集合与常用逻辑用语、复数（高频考点专练）解析版-2026年高考数学二轮复习讲练

高频考点01集合与常用逻辑用语、复数

内容概览

01命题探源•考向解密

02根基夯实•知识整合

03高频考点,妙法指津（6大命题点+9道高考预测题，鬲考必考•（10-15）分）

考点一集合之间的关系与运算

命题点1集合之间的关系

命题点2集合的交并补运算

高考预测题*3道

考点一常用逻辑用语

命题点1结合其他知识的充要关系的判断

命题点2含量词的命题的相关问题

高考预测题*3道

考点三复数

命题点1复数的基本概念与计算

命题点2更数的几何意义

高考预测题*3道

04好题速递•分层闯关（精选10道戢新名校模拟试题+9道高考闯关题）

」全做探源掰孑向斛密

考点考向命题特征

集合元素与集合之间的关系：常以选择题的形式出现，侧重集合的交、并、补运算，多

13年3考）集合的运算结合一元二次不等式、分式不等式考查集合范围

常用逻辑用语充要条件的判定常以选择题形式出现，侧重命题真假、充要条件判定，考

【3年2考）含量词的命题的相关问题查逻辑推理能力

复数复数的相关概念及复数的常以选择题形式出现，侧重复数运算、概念辨析，考查数

£3年3考）基本运算形结合与运算能力

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裔频考支Ilk

考点一集合之间的关系与运算

《解题指南》

解题思维：辨清子集、真子集与相等的关系，化简集合（解不等式/根式/分式，转化为区间形式）；明

确运算类型（交/并/补），用数轴/Venn图表示；紧扣元素互异性验证结果（注意端点值是否包含）.

&命题点01集合之间的关系

【典例01］（2023年新课标全国H卷数学真题）设集合A={0「a},B={l,a-2,2a-2）,若A=则

a=（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】因为则有：

若〃一2=0,解得〃=2,此时A={0,-2},B={l,0,2},不符合题意；

若2a-2=0,解得a=l,此时4={0,-1},B={l,T,0},符合题意：

综上所述：a=l.

故选:B.

【典例02】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合U=R,集合M={也＜1},

N=W-lvxv2},则{小22}=（）

A.Q,（MUN）B.NJQ,M

C.\N)D.M24N

【答案】A

【解析】由题意可得MJN={x|x<2},则4，(MUN)={X|XN2},选项A正确;

Q：M={x|xNl},则NUeM="|x>-l},选项B错误；

MM={x|-l<x<l},则d(McN)={x|xW-l或xNl},选项C错误;

QW={x|xWT或xN2},则MJd，N={x|x<l或x22},选项D错误;

故选：A.

国命题点02集合的交并补运算

【典例01】（2025年高考全国一卷数学真题）已知集合口={1是小丁f的正整数},A={1,3,5）,则Q,,A

中元素个数为（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【解析】因为U={1,234,5,6,7,8},所以Q,A={2,4,6,7,8},包从中的元素个数为5,

故选：C.

【典例02】（2025年高考全国二卷数学真题）已知集合4={7,0,2,8}1=田丁=@,则A8=（）

A.{0,1,2}B.（1,2,8）

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【解析】8={X|T=X}={0,T1},故AB={OJ},

故选：D.

【典例03]（2023年高考仝国甲卷数学（理）真题）设仝集U=Z,集合

M={x\x=3k+\,keZ},N={x\x=3k+2,keZ}f金（M2N）=（）

A.{x[x=3攵，4wZ}B.{JAx=3k-\,keZ]

C.{xlx=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【解析】因为整数集Z={x|x=32/eZ},{x|x=3A+l,keZ}i{x|x=3k+2,〃eZ},U=Z,所以，

0,（例N）={x|x=3A,&eZ}.

故选：A.

・高考预测题

1.若集合4={-1,0』,2,4},4=伊/£46£叫，则Ap|5=()

A.{0.1,2}B.{1,2,4}C.{-1,0,1,2}D.[0,1,2,4}

【答案】C

【解析】集合A={-1,0,124},曰"={x|JeGeR},得8-{2,正，1,0,1,72,2),

所以48={T,0,1,2}.

故选：C.

2.已知集合A={zeC||z|=l},B={l,-l,i,-i),则()

BAB.A8C.A=BD."8=0

【答案】A

【解析】设z=a+bi(a,bwR),因为忖=1,所以，^十从=1，

则/+从=1,所以集合A表示在复平面上以原点为圆心，1为半径的单位圆上的所有复数,

又集合“={l,-l,i,T}中的元素都满足集合A中元素的条件，

且单位圆上有无数个复数，所以84.

故选：A.

3.已知全集〃=1<,集合4={刈布5},8={小>2},则4U(Q,,8)=()

A.{x|x<5}B.{小〈5}

C.{x|x<2,i3cr>5}D.{x|-5<x<2}

【答案】A

【解析】依题意，A={A|-5<X<5},^B={JAx<2}t故AJM)={X|X«5}.

故选：A.

考点二常用逻辑用语

《解题指南》

解题思维：常用逻辑用语解题，要明晰概念。命题真假判断需依据条件推理：充要条件要理清充分与必要

的双向逻辑；量词命题关注全称与特称的转化，精准否定，步步严谨。

&命题点01结合其他知识的充要关系的判断

【典例01](2024年高考全国甲卷数学(理)真题)设向量。=(4+1㈤,〃=«2),则()

A.“x=-3”是“a_L的必要条件B."x=1+/”是“〃///?”的必要条件

C.“x=0”是“4_LA”的充分条件D.“1=-1+6”是“〃/"”的充分条件

【答案】C

【解析】对A,当aJL6时,则a.b=0,

所以比(工+1)+2%=0,解得工=()或一3,即必要性不成立，故A错误：

对C,当x=0时，a=(l,0),b=(0,2),故〃/=(),

所以即充分性成立，故C正确；

对B,当力区时，则2(x+l)=f,解得％=1±百,即必要性不成立，故B错误:

对D,当x=-1+G时，不满足2(x+l)=f，所以〃//〃不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

【典例02](2023年新课标全国I卷数学真题)记S”为数列｛。〃｝的明〃项和，设甲：｛4｝为等差数列;

乙：｛%■｝为等差数列，则()

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】方法1,甲：｛q｝为等差数列，设其首项为4,公差为d,

//(//-1),S“n-\

贝S.S丁"+1

212〃+1

q

因此｛d｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

反之，乙：｛邑｝为等差数列，即'电用丁;电:〃"丁一:"为常数，设为匕

nrt+ln〃(〃+1)+

即八"='，则S"=〃4,+]T•〃(〃+1),有S“T=(n-\)a-tn(n-\)ji>2,

n(7n+\)n

两式相减得:an=nan+l-(n-i)an-2tn,即对〃=1也成立，

因此｛q｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充耍条件，C正确.

方法2,甲：｛叫为等差数列，设数列血｝的首项4,公差为d,即S“=叫+妁/4,

则a=4+空14=:〃+4一』，因此｛2｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

反之，乙：｛2｝为等差数列，即即一旦=D,j=S1+(〃-l)。，

nH+1nn

即S“=吟+n(n-1)D,S“T=(n-1)S,+(n-l)(n-2)D,

当〃N2时,_L两式相减得:Sn-Sn_i-Sl+2(n-l)Dt当〃=1时、，式成立，

于是%=4+2(/i-1)D,乂%+i—4=4+2nD-[«,+2(〃-1)0=2。为常数,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选:C

&命题点02含量词的命题的相关问题

【典例01】(2024年新课标全国II卷数学真题)已知命题p：VxeR,|x+l|>l；命题％Hr>0,

d=x,则()

A.p和q都是真命题B."]P和q都是真命题

C.〃和都是真命题D.~P和F都是真命题

【答案】B

【解析】对于P而言，取x=-l,则有卜+1|=0<1,故〃是假命题，力是真命题，

对于4而言，取x=l,则有F=F=l=x，故4是真命题，F是假命题，

综上，f和4都是真命题.

故选：B.

■高考预测题

1.已知命题〃:也€（-2,-1）,犬+⑪一2>（）,则〃的一个必要不充分条件是（）

A.a<-\B.«<0C.a>0D.a>\

【答案】B

【解析】Vxe（-2,-l）,x2+^-2>0,所以a<（r+2],其中不«—2,-1）,

'X/min

函数尸r+士在（-2,-1）上单调递减，

X

故当-2vxvT时,-1</（x）<l,

所以乂集合是集合的真子集，

所以a<0是〃的一个必要不充分条件，

故选：B.

2.已知X、）'为实数，则“/>）”是"2、>2刈”的（）条件.

A,充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分又非必要

【答案】B

【解析】因为丁>）广，则x>），，又2*>29，则+

命题“若则为真命题，即2、>2y|=>/>_），3,

命题“若x>y,则x>y+「'为假命题，即父>炉/21>2加

所以"％3>）,3”是“2、>2门”的必要非充分条件.

故选：B.

3.己知命题〃：VX>0,X+L>2,则"是（）

X

A.Vx>0,x+—<2B.3x>0,x+—<2

XX

C.Vx<0,x+-<2D.3x<0,x+-<2

xx

【答案】B

【解析】命题〃:Vx>0,x+，>2,WO-）P^3x>0,x4--<2.

XX

故选:B.

考点三复数

《解题指南》

解题思维：复数解题，先将其化为标准形式.。运算时，实部与实部、虚部与虚部分别操作,注意产=—1°

涉及模长，用公式^计算。处理几何问题，借助复平面，将复数与点、向最对应，数形结合求解。

国命题点01复数的基本概念与计算

【典例01](2025年高考全国二卷数学真题)已知z=l+i,则一二二()

z-1

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】A

111i

【解析】因为z=l+i,所以

故选：A.

【典例02](2024年新课标全国【卷数学真题)若—=1+"则2=()

z-l

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C

【解析】因为二77=y7—]+」1=l+I」7=l+i,所以z=l+1!=l-i.

z-lz-lz-l1

故选：C.

0命题点02复数的几何意义

【典例01】(2024年新课标全国II卷数学真题)已知z=—l-i,则|z|=()

A.0B.1C.y/2D.2

【答案】C

【解析】若z=—l—i,则冷[㈠/+(_1)2=&.

故选：C.

【典例()2】(2023年新课标全国H卷数学真题)在复平面内，(l+3i)(3-i)对应的点位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】因为(1+%)(37)=3+&-靖=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

■高考预测题

1.已知复数z满足(l-i)z=2i,其中i是虚数单位，则|z|=()

A.72B.6C.2D.3

【答案】A

2/2/(1+z)2i+2i22i-2

【解析】vz==-1+/,

1^7-(l-z)(l+/)-l-z22

z|=V1+1=>/2.

故选：A.

2.设复数4=5-n22=-2+3为虚数单位，则复数4+马在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因为4+々=3一方,

对应的点(3,-2)位于第四象限.

故选：D.

3.设复平面内表示复数z=2〃?+(〃7-3)i的点在直线x+y=0上，则2=()

A.2+2iB.2-2iC.-2-2iD.-2+2i

【答案】B

【解析】复数z=2/n+(/n-3)i对应的点的坐标为(2见加-3),

因为该点在直线％+y=0上,所以2/〃+/〃-3=0,

解得m=\,则z=2-2i.

故选：B.

台层闯关

Q好题速递

1.(2025•四川绵阳•一模)己知集合人={K£m工>0}1=3次2«4},则4n3=()

A.{-1,-2.0}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2}D.{0,1,2)

【答案】C

【解析】••区=卜|/44},:.B={x\-2<x<2],

X={xeN|x>0},AA8二{1,2].

故选：C.

2.(2025•内蒙古赤峰•三模)已知集合4={«》)k=)，},B={(x,y)k=y3},则Acb中元素的个数为

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】将"=)'代入x=得)，=儿解得),=±i或0,

所以/^8={(-1,-1),(0,0),(1,1)}.则404中元素的个数为3个.

故选：C

3.(2025•高三•河北沧州•期末)已知集合A={-2,1,4},集合8={1,/},若A。小=凡则实数”=

()

A.2B.-2C.±2D.0

【答案】C

【解析】由A「8=8得到BqA,由子集的性质可知/e{-2,1,4}.

对于任意的实数〃，/20./不能等于一2，由集合元素的互异性，〃=|不成立，

故只能是/=4；求出。=±2.

故选：C

15-5i

4.(2025•全国•模拟预测)()

1-31

A.4+3iB.4-3iC.3+4iD.3-4i

【答案】C

‘解济】15—5i=5(3-i)(l+3i)=5(6+8i)

“小】l-3i■(l-3i)(l+3i)-10=3+4i

故选：C.

5.设复数z满足(l+i)z=3,则2=()

A31.31n33.

A.-+-iB.cD.——+-1

2222

【答案】B

【解析】由("i)z=3,则z*舄=|(1)=/

故选:B

6.(2025•吉林松原•模拟预测)已知。为原点，复数与Z2在复平面内对应的点分别为4,Z2,则

“N+zJTzi-ZzI”是“。2；。2；=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】设马=a+〃i,Z2=c+M(4Z?,c,deR),则=(«〃),OZ?=(c,d),

^\z}+z2\=\zl-z2\,则|a+c+g+”川=,-c十修一”川,

即J(a+c)2+(〃+d)2=yl^a-c)2+(b-d^,

所以ac+Zv/=0,OZ,OZ2=ac+bd=0,充分性成立：；

22

^OZ}OZ2=0,则ac+Z?d=0,又(a+c7+(》+d)2—(«-c)+(/?-J)j=4(flc+M)=0,

所以J(a+c/+(b+d)2=-c)2+(b-d)2，

即忖+旬二匕-旬，必要性成立.

综上所述，“归+z?|=忆-z?卜是“。4OZ2=0”的充要条件.

故选：C.

7.(2025•高三•河南•月考)设。＞0力＞0」为虚数单位，若2a+/i=〃+2ai，则而=()

A.-1R.—(7.；D-1

22

【答案】C

2a=b,

2

b=2a,a

【解析】由题得八解得,2'所以

4>0,1,2

。>0,

故选：c.

8.(2025•陕西西安•二模)已知集合4={#一2卜2},3=卜|/_以—5K0},则厂3=()

A.{x|-l<x<0}B.{.r]4<x<5}

C.{ito<.r<4}D.{.v|-l<x<0®4<x<5}

【答案】D

【脩析】因为4={刈工一2|<2}={引一2<工一2<2}={疝)<工<4},所以“4={d."0或a4},

又8={田/一44一5工0}={乂-1工4工5},则(a4)B={x|-1<A<0S£4<X<5}.

故选：D.

9.(2025•陕西西安•模拟预测)若“二>0”是“入•<〃''的必要不充分条件，则实数〃的取值范围是

x+1

()

A.(4,+oo)B.(T\4C.(Y°，TD.[-1,4)

【答案】C

【解析】根据题意，解不等式\>0,即(x-4)(x+l)>(),

解得工<一1或x>4,即不等式的解集为{小<-1或x>4}.

若“二>0”是“x<。”的必要不充分条件，

x+l

则集合{x\x<a]是集合{x\x<-1或X>4}的真子集，所以aw-l.

故选:C

10.(2025•四川泸州・一模)"。.>11^”是“3。>3"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】因为lna>h仍等价丁3“)3〃等价丁

又因为a>。>0可以推出a>〃，即充分性成立；

不能推出心6>0,例如〃=-1/=-2,即必要性不成立;

综上所述：汕”是“3">3'”的充分不必要条件.

故选:A.

高考闯关

I.（2025•高三•河北保定•月考）设aeR,则"=3"”是_£”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】法一：先判断充分性，若f=3"，因为3〃>0,则4>0,即。>0,

则1回3=如3。,即31na=aln3,即等=竽

,x>0,则/（〃）=/（3）,而广（月=上学，

XX

令广（力>0,得0</<e,令/。）<0,得x>e,

所以函数/'（X）在（0,e）上单调递增，在（e,+。）上单调递减，

乂0<x<l时，/（“<0,x>l时，〃x）>0,且ev3,

则1vave或a=3,

设g（x）=xlnx,x>。，则g<x）=lnx+l,

令/（力>0,得令/（汇）<0,得0<xvL

ee

所以函数g（x）在（咱上单调递减，在（*）上单调递增，

当lva<e时，g（a）<g⑶，

即alna<31n3,WO-In</<—In3,

3a

即则）<3、故充分性不成立；

再判断必要性，若%=3"因为1>0,贝必>0,即。>0，

则山一=1113意即;此〃=1113,即alna=31n3,则g(a)=g(3),

由于函数g(x)=xln%,x>0在(()()上单调递减，在@,+8)上单调递增，

且()<x<l时，g(x)<0,x>l时，g(x)>。，

则4=3,此时/=3",故必要性成立.

综上所述，=3""是“j=3%的必要不充分条件.

法二：若‘『=3",贝|J310g3。=〃10833,gpiog3t/-^=0.

令函数/(x)=log"-[则((幻=与翌.

33x1113

当力J()，义]时，/'(外>0；当时，f\x)<0.

IIn31(In3J

/(©在(0,义]上单调递增，在(二,+8]上单调递减.

IIn3J(In3J

八上)2=/(2]=1-咋3仙3)-匕.

Un3JIn3

令函数g(x)=l-logit-',则/(幻=.

xx"In3

当xe(0/n3)时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,In3)上单调递增，^(In3)>^(1)=0,即

/(%?=1-1%刖3)-白>0・

In3

因为八Dv。，/(9)<0,所以/(》)在八工〕和(二,9〕上各有一个零点，所以log--二=0有2个解,

IIn3/1In3

即/=3"有2个解，显然其中I个解为。=3.

][]]3

若〃？一调，则；log3a=—log,3,即log/=-.

“73aa

33

因为函数y=iog.4与函数的图象只有•个交点，所以方程Iog3〃=,只有•个解•，

即只有•个解，易得4=3.故"步=3""是"j_q"的必要不充分条件.

(I-DU-J

故选:B.

L11f2k3

2.已知集合A=Jxx=彳一记,攵£2卜8={>，)，=彳±eZ卜则()

A.ABB.A5C.ACB=0D.A=B

【答案】D

4k±3

【脩析】A=<=-次eZ=.yy=

•.MEZ,.•.2A-1表示所有奇数,4k±3也表示所有奇数,

A=Bf

故选：D.

x

3.（2025•陕西宝鸡•模拟预测）定义集合运算：A㊉（乂月万金儿二2€4卜若集合

A=B={xeN|l<x<41,C=«(x,y)y一贝|J(A㊉8)cC=

A.0{（4」）}

Cl

【答案】D

【解析】由题设可得A=8={2,3},人㊉A=.（4.1）,（用,（6,1）:6,|）卜

因为1=一'x4+』，—^-―x4+-,1x6+—,—=--x6+—,

6336363363

故（A㊉6cC=<（4』）（6。）,

故选:D.

4.（2025•云南•模拟预测）在VA8C中，角ARC所对的边分别为a,》,c,则“sinA=8sB'、是

“dCOsA=Z>cos8"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】在三角形A8C中，由d/cosA=Aos",根据正弦定理得sinAcosA=sin4cos4,

所以sin2A=sin28,

因为A8w（0,7t）,A+BG（O,TC）,所以A=8或2A+28=TT,

即A=8或A+B=二；

FhsinA=cosB,因为从€（0,兀），所以sin4>0,

则cosB>0,所以5w

由sinA=cosB=sin（四一可得A=B或A+四一8二兀，

U）22

解得4+8=］或A=］+B,

故"siM=cosA”是“c/cos4=bcosB''的既不充分也不必要条件，

故选：D.

5.（2025•贵州六盘水-模拟预测）“函数/。）=1+人在（0,+如上单调递增”是“％＜0”的（）

X

A.充分不必要条