几何中动角问题的三种考法-2024人教版七年级数学上册（原卷版）

专题08几何中动角问题的三种考法

O

A-重难点题型分类

题型1:求值问题......................................................1

题型2：定值问题.....................................................5

题型3：角度之间数量关系问题.......................................8

题型4：存在性问题...................................................11

B-能力提升...........................................................14

O镀辘

1.角的平分线

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分

线.类似地，还有角的三等分线等，如图.

（犯是的平分线

（出.（X、足/ACQ的三等分线

图6.3-10图6.3-11

【题型1:求值问题】

【例1】如图1,0为直线48上一点,过点。作射线OC,LAOC=30°,将一直角三角板（/M=

30。）的直角顶点放在点。处，一•边。N在射线。4匕另一边OM与。。都在直线4?的上方.（注:

本题旋转角度最多180。.）

（1）将图1中的三角板绕点。以每秒3。的速度沿顺时斜方向旋转.如图2,经过匕秒后,

乙AON=度（用含珀勺式子表示），若0M恰好平分乙8。。，则七=秒（直接写结

果）.

（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线。。也绕。点以每秒6。的速度沿顺时

针方向旋转，如图3,经过t秒后，^AOC=，度（用含t的式子表示）若。。平分NMON,

求£为多少秒？

（3）若（2）间的条件不变，那么经过秒0C平分480M?（直接写结果）

【变式1-1］如图（1）,48。。和4力。8都是锐角，射线。8在41。。内部，Z.AOB=a,乙BOC=

/?.（本题所涉及的角都是小于180。的角）

（1）如图（2）,0M平分N80C,ON平分乙10C,填空：

①当a=40°,夕=70。时，乙COM=,乙CON=,乙MON=

②乙MON=（用含有a或0的代数式表示）.

（2）如图（3）,尸为乙4。8内任意一点，直线PQ过点0,点。在N/10B外部：

①当0M平分4P08,0N^^z.P0A,4MON的度数为:

②当0M平分匕QOB,ON^-^^QOA,4MON的度数为；

（团MON的度数用含有a或0的代数式表示）

⑶如图（4）,当a=40。，夕二70。时，射线0P从0C处以57分的速度绕点O开始逆时针旋

转一周，同时射线0Q从08处以相同的速度绕点。逆时针也旋转一周，0M平分"0Q,ON平

分匕POA,那么多少分钟时，NM0N的度数是40。？

【变式1-2】已知OC是NAOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、

ON分别以30%10%的速度绕点0逆时针旋转.

BNCMA

图③

（1）如图①，若NAOB=140°,当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到0M\ON，处，求N

B0N4/C0M，的值；

(2)如图②，若OM、ON分别在NAOC、ZCOB内部旋转时，总有/COM=3NBON,求召生

ZAOB

的值.

(3)知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运

动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动，点M、N的速度比是2:1,在运动过程中始终

有CM=2BN,求够=.

【变式1-3】已知：如图1,点A、0、B依次在直线MN上，现将射线。4绕点0按顺时针方

向以每秒20。的速度旋转，同时射线08绕点O按逆时针方向以每秒40。的速度旋转，如图2,

设旋转时间为Z设秒WtW为秒)

(1)用含/的代数式表示乙M0A的度数.

(2)在运动过程中，当乙4。8第二次达到120。时，求，的值.

(3)如果让射线0A改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用

时多少秒，能使得乙408=30。，请直接写出，的值.

【题型2：定值问题】

［例1］已知，如图1,OB,0C分别为定角(大小不会发生改变内部的两条动射线,

Z.AOC+(BOD=180°,LAOB+乙COD=40°.

图1图2图3

(1)求乙力。。的度数；

(2)如图2,射线。M,ON分别为乙4。8,乙C。。的平分线，当N3。。绕着点。旋转时，乙MON

的位置也会变化但人•小保持不变，请求出乙M0N的度数：

(3)如图3,。£,0尸是乙4。0外部的两条射线，R/.EO3=ACOF=110°,OP平分iEOO,

OQ平分24。凡当N80C绕着点。旋转时，4P0Q的大小是否会发生变化？若不变，求出其

度数；若变化，说明理由.

【变式1-1】已知将一副三角尺(直角三角尺0A8和OCD)的两个顶点重合于点0,^A0B=

90°,“00=30°

(1)如图1，将三角尺COD绕点。逆时针方向转动，当0B恰好平分NCOD时，求N40C的度

数；

(2)如图2,当三角尺OCD摆放在4A08内部时，作射线0M平分ZAOC,

如果三角尺。CD在乙4。8内绕点。任意转动，4M0N的度数是否发生变化？如果不变，求其

值；如果变化，说明理由.

【变式1-2］如图，两条宣线48,C。相交于点。，且乙40。=90。，射线OM从08开始绕。点

逆时针方向旋转，速度为15。小，射线。N同时从0D开始绕0点顺时针方向旋转，速度为

12°/s.两条射线OM,ON同时运动，运动时间为t秒.(本题出现的角均小于平角)

A

(1)当t=2时,乙M0N=,乙AON=；

(2)当0Vt<12时，若乙40M=3440N—60。.试求出£的值；

(3)当0<t<6时，探究—:黑+〃oc的值,问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样

乙MON

的条件不是定值？

【变式1-3】已知将一副三角板（44。8=90。,/。。。=30。）如图1摆放，点O、4、。在

一条直线上.将直角三角板。。。绕点。逆时针方向转动,变化摆放如图位置.

（1）如图1,当点。、4、C在同一条直线上时，乙BOD=,度；如图2,若要OB恰

好平分乙CO。，则/AOC=度;

（2）如图3,当三角板OCD摆放在乙40B内部时，作射线0M平分乙40C,射线ON平分4800,

如果三角板。。。在2408内绕点。仔意转动，匕M0N的度数是否发牛变化？如果不变，求其

值；如果变化，说明理由.

（3）当三角板。CO从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线。M平分410C、

射线0N平分Z80D"AOC<180。,<180°）,在旋转过程中，（2）中的结论是否保持

不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a

在什么范围内时乙MON的度数是多少）.

【题型3：角度之间数量关系问题】

【例1】如图，将一副直用三角尺的直角顶点C叠放在一起.

(1)若13DCE=35°,0ACB=°；

(2)猜想：①回ACE与团BCD的大小有何关系？②回ACB与回DCE的大小有何关系？并分别说

明理由；

(3)若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C

按逆时针方向任意转动一个角度EIBCD.设①BCD=a(00<a<90°),

①(2ACB能否是(3DCE的4倍？若能求出a的值；若不能说明理由，

②三角尺ACD转动中，(3BCD每秒转动3°,当(2DCE=21。时，转动了多少秒？

【变式1-1】已知。是直线48上的一点，乙。。。=90。,。£平分乙80C.

r

⑴如图1,射线0C,00在直线48的同侧.

①若Z40C=28°,ZDOE=；若4A0C=32°,ND0E=度;

②猜想440c与MD0E之间的数量关系；

③若Z40C=30。,/BOC的内部有一射线0G,射线0G将N80C分为104两部分，求/DOG的

度数；

⑵如图2,射线0C,。。在直线A8的异侧，判断乙AOC与ZDOE之间的数量关系与②中的是否

相同，并说明理由.

【变式1-2】已知0AO8=mCOD=9O。，OE平分（35OC.

⑴如图，若SAOC=30。，则［3DOE的度数是：（直接写出答案）

⑵将（1）中的条件"MOC=30。”改为，但4OC是锐角〃，猜想图。OE与0AOC的关系，并说明

理由；

⑶若MOC是钝角，请先画出图形，再探索OOOE与0Aoe之间的数显关系.（不用写探索过

程，将结论直接写在你画为图的下面）

【变式1-3］如图，已知/力。8=150。，将一个直角三角形纸片（ND=90。）的一个顶点放在

点。处，现将三角形纸片绕点。任意转动，OM平分斜边OC与。/1的夹角，ON平分NBOD.

（1）将三角形纸片绕点。转动（三角形纸片始终保持在乙4。8的内部），若土。。。=30。，则

乙MON=：

（2）将三角形纸片绕点。转动（三角形纸片始终保持在乙4。8的内部），若射线。。恰好平分

乙MON,若乙MON=8乙COD,求“。。的度数；

（3）将三角形纸片绕点。从。C与。4重合位置逆时针转到。。与。力重合的位置，猜想在转动

过程中NCOD和NMON的数量关系？并说明理由.

备用图

【题型4：存在性问题】

【例1】已知：如图1,点4、。、8依次在度线MN上，现将射线0A绕点。沿顺时针方向以

每秒3°的速度旋转，同时射线0B绕点。沿进时针方向以每秒6°的速度前转，如图2,设旋转

时间为t（。秒“号60秒）.

（1）用含£的代数式表示下列各角的度数：^MOA=,乙NOB=.

（2）在运动过程中，当。秒WtW30秒时，匕力08达至1145°,求t的值.

（3）在旋转过程中是否存在这样的t,使得射线08是由射线0M.射线。小射线0N中的其

中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出七的值：

如果不存在，请说明理由.

【变式1-1】如图：已知唱MON=90。，射线OA绕点。从时线OM位置开始按顺时针方向以

每秒4。的速度旋转，同时射线06绕点O从射线ON位置开始按逆时针方向以每秒6。的速度

旋转，设旋转时间为/秒（04/430）.

（1）用含/的代数式表示（3MO八的度数：

（2）在运动过程中，当朋08第二次达到60。时，求f的值；

（3）射线。4。8在旋转过程中是否存在这样的r,使得射线。8是由射线OM,射线OA,

射线ON中的其中两条组成的角（指大于0。而不超过180。的角）的平分线？如果存在，请直

接写出f的值；如果不存在，请说明理由.

备用图备用图

【变式1-2］如图1,点儿O,B依次在直线匕将射线04绕点O沿顺时针方向以每

秒15。的速度旋转，同时射线08绕点0沿顺时针方向以每秒5。的速度旋转（如图2）,设旋

转时间为f（00/048,单位秒）.

⑴当/=12时，0408=

（2）在旋转过程中是否存在这样的「，使得射线0M是由射线。8、射线。4组成的角（指大于

0°而不超过180。的角）的平分线？如果存在，请求出，的值：如果不存在，请说明理由.

⑶在运动过程中，当财05=60。时，求/的值.

【变式1-3】如图1,点4、0、B依次在直线MALE,现将射线。A绕点0沿顺时针方向以每

秒2。的速度旋转，同时射线0B绕点。沿逆时针方向以每杪4。的速度旋转，直线MN保持不动,

如图2,设旋转时间为t（t的值在。到45之间，单位：秒）.

MAOBN

图1图2

⑴当t=5时，求乙40B的度数;

⑵在运动过程中，当乙4。8首次达到120。时，求t的值;

⑶在旋转过程中是否存在这样的t,使得射线。8垂直射线。4?如果存在，请求出t的值；如

果不存在，请说明理由.

【变式1-4】如图，匕力。8是平角，射线。M从。力开始，先顺时针绕点。向射线。8旋转，到

达。8后再绕点。逆时针向射线。力旋转，速度为6度/秒.射线ON从。8开始，以3度/秒的速

度绕点。向。4旋转，到当ON到达。4时，射线。M与ON都停止运动.设旋转时间为£秒.

⑴当£=12秒时，判断射线OM是否是N40N的角平分线，并请说明理由.

⑵若射线OM与射线ON垂直，求N80N的度数.

⑶在运动过程中，是否存在某一时刻，使得480N是ZMON的2倍？若存在，求t的值：若

不存在，请说明理由.

oo

一、解答题

1.（24-25七年级上•江苏淮安・期末）如图1,点O是直线AB上一点，射线0C从。4开始以每

秒3。的速度绕点。顺时针转动，射线。。从0B开始以每秒5。的速度绕点O逆时针转动，当。。、

0。相遇时，停止运动；将乙力。。、48。0分别沿0C、。。翻折，得到此。。£、乙D0F,设运动

的时间为/（单位：秒）.

⑴如图2,当0E、0/重合时，/.COD=_________________Z；

⑵当t=10时，乙EOF=°,当t=12时，乙EOF=。：

（3）如图3,射线。P在直线,48的上方，且乙40P=70°,在运动过程中，当射线OE、OP、0F其

中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出f的值.

2.（24-25七年级上•河南郑州•期末）如图，已知4408=60。，射线。C在乙4。8的内部，且

/.AOC=2乙B0C.

AA

r

O^——BO^——B

备用图

（1）上BOC的度数为______：

（2）射线0。是平面1：绕点。旋转的一条动射线,。七平方）•土coo.

①若射线。0在乙40C的内部，且乙E0C+480D=65。，求NCOE的度数；

②若〃。。=。。（0va〈40）,直接写出/BOE的度数：用含a的式子表示）.

3.（24-25七年级上•全国・期末）如图，直角△DOE边。。放置在直线工8上，现在三角形绕直

角顶点O作逆时针匀速转动，每秒钟转5。，运动时间为i（0WtW72）.

⑴当运动时间，为5秒时，£AOE=

（2）当乙4。。=150。时,求/的值;

⑶在运动过程中若射线OM平分N800,射线。N平分乙40E,当^OOE在直线48上面时

乙M0N=,当^COE在直线4B下面时NM0N=

4.（24-25七年级上•江苏•期末）如图1,点4、。、8依次在直线MN上，现将射线。4绕点。沿

顺时针方向以每秒4。的速度旋转，同时射线。8绕点。沿逆时针方向以每秒6。的速度旋转，直

线MN保持不动，如图2,设旋转时间为£（£的值在0到30之间，单位：秒）.

MAOBN

图1

⑴当£=3时，求的度数；

⑵在运动过程中，当乙4。8第二次达到60。时，求Hl勺值；

⑶在旋转过程中是否存在这样的3使得射线。8与射线OA的夹角为90。？如果存在，请直接

写出t的值：如果不存在，请说明理由.

5.(24-25七年级卜••湖南湘西•期末)已知：加图1,。5。(?分别为锐角乙4。。内部的两条动

射线，当08、。。运动到如图1的位置时，Z-AOC+Z.B0D=UOQ,AAOB4-ACOD=50°.

⑴求480。的度数;

(2)如图2,射线OM、ON分别为乙4。8、的平分线，求乙MON的度数.

(3)如图3,若。E、。尸是N/1OO夕卜部的两条射线，且NEOB=乙。0尸=90。,OP平分4EOD,OQ

平分乙40G当绕着点。旋转时，"0Q的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数;

若变化，说明理由.

6.（24-25七年级上•湖北襄阳•期末）如图1,点。是直线M〃上一点,三角板（其中乙40B=30。）

的边4。与射线OM重合，瘠它绕0点以每秒m。顺时针方向旋转到边OB与ON重合；同时射线

0C与ON重合的位置开始绕。点以每秒几。逆时针方向旋转至0M,两者哪个先到终线则同时停

止运动，设运动时间为t秒.

图1图2

（1）若m=5,n=4,t=10秒时，Z.BOC=°：

⑵若m=3,n=2,当射线。。与三角板重合时，所经历的时间是多少秒？

（3）如图2,在运动过程中，射线0P始终平分ZAOC.若m=3,n=2,当射线。4OB,0P

中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求出此时£的值.

7.（23-24七年级上•浙江宁波•阶段练习）已知。。是内部的一条射线，M、N分别为04、

0C上的点，线段OM、0N分别以30。小、ltr/s的速度绕点。逆时针旋转.

BNCMA

图③

(1)如图①,若乙AOB=140。，当。M、ON逆时针旋转2s时,分别到OM'、ON'处,求心BON'+

4coM，的值；

(2)如图②，若OM、ON分别在乙4OC、4C0B内部旋转时，总有KCOM=3Z30N,求空的

Z.AOB

值.

⑶知识迁移，如图③，C是线段4B上的一点，点M从点A出发在线段4C上向C点运动，点N

从点C出发在线段C8上向B点运动，点M、N的速度比是2:1,在运动过程中始终有CM=2BN,

8.(23-24七年级上•江西宜春・期末)如图1,点4、。、B依次在直线MN上，现将射线0A绕

点。沿顺时针方向以每秒2。的速度旋转，同时射线08绕点。沿逆时针方向以每秒8。的速度旋

转，直线MN保持不动，如图2,设旋转时间为t(04£430,单位：秒)

4.」

M-5

图1图2

⑴当£=2时，求乙40B的度数;

(2)在运动过程中，当乙力。8第二次达到60。时，求t的值；

⑶在旋转过程中是否存在这样的3使得射线0B与射线04围成的角是90。(指大于0。而小于

等于180。的角)？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由.

9.(24-25七年级上•河南南阳•期末)如图1,大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种

整体的图形之美，洋洋和美美想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好,

他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2,为方便研究，定义两手手心位置分别为A、

8两点，两脚脚跟位置分别为C、。两点，定义A、8、a。平面内。为定点，将手脚运动

看作绕点。进行旋转.

图1图2图4

(1)如图2,A、0、B三点在同一条直线上，点C、。重合，/-AOC=乙BOC,则匕40C=—°.

(2)如图3,A、0、8三点在同一条直线上，且/A0C=108°,乙B0C=72°,D0平分乙B0C,

求乙力。。的大小.

⑶第四节体侧运动中，如图4,美美发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线。E平分

乙C0D,且乙COD=30。，开始运动前A、。、B三点在同一水平线上，。40B绕点。顺时

针旋转，0A旋转速度为每秒50。，。8旋转速度为每秒25。，当0B旋转到与。。重合时运动停

止(0E是竖直方向的一条射线)

①运动停止时，/-AOD=；

②请帮助美美写出在0〜2s运动过程中心AOC与上80£的数量关系为.

10.（23-24七年级上•天津•期末）已知：如图1,点4、。、B依次在直线MN上，现将射线。力绕

点。沿顺时针方向以每秒2。的速度旋转，同时射线OB绕点。沿逆时针方向以每秒4。的速度旋

转，如图2,设旋转时间为t秒（0WtW90）.

⑴用含/的代数式表示乙MO4其结果是：/-MOA=（度）.

⑵在运动过程中，当乙力。8=60。时，求t的值.

⑶在旋转过程中是否存在这样的£,使得射线08是由射线OM、射线04所组成的角（指大于0。

而不超过180。的角）的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由.

11.（24-25七年级上•辽宁葫芦岛•期末）【问题背景】

如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为2:3时,

那么我们称这条射线是这个角的动轴分线.例如，如图1,射线0P将4MON分成4Mop和

/NOP两个角，且乙MOP:乙NOP=2:3,则。P为NMON的动轴分线：射线。Q将匕MON分成

4MOQ和/NOQ两个角，Rz.MOQ-.ANOQ=3:2,则。Q为NMON的动轴分线.

【概念理解】

（1）若N4OB=90。，OP为N408的动轴分线，贝iJzAOP=°；

图1图2

【推广探索】

(2)如图2,过直线上一点。作射线0C.再作〃0C和NBOC的动轴分线OM,ONQAOMV

乙MOC,乙BONV乙NOC),若//0。=0(0。<«<180。)，则乙MON的度数是否随着a的变

化而变化？请说明理由.

【拓展提升】

(3)如图3,点八，O,8在同一条直线上，射线0P与射线04重合，射线。Q与射线。8重合，

现将射线0P绕点O以每秒3。的速度顺时针旋转；同时射线。Q绕点。以每秒5。的速度逆时针

旋转.当射线0P与射线0Q首次重合时，射线。P,0Q同时停止运动，设旋转时间为CS.求,

为何值时，0P为乙40Q的动轴分线.

IIIII

APOQB

图3

12.(24-25七年级上•重庆渝北•期末)若ZMON=90。，对于绕点。旋转的动射线。P,将70P

喘言猾且。。一MOP工18。。,

的值定义为射线。P关于乙WON的特征值，其中：T0P

0°<乙NOP<180°.

M

O

备用图

⑴如图1,射线OP旋转至4MON的内部，且4Mop=40。时，T0P=

（2）若4DOE=30°.

①如图2,将乙COE绕点。旋转，若旋转过程中4DOE始终在NM0N内部，是否存在某一段

时刻丁。°=：%%若存在,请求出此时乙MOD的值，若不存在，请说明理由•

②。K为ZDOE角平分线，在乙DOE绕点。旋转360。的过程中，若加=：,请直接写出"ON

的值（其中，0。〈4KON<180。）.

13.（23-24七年级上•湖南长沙•期末）如图1,数轴上的点力表示的数为a,点8表示的数为从

且|a+2|+（b-8产=0.点C是线段48的中点.

图1图2

⑴点c表示的数是.

（2）若动点M从点A出发，以每秒1个单位K度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，

以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M,N同时出发，当点N到达点力时，两动点

的运动同时停止，设运动时间为£秒，则：

①点M、N表示的数分别是、（用含t的代数式