经过的三个点是（）

-y

3!力

1

BA

0123X

A.B,C,DB.4,B,CC.A,B,DD.A,C,D

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.不等式7>1的解集是.

10.若一个多边形的每一个外角都等于40。，则这个多边形的边数是—.

11.若关于x的一元二次方程（。+2）/-3x+l=0无实数根，则。的取值范围是

12.如窗，在矩形ABCD中，AB=G，BC=2.以点A为圆心，4。长为半径画弧交边8C于点E,连接AE,则

DE的长为.（结果保留兀）

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=加+云+｛。>0）与x轴相交于点A（2,0）、点8（4,0）,与），轴相交于

点C,点。在抛物线上.若CD〃不轴，则线段CO的长为.

14.如图，点C是以A3为直径的半圆。上一点，48=8,N8=30。.点£＞是直径A8上的动点，点£与点。关于AC

对称.当点。与点A不重合时，作_LOE交EC的延长线于点尸.给出下面四个结论：①CE=CF；②线段£小的

最小值为26；③当4。=2时，族与半圆。相切；④当点。由点A运动到点8时，点E经过的路径长为8.上述

结论中，所有正确结论的序号是

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.解方程：x2+6x+4=0.

16.在一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气，依次记为A、B、

C、D.这4张书签除图案不同外，其余均相同.现将这4张书签充分搅匀，小林同学从盒子中随机抽取2张书签，

请用画树状图（或列表）的方法，求小林抽取的2张书签中恰好1张为“立春”，1张为“立冬”的概率.

17.如空，两条笔直的公路A3、CO相交于点O,NAOC=36。，指挥中心M设在。4路段上，与。地的距离为16

千米.一次行动中，王警官带队从。地出发，沿OC方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能

在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话.【参考数据：

sin36°«0.59,cos36°«0.81,tan36°«0.73]

18.图①、图②、图③均是7x6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，VABC

的三个顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按卜.列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要

求写出画法.

图①图②图③

(1)在图①中的边AC上画点P，连接外，使即平分VA3C的面积；

(2)在图②中的边AC上画点Q,连接BQ,使乙48Q=45。；

2

(3)在图③中的边AC上画点M,连接使

19.如图，在V/WC中，AB=AC,以A4为直径的。。交BC于点。，交的延长线于点E,交AC于

点尸.

(1)求证：DE与。相切；

(2)若4c=6,DE=4,则町的长为______.

20.某研发小组设计了甲、乙两款4软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙

两款软件体验、评分(百分制).

(1)邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分(百分制).从评分中各随机抽取20

个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

a.甲款软件评分：

60607070727580808080

80808181818282859091

b.乙款软件评分频数分布直方图如图.

乙款软件评分频数分布宜方图

频nA

IOJ-

9J-

8b

7l-

6l-

5l-

4k

3k

2Hk

()L

3()607()8()9()1(X)

(数据分成五组：50J<60,60W70,70^.v<80,80。<90,90<x<100)

其中成绩在70sx<80的数据如下：

7575757678787979

c.甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示：

软件平均数中位数众数

甲7880m

乙78n75

根据所给信息，解答下列问题：

①〃?=,〃=；

②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足90<工力00的约为个；

(2)邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分(百分制)，评分结果由维度1和维度2各占30%,维度

3和维度4各占20%组成，评分如下：

软件维度1维度2维度3维度4

甲94k9293

乙91939392

①求乙款软件的评分；

②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k(A为整数)的最小值.

21.某快餐店销售A、B两种快餐，4种快餐每份利润12元，每天能卖出40份；B种快餐每份利涧8元，每天能卖

出80份.该店根据顾客需求，准备降低A种快餐的利润，同时提高8种快餐的利润.售卖时发现，在一定范用内，

每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份；每份8种快餐每提高I元利润，就少卖2份，但这两种快餐每天销售

的总份数不变.设每份A种快餐降低的利润为x元，调价后销售A、8两种快餐一天的总利润为)，元.

(1)调价后A种快餐每天可卖出_____份，8种快餐每天可卖出______份；(用含x的代数式表示)

(2)求y与.v之间的函数关系式；

(3)求工为何值时)，取得最大值，并求出)，的最大值.

22.【问题原型】在矩形/WCO中，点E是边C4延长线上一点，连接4£,过点A作交DCF点、F.

(1)如图①，若四边形/1AC。是正方形，则线段町与AE之间的数量关系是______；

(2)如图②，若仞=京8,判断册与4E之间的数量关系，并说明理由；

【问题变式】如图③，四边形ABC。为平行四边形，NA为锐角，且A/=2,AZ)=3,点E是射线6上一点，作

/BAF=NEAD，AF交射线C。于点/，若DF=1,则线段CE的长为.

23.如图，在RtZXABC中，？490?,AC=2>/5,8c=3.点夕是边A8上一点(点。不与点8重合)，连接PC.过

点P作PQ上PC,使点。和点8在直线PC的两侧，连接AQ、CQ,亲=告-

Q

(l)NPCQ=度；

(2)求证：△P8CS/XQAC；

⑶点M是边8c延长线上一点，且8C=3CM,连接“。，线段MQ的最小值为；

⑷当tanZAPQ=!时，直接写出线段4Q的长.

4

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=-丁+h+c经过A(-5,0)、4(0,5)两点，连接人8.点P是抛物线上

的一点(点尸不与点8重合)，设点尸的横坐标为机.

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式：

⑵过点。作)，轴的平行线交线段A8于点C，当线段尸C的长为2时，求〃?的值；

(3)当-5<，〃<0时，抛物线上P、B两点之间(含P、8两点)的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为"，求d与

机之间的函数关系式：

(4)过点〃作)，轴的垂线交直线x=l于点Q,将线段P。绕点。顺时针旋转90。得到线段连接历Q.设抛物线在

-PMQ内部的图象(含交点)为G,当图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出皿的值.

参考答案

1.D

解:V-3<-l<0<2,

••・最大的数是2,

故选：D.

2.D

解：正方体展开图的11种情况可分为“1-4-1型”6种，“2-3-1型”3种，“2-2-2型”1种，“3-3型”1种,

因此选项D符合题意，

故选：D.

3.C

解：A选项中：3a-a=2a,因此错误：

B选项中：标.，=46,因此错误；

C选项中：(。+2)(〃—2)=/—4,因此正确；

D选项中：(―4)2=",因此错误；

故选：C.

4.D

解：vx2+4x+l=0»

/.X2+4x=-l，

7.x2+4x+4=T+4，

.•.(%+2)2=3,

故选：D.

5.A

解：••・△/IBC与△力E尸位似，点O为位似中心.

：.AABC<c4DEF,OB；OE=1；2,

•••△ABC与△DEr的周长比是:1：2.

故选：A.

6.C

解：•••AC长为10米，斜坡AC长为30米,

，ABZACN-BC，=2函米，

4.BC10>/2

根据题尽得：tanA=--=----7==—,

AB20x124

故选：C.

7.C

解：•・•0=100°,四边形A8C。是。。的内接四边形,

/.ZABC=180。-ZD=80。,

连接人C,如图所示：

又•・•A8=8C,

180。-/ABC

/.ZACI3==50°,

•••ZA08=2ZAC8=100。，

故选：C.

8.C

解：由图象知，A、B、。组成的点开口向上，。>()；

A、B、。组成的二次函数开口向上，。>0：

B、C、。三点组成的二次函数开口向下，«<()；

A、。、。三点组成的二次函数开口向下，a<0；

即只需比较4、B、。组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可.

设二次函数为y=ax'+〃x+c,

e-2

当抛物线)，=ad+/»+c过A、8、C三点时，贝lJ<〃+A+c=O,

9a+3b+c=\

解得。=：；

0

c=2

当抛物线y=4F+〃x+c过A、B、D三点时，则“a+〃+c=。

4a+2b+c=3

解得若，

故。的值最大时二次函数经过A、B、D三点,

故选：C

9.x>4

解.：2A-7>1,

移项得2大>1+7,

合并同类项得2x>8,

系数化为1得x>4.

故答案为：x>4.

10.9

【详解】解:360-40=9,即这个多边形的边数是9.

故答案为：9.

11.a>—

4

解：•・•关于x的一元二次方程(。+2)/一3工+1=0无实数根，

.•・△=(-31-4xlx(a+2)V0,

化简得Ta+IVO,解得〃>!，

4

满足4-2¥0,

则。的取值范围是

4

故答案为：

4

2

12.

解：•・加边形/WC。是矩形，BC=2,

AD=BC=2,NBAD=NB=90°,

AD=AE=2,

cos/B/心组二”

在RtZXAb七中,

AE2

：.N&E=30°,

/.ZZME=90°-3()°=6()0,

,°E的长为普二等

2

故答案为3兀.

13.6

解：•・•点&2,0)、点8(4,0)在抛物线上,

・••二次函数对称轴直线为-1=誓=3,

•・•抛物线与y轴相交于点C,

・••点C到对称轴直线的距离为3,

轴，

，点C、。关「对称轴时称，

/.8=6.

故答案为：6.

14.①®@

解：连接C。，

点E与点。关于AC对称,

CE=CD，

:"E=/EDC,

\DF±DE,

ZE£>F=90°,

・•・ZE+ZF=9()。，ZCDE+/CDF=90°,

:"F=4CDF,

:.CD=CF,

：.CE=CD=CF,故①正确；

当CD_A4时，

AB是半圆的直径，

.-.ZACfi=90°,

vAB=S,4=30。，

/.ZC4B=60°,AC=4,BCAG-U=46，

-.CD1AB,4=30。，

.\CD=-BC=2x/3,

2

根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点。在线段AB上运动时，C。的最小值为2石,

•••CE=CD=CF,

:.EF=2CD=4g,

.•.痔的最小值为46，故②不正确;

当4。=2时，连接OC,如图所示,

ZC4/?=60°,

是等边三角形，

：,CA=CO,Z4CO=60°,

•.AO=4,A£)=2,

:.OD=2,

AD=OD,

：.ZACD=NOCD=30。，

点E与点。关于AC对称，

NECA=ZDCA,

.-.ZEC4=30°,

NECO=90。，

:.OC1EF,

OAC是等边三角形，直径A8=8,

..OA=OC=4,

.•.故与半圆相切，故③正确；

•・,点£与点。关于AC对称，

当点Q由点A运动到点》时，AD=AE=S,

「•点E经过的路径长为8,故④正确.

故答案为：①@④.

15.=-3+\/5,%,=-3-\/5

由题意得：a=l,b=6,c=4

△=从-4cic=62-4X1X4=20>0

・•・方程有两个不相等的实数根

_-b1\/b2-4ac_-6±\/20_3+标

~i--2-一一'一

••・原方程的解为内=-3+6，电=一3-石.

解：画树状图如下：

开始

——-

第一张ABCD

/K/1\/N/N

第二张BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中抽取的2张书签中恰好1张为“立春”,1张为“立冬”的情况有2种,

2I

：.P(1张为“立春”，1张为“立冬”)

17.王警官能实现与指挥中心用对讲机通话

解：如图，过点、M作MNLCD于点N.

MN

VsinZA7O/V=—,

0M

JMN=OMsin36°«16x0.59=9.44（千米）.

:9.44<10,

，王警官能实现与指挥中心用对讲机通话.

18.(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

(1)解：如图①，B/即为所求：

图②

解：如图③，NABW即为所求;

H

图③

19.(1)见解析

(2)?

(1)记明：如图，连接O。,

;AB=AC,

，ZABC=ZACB,

'：OB=OD,

，4)BD=/ODB,

NODB=ZACB,

••・AC/7OD,

：・4DFC=40DF,

•/DE±AC,

，ZDFC=ZODF=90°,

IODIDE,

TO力是O的半径，

；・DE是O的切线；

(2)解：VAC//OD,

・•・BOA"AC,

.BOOD

••,

BAAC

又AB=2BO,AC=6,

.OD1

••=—,

62

解得0D=3,

IODIDE,DE=4,

•••OE=>IOD2+DE2=V32+42=5，

/.AE=O£-AO=5-3=2,

VAC//OD,

/.AFE^,ODE

.AEAF2AF

••二,RnipI—=,

OEOD53

AF=-

5

故答案为：—.

J

20.(1)①8(),77；②180

(2)①乙款软件的评分为92.2分；②k的最小值为91

(1)解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80,

••・甲组数据的众数为80,即,〃=80；

•・•乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人，

・•・第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即〃=笥"=77.

②•・•乙款软件评分在90WxW100有3人，

3

•••这12(X)个普通用户中对乙款软件评分x满足90KxK100的约为1200x立=180个.

故答案为：①80：77；②180.

(2)解：①乙款软件的评分91x30%+93x30%+93x20%+92x20%=92.2(分)；

②由题意得94x30%+30%k+92x20%+93x20%>92.2,解得：A>90.

.•/的最小整数值为91.

故答案为：①92.2；②91.

21.（l）（40+2x）,（80-2x）

（2）y=-4x2+48x+il20

（3）x=6时，1y取得最大值，y的最大值1264

（1）解：设每份4种快餐降低的利涧为x元，

•・•每份4种快餐每降低1元利润，可多卖2份，

・・・A种快餐可多卖2x份，

・•・调价后A种快餐每天可卖出（40+2,份，

;这两种快餐每天销售的总份数不变，

种快餐每天可卖出（80-2x）份；

故答案为：（40+2x）,（80-2A）；

（2）解：j=（12-x）（40+2x）+（8+x）（80-2x）

=Tf+48x+1120：

（3）解：），=TX2+48X+H20=T（I-61+1264,

，当x=6时，），取得最大值，y的最大值1264.

22.（1）AF=AE-,（2）24/=34E,见解析；【问题变式】］或日

解：（I）AE=AF,理由如下：

，•四边形A8CD是正方形，

AFA.AE,

.-.ZE4F=90°,

.\ZEAB=ZFAD,

.♦二E4的..EAO（ASA）,

：.AF=AE,

故答案为：AF=AEx

（2）2AF=3AE.

证明：四边形A8CO是矩形,

NBAD=^ABC=^ADF=9()0，

AF1AE,

ZE4F=90°,

.../E48+/M8=90°,

:.ZEAB=ZFAD,

ZABE+ZABC=\S()0,

/ABE=180-/ABC=180°-90°=90°,

:.NABE=NADF,

:QABESJADF，

ABAE

•=——,

ADAF

3

.♦AD=-AB,

2

AB2

•__________

'•19

AD3

AE2

-----=—,

AF3

2AF=3AE；

【问题变式】分情况讨论：点F在c。上或点尸在CO的延长线上.

当点尸在co上时，如图

四边形48CO为平行四边形,

:.4=少,

..NBA*=NEAD,HPZBAE+ZE4F=ZEAF+ZDAF，

"BAE=NDAF,

:dDAFsBAE,

,BEAB

而一而‘

1.AB=2,AD=3,DF=\,

即BE=2,

133

BC=AD=3,

27

:.CE=BC-BE=3--=-x

33

当点F在CQ的延长线上时，如图

四边形ABC。为平行四边形,

ZABE=180°-ZARC,ZADF=180°-ZADC,

:.ZABE=ZADF,

:.ZBAF=ZEAD,BPZBAD+ZFAD=ZBAD+ZBAE,

:.ZFAD=ZBAE,

DAF^BAE,

BEAB

而一而‘

•/AB=2,AD=3,DF=\,

BE2…厂2

133

、:BC=AD=3,

:.CE=BC+BE=3+-=—.

33

综上，CE的长为(或?.

JJ

故答案为：(7或I(I

JJ

23.(1)30

(2)见解析

(3)竽

(4)卓

2

(1)解：・・・PQ_LPC,

・•.ZCPQ=9O0,

...PC=—百,

QC2

/.cos/PCQ=*

ZPCO=30°,

故答案为：30；

(2)正明：；?B907,AC=26BC=3,

・•・cosNAC人型M

AC2

JZACB=30。，

/PC。=30。，

・•・NBCP=NACQ=30°一/ACP,

..BCPC75

•二—，

ACQC2

.BCAC

••正一区’

工△P8CS^QNC；

（3）解：过点用作MQUAQ于。，

•・•4PBes/\QAC,

NQAC="BC=90。，

・•・点Q在过点A且垂直于AC的垂线AQ上，

・••当MQ_LAQ,即点。'与点。重合时，线段例。有最小值,

过点。作于尸，

BCM

•・•NCFQ=Z.FQA=/C4Q'=90°,

・•・四边形ACFQ'是矩形，

:.FQ=AC=28,AC〃何Q',

ZFMC=ZACB=30°,

VBC=3CM,BC=3,

：.CM=1,

AFM=CA/cos30°=—,

2

:・MQ=FM+FQ=曰+2&=当

，线段MQ的最小值为净

故答案为;竽

(4)解：・・・NbQ=90。，

Z.NPCB=90°-NCPB=ZAPQ,

由(2)知N8CP=ZACQ,

ZACQ=AAPQ,

VZQAC=ZPBC=90°,tanZ^P(?=-，

4

tanNACQ=—―=—,

AC4

AQ=—xAC=g.

42

・♦•线段AQ的长为~T

24.(l)y=-X2-4X+5

(2)q=-5-而,54-717

22

(3)当一5<〃?<-4时，d=tn2+4w+4；当-4v,〃V一2时，d=4；当一2v〃?v0时，d=-itr-4m

(4)m=-2—G或m=—2+6或m=-2+>/\7

(1)解：由题意可把点A(-5,0)、8(0,5)代入抛物线>，=-/+班+0得:

[-25-5/?+c=O,b=-4

c-5,解得:

c—5

••・这条旭物线所对应的函数表达式为y=-丁—4x+5；

(2)解：设直线A8的解析式为)，=k+〃，由题意得:

-5k+/i=0k=l

〃=5,解得：

n=5

.直线的解析式为y=%+5,

・过点P作>'轴的平行线交线段AB于点C,且P(〃?,r〃2_4,〃+5),

*PC=2,

.-fn2-4/T?+5-(/??+5)=2,

-5+717

2

(3)解：由抛物线丁=一9一4x+5=-(x+2『+9可知：对称轴为直线l=一2,顶点坐标为(一2⑼，当不〈一2时，y

随x的增大而增大，当2时，y随工的增大而减小，

根据二次函数的对称性可知：点*0,5)关于对称轴对称点的坐标为(~4,5),

-5<tn<0,

•••点尸在直线AB上方的抛物线上，则由题意可分：

当-5<〃?KT时，此时抛物线上P、