江苏省南通市2025-2026学年高二年级上册期中考试 数学试题（含解析）

江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中调研测试

数学试题

一、单选题

1.直线X-向"8石=0的倾斜角为（）

n'兀一2兀一5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

2.己知直线4：3x-4y+7=0与4：6x—（/〃+l）y+l—机=0平行，则"?=（）

A.4B.5C.6D.7

3.若方程C：x2+y2_2x+47+“=0表示圆，则实数4的取值范围是（）

A.（-oo,5]B.（一8,5）C.（5,+co）D.[5,+oo）

4.若空间向量==（1,0,1）,5=（0,1,0）,则下列向量能与瓦5构成空间的一个基底的是（）

A.万B.歹

C.7=停W）D.§=（1JO）

5.点力（2,1）关于直线》-7+1=0的对称点的坐标为（）

A.（3,0）B.（0,2）C.（0,3）D.（1,4）

6.已知7，常是空间三个不共线向量，则“向量1石*共面”是“存在三个均不为零的实数PM，J使得

pa+qh+rc=（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.在正三棱柱/14C-44G中，4B=A4=2,则直线43与4C所成角的余弦值为（）

A.7B.C.0D.—

246

8.已知直线/：”砂-1=0和圆C:/+y2_2x+4y-4=0交于48两点，设线段48的中点为“。为坐标

原点，则10M的最大值为（）

A.3+石B.2+6C.b+1D.V2+1

二、多选题

9.已知三条直线x+y+l=0,2x-y+8=0和4X+3y-5=0不能围成一个三角形，则实数"的可能取值为

()

A.-3B.3C.-6D.-

3

10.已知圆G：(x-iy+F=l与圆6：(%-2)、(k2)2=4,则()

A.圆心距。。2|二石

B.两圆的公共弦所在直线的方程为x+2y-2=0

C.两圆的公共弦长为名叵

5

D.直线3x-4尸8=0是两圆的一条公切线

II.在棱长为2的正方体力8CO-4及GQ中，E,尸分别是棱48,力。上的动点(不含端点)，且7，

则()

A.而+而+珂=2&

B.当且仅当£为48中点时，AE=AF

C.存在E,F,使得4///用£

D.直线AA,与平面AiEF所成角的正弦值的最大值为g

三、填空题

12.已知向量L=(2,2加一3,8),力=(4,2加+1,16),且万/石，则加二.

13.过点P(2,3)作圆V+V+2x+2)，+l=0的切线，则切线长为.

14.已知两条直线附+”+1=0和%x+%y-l=0都经过点力(14)，则两点片(《体)，£(外也)间的最短

距离为.

四、解答题

15.已知V/4c的三个顶点为4(4,1),8(—6,3),C(3,0).

⑴求力8边上的中线CM的长:

(2)求V//。的外接圆方程.

16.如图，在棱长为2的正四面体O-dBC中，己知£是线段8。的中点，点G在线段4E上，且

AG=2GE.

⑴用向量为，砺，反表示谢：

⑵求做「

(3)求向量方与下夹角的余弦值.

17.(1)过点P(2,3)作直线x+y-l=0的垂线，垂足为。.

①求点。的坐标；

②求以也为直径的圆被y轴截得的劣弧的长度；

(2)已知点P(x。,%)和直线/：小+砂+。=。(48不同时为零)，证明：点尸到直线/的距离

18.如图，已知正方形力8CO和矩形/CM所在平面互相垂直，AB=3,设"=(>0),点M,N分别在

线段力O,CO上，且/A/=；4O,Z)N=；DC.

33

(1)证明：ME1BN；

(2)若平面BEM上平面EFN,求/的值；

(3)设直线8M与平面"W相交于点K,求线段EK的长度(用/表示).

19.已知曲线。：刎一以+(3-1)2=4.

(1)求曲线C围成的平面图形的面积：

(2)若例,N是曲线。上的两个动点，求卜WN|的最大值；

(3)是否存在直线N=x+f与曲线。至少有三个不同的公共点？若存在，求，的取值范围；若不存在，请说

明理由.

题号12345678910

答案ADBDCABDBCDABD

题号11

答案ABD

1.A

根据百线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角.

【详解】x-岛-84=0可化为:尸冬一8,

•••直线的斜率为由，设直线的倾斜角。，则tan0=正，

33

V0<^<71,二夕=5.

6

故选：A.

2.D

利用两直线平行的充要条件列式求解即可.

［详解】由直线4：3x—4y+7=()与/2：6x_(/〃+l)y+l-〃?=0平行，

6-(w+1)\-m「Ui”.

得一二=----J——，所以m=7.

3-47

故选:D.

3.B

根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可.

【详解】因为方程。：,/+/-2x+4y+a=0表示圆，

则有(-2)2+42-44>0,解得:。<5,

故选：B.

4.D

根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得.

【详解】对于A,p=a+b,向量共面，A不是；

对于B,q=a+^bt向量成£,方共面，B不是；

对干C,尸=++3,向量r,a］共面，C不是；

对干D,假设s=xa+）仍，则（l,LO）=（x/,x）,于是歹=1,方程组无解,

x=0

即向量不共面，能构成空间的一个基底，D是.

故选：D

5.C

设对称点的坐标为（凡。），由题意可得•求解即可.

2+a

1^+i=o

2

【详解】设对称点的坐标为（。力）,

由题意可得,解得

2+a[+b,八b=3

----------+1=0

22

所以点力（2,1）关于直线x-y+l=0的对称点的坐标为（0,3）.

故选:C

6.A

利用空间向量共面的基本定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解.

【详解】因为实数2国，"均不为零，所以2=一旦2工，

pP

此时向量万万了共面，故必要性成立；

因为无51是空间三个不共线向量，若向量无尻乙共面，

则存在非零实数x>y使得a=xb+yc.则。一x坂一=0,

取P=L。=—x，=—V,即有/疝+4+4=0,故充分性成立；

所以“向量1万,己共面”是“存在三个均不为零的实数〃，夕，/，使得向+/+/下=针的充要条件.

故选：A

7.B

UUUIuum

利用正三棱柱的性质计算出4小&。，仲,K,再根据夹角公式即可求解.

【详解】由题意4B=屈已疥=26,同理可得与。=2返，

因为44_L平面48C,8Cu平面48C,所以4<_L4C,即彳］•豆心=0,

所以福.麻二(举+赤)•(而+就)=»•用+»屈+丽丽+而灰

=丽网+网园cos(7r-N48C)=2x2+2x2x］」=2,

\2，

7B石7彳瓦3c21

所以8s48出。=阿国=尔7r丁

故直线48与8c所成角的余弦值为；.

故选:B

8.D

易知直线/过定点尸(1,0),且点尸在圆。内，结合MP垂直于MC,可得动点M的轨迹方程为

(x-l)2+Cv+l)2=l,由此容易得出|OM|的最大值.

【详解】将圆C的方程化为标准方程为(4-1『+3+2)2=9,则圆心为。(1,-2),

直线-砂-1=0,易知直线恒过定点以1,0)

又(IT)?+(0+2)2<9,所以点尸(1,0)在圆内,如图所示：

由于〃尸垂直于何。，则点M的轨迹为以CP为直径的圆,

线段CP的中点坐标为N(l,-1),|CN|=1,

所以动点M的轨迹方程为(x-l)2+(y+l)2=l,

又|ON|=j2+(_])2=g,\ON\-\<\OM\<\ON\+\,

可得五-10OM区收+1,

即|。河|的取值范围为[忘-1,V24-1],

所以|。河|的最大值为J2+1.

故选：D

9.BCD

利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解.

2x-y+8=0(x=-3/、

【详解】联立I八，可得今，即两直线交点为-3,2.

当。=3时，直线x+y+l=0和直线G+3y-5=0平行，不能围成三角形；

当。=-6时，直线2x-y+8=0和直线G+3y-5=0平行，不能围成三角形；

当时，直线办+3y-5=O经过点(-3,2),三线共点，不能围成三角形；

当。=-3时，三条直线两两相交互不共点，可以围成三角形，不符合题意.

故选：BCD

10.ABD

根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个

圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D.

【详解】根据两圆方程,可知圆G的圆心坐标G(l，0),半径4=1,圆G的圆心坐标4(2,2),半径:=2.

对于A：|CC21=J(2—l)2+22，故A正确;

对干R：由A可知,l=%-6<|CCI<A+/=3,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相

减得到，即将(x-1『+/=1减去(x—2)2+5-2『=4,

得到2x—3+4y—4=-3,整理化简得x+2)，-2二。,故B正确：

对干C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心G(LO)到公共弦》+2.”2=0的距

离/=4・=乎,故弦长/=2。豆=华，故C错误；

1-51

对于D：圆心c。。)到直线3-的距离4=R=F,圆心",2)到直线3—=。的距

离八段"f故直线31尸8二。是两圆的一条公切缘故D正确.

故选：ABD.

11.ABD

以。为原点,建立坐标系,设E(2,〃,0),尸(叫0,0),根据席•率=0,求得为=〃,由

用+乔+丽=(-2,2,0),可判定A正确；由麻卜|阿，求得〃7=1,可判定B正确；由而=4瓦后，列

方程方程组，可判定C错误：过,4作证得41M4即为直线44与平面4E/所成角，求得

，「…m(2-⑼

tan/4M4=2j2〃Hm_2)+4'利用换元法和函数的单调性，可判定D正确.

【详解】以。为原点，以。4。。,。"所在的直线分别为北乂2轴，建立空间直角坐标系，

如图所示,可得所(2,2,2),D,(0,0,2),如2,0,0),4(2,0,2),

设£(2,〃,0),F(m,0,0),其中0<m,〃<2可得屏=(2,〃,一2),率=(m-2-2-2),

因为。或_LqF,贝I」席.丽二2(，〃-2)—2〃+4=0,

可得加=〃，所以E(2,机,0),产(加,0,0),

对于A,由BiE+EF+FD1=(0,w-2,-2)+(m-2,0)+(-w,0,2)=(-2,-2,0),

可制率+呼+丽;|=2/，所以A正确：

对于B,由於=(0,机,0),万=(加一2,0,0),可得|词=〃〃词=2—机

若AE5F,可得|万|=|不所以〃?=2-6，解得〃2=1,

即E,尸分别为/凤力。的中点,所以B正确；

对于C,由衣=(用一2,0,-力,丽=(0,m-

若4FHB\E,可得乖//解，则存在实数义使得乖=义瓦三，

〃?-2=()

可得<0=/1(m-2),可得小=2,因为0<〃?<2,所以加不存在，

-2=-22

所以不存在£尸使得4尸/，4石，所以C错误:

对于D,过点力作4"_LE产，连接4",

在正方体ABCD-44GA中，可得AA]L平面ABCD,

因为£/u平面/44CO,所以四_LEZ"

又因为且力〃,44u平面力4"，所以所_1.平面叫时，

因为Mu平面AEF,所以平面A[AM1平面A]EF,

所以即为直线AA,与平面AXEF所成角,

在直角△力瑁7中，由《七=”，力产=2-〃?，可得E尸=〃1+力尸=，2〃/一4m+4，

AE-AF

所以4必=

EF，2〃广一46+4yj2m(m-2)+4

AMAM

在直角A443中，可得tan/4A〃=

AAX22y]2m(m-2)+4'

令I=，2〃广一4/〃+4=J2(〃?一1尸+2,其中0<〃?<2,

可得[夜,2),且〃?(〃?-2)=’」,所以tan/4M4=±^—=[•(9-1),

由函数/(f)=；T在止[加,2)上单调递减，

所以当"五时，/(。而=/(3)=0,所以tanZ4M4的最大值为当，

所以sin/4M4的最大值为g,所以D正确.

故选：ABD.

根据向量平行可知存在实数A,使得5=而，结合向量坐标运算求解即可.

【详解】因为向量2=（2,2〃-3,8）,B=（4,2〃I+1,16）,

若I//B，则存在实数〃，使得不=序=（4£（2机+1%16%）,

4£=2

可得《（2加+1）〃=2〃L3,解得，

冏=8

故答案为：

13.2瓜

把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可.

【详解】方程/+/+2X+2卜+1=0可化为（x+l『+（y+l）2=l,圆心半径〃=1,

所以切线长为《MP，—户=A/32+42-12=2c.

故答案为：2瓜

14.V2

确定爪4力），鸟色也）分别在直线x+y+i=o,x+y-i=o上,由平行线间距离即可求解.

【详解】因为两条直线％工+打+1=0和生x+"y-l=O都经过点4（1,1）,

所以％+4+1=0,出+4一1=0,

所以4（q,4）,2（42也）分别在直线工+歹+1=0/+»-1=0上,

所以两点6（6力），乙（/也）间的最短距离为两平行线间距离，即d

故答案为：五

15.⑴2后

⑵d+/+x-9y-12=0

（1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可.

（2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可.

【详解】（1）由中点坐标公式得18的中点〃（-1,2）,

由两点间距离公式得CM=J(3++(0-2尸=25/5.

(2)设三角形外接圆方程为x2+y2+£>x+a+/7=0,(Q2+£2—4”>0),

17+4。+£+/=00=1

因为点4丛。在所求的圆上，可得，45-6O+3E+尸=0解得七=-9,

9+3。+/=0F=-12

贝IJV48c外接圆的方程为一+/十1一切-12=0.

16.(I)OG=一。/+—OB+—OC

333

⑵巫

3

⑶£

O

(1)根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；

(2)利用向量的模与数量积的关系求解即可：

(3)利用向量的夹角公式计算即可求解.

[详解】(1)=OA+AG=OA+-JE=OA+-{OE-OA^=-OA+-OE

3333

=-M+-[-OB+-O^=-dA^-bB^-OC.

33(22J333

⑵1闲=《项+冲+冲)

+OB*12+OC2+2OAOB+2OAOC+2OB-'(

=llf4+4+4+2x2x2xl+2x2：<2xl+2x2x2x1

\91222

二亚

(3)因为诙」而+,反,小丽-7，

22

所以诋.刀二；砺+；碇}(丽_叫=；加+；反.历_；砺.况_；沅毋

1_11__n13八兀1-C兀

=—x2-+—x2x2xcos----x2x2xcos----x2x2xcos—.

2232323

=2+l-l-l=l.

由正四面体O-"C的棱长为2,可得陷="画=2,

OEJB1yfj

所以cos〈OE,AB>=

|OE||J5|2拒6,

17.(1)①。(0,1)；②与；(2)证明见解析

(1)①求得宜线也的方程，联立方程求解即可；②求得圆的方程，由勾股定理可得NMCN=5,计算即

可求解:

(2)方法一：求得过点/小,%)和直线/：人+约，+。=0垂直的直线方程，联立方程组求得交点坐标，由

平面中两点间的距离公式即可得证；方法二：过点尸分别作N轴、x轴的垂线，分别马/相交于

,内,%)”(公,为),由等面枳法计算即可得证.

【详解】(1)①因为直线》+2-1=0的斜率4=—1,

所以其垂线的斜率您0=】，

所以直线尸。的方程为x-y+i=o.

联立kx+；y+-i1==。0'解得°(/°』、)・

②因为*2,3),0(0,1),

所以以产。为直径的圆的圆心。(1,2),半径/・=上，

所以圆C的方程为(x-l)2+(y-2)2=2.

设限|C与歹轴交于两点，则河人=2>//一42=2，

所以MN?=aw2+cM,

所以/MCN=1,所以所求弧长为叵.

22

(2)法一：设力工0.8/0,过点P(%J。)作直线/的垂线,垂足为G.

则过点P(%,%)和直线/：&+向，+C=0垂直的直线方程为Bx-Ay=BxQ-Ay0.

—ABy()—AC

22

Ax-\-Bv+C=0“G-A+ft

联立I/D,，解得2c，

2

Bx-Ay=Bx0-Ay0_-/f5x0+Ay0-BC

rc=

所以点G的坐标为(8尢：,号「力C；)&q」,一8C'.

IA"+A1+4”)

C4%+CJ\Ax+By+C\

d=QG

『7G2+联

当,4=O,AHO时.

—J_Byo+C」4%+8j，o+q

8BV7TF

所以点p到直线/的距离d=叱+学：a

JH+B2

法二：过点P作PGJL/,垂足为G.

当时，

过点p分别作y轴、x轴的垂线，

分别与/相交于M（%，%）,N（凡,为）.

由Axi+By0+C=0,Ax()+By2+C=0,

得“广心产出二叫二

所以PM=|x「/|=&o+?o+C,

A

PN=Ef1=产+瓢+c

因为PG是RtAPMN斜边上的高，

所以PG=归=四冈=I";版。上。|

I阿UPM'PN?JT+炉

\Ax+By+C\

即点P到直线/的距离(/=QQ

jT一炉

当,4/0,4=0时,

CAx+C|4%+瓦%+q

x。+-7=0

AA

当4=0,8r0时,

」Cl^y+Cl_|4/J孙）^C|

d=y0+—0

*B—广C+庐

综上，点尸到直线/的距离俳=+孕:°

^JA2+B2

18.(1)证明见解析

⑵f=3

(1)利用面面垂直的性质可得力广J■平面”8。。，进而利用线面垂直的性质可得加71力。,力尸_L4B,建立

空间直角坐标系，利用向量法可得结论；

(2)求得平面8EM的一个法向量和平面E/W的一个法向量，利用向量法可求f的值；

(3)设麻=4两，求得丽=(3-43/1-2,0),利用向量法可求得4=(,进而可求解.

【详解】(1)因为平面48C。工平面力。瑁"平面44co口平面4CE尸二力。，

在矩形力匿尸中，4。1力凡力尸匚平面力。以"所以力£_L平面/18C。.

又因为4。u平面ABCD,ABu平面ABCD,所以4歹_L/D力/_L力8.

以｛而，刀，酢｝为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系,

则8(0,3,0),"(1,0,0),E(3,3,f),N(3,l,0),尸(0,0,)

所以砺=(2,31),丽=(3,—2,0),

所以加•丽=2x3+3x(-2)=0,

所以ME_L8N.

(2)诟=(3,04,丽=(1,-3,0),丽=(-3,-3,0),丽=(0,-2,-北

设平面BEM的一个法向量为”|二（内,必,zj,

瓦汗*=0[x3.…3y.=W0令必—得9

则）即

BE•/?!=0

所以平面8EM的一个法向量为

设平面EFN的一个法向量为万二（±N2，z?），则

EF♦〃，=()一3x,-3%=02

____1，即[-=。'令/"得…Zin?,

EN•/?,=0

所以平面E/W的一个法向量为第

若平面平面E/W,则履后=（）,

1Q

得3-1-5=°，解得『=9,

因为f>0,所以f=3.

（3）设就一见丽,则K（/l.3-320）,所以脐=（3-234-2,0）.

-2\_____

由（2）可知，平面E/W的一个法向量〃2=1,-1，7”所以KM%=0,

得"2一3八2=。，解得之

所以人停T。）,所以欣=一715

『一’

14

所以

19.（1）4（百+1+年）

（2）2A/2+4

（3）不存在，理由见解析

【详解】（1）曲线C既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称.

当之0时，曲线方程为（x—1尸+3—杼=4.

记圆心为力,与修尸轴分别交于民C两点,

则8（6+l,0