世少赛2025年九年级数学竞赛试题解析

世少赛2025年九年级数学竞赛试题解析

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.两个质数的和为20，其中较大的质数是（）A.13B.17C.19D.232.关于x的方程x²+2kx+k²-1=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k≥1B.k≤-1C.全体实数D.k=03.若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，则BC:EF=（）A.2:3B.3:2C.4:9D.9:44.二次函数y=-x²+4x-1的最大值是（）A.3B.4C.5D.65.从3名男生和2名女生中选2人参加演讲比赛，恰好选1男1女的概率是（）A.3/5B.2/5C.1/5D.4/56.圆O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，过P作圆O的切线，切点为A，则PA的长为（）A.3B.√39C.√89D.√137.不等式2x-1≤3的解集是（）A.x≤2B.x≥2C.x≤1D.x≥18.sin60°的值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√39.因式分解x³-4x的结果是（）A.x(x²-4)B.x(x-2)²C.x(x+2)(x-2)D.(x²+2x)(x-2)10.一个不透明的袋子里有2个红球和3个白球，从中放回地摸2次，两次都是红球的概率是（）A.4/25B.2/25C.1/5D.1/2二、填空题（总共10题，每题2分）1.已知a=2³×3，b=2²×3²，则a和b的最小公倍数是______。2.若x+1/x=3，则x²+1/x²=______。3.圆内接四边形ABCD中，∠A=70°，则∠C=______度。4.二次函数y=x²-2x+3与x轴的交点个数是______。5.把7个苹果放进3个抽屉，至少有一个抽屉里有______个苹果。6.若△ABC∽△DEF，面积比为4:9，则相似比为______。7.方程2x²-5x+1=0的两根之和是______。8.某建筑物高h米，从地面点A测得顶部的仰角为30°，则A到建筑物底部的距离为______米（用h表示）。9.绝对值不等式|x-2|<1的整数解有______个。10.一个密码由2个数字（0-9）和1个字母（A-Z）组成，不同的密码有______种。三、判断题（总共10题，每题2分）1.所有质数都是奇数。（）2.二次函数y=2x²-4x+1的对称轴是x=1。（）3.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。（）4.若a>b，c>d，则a+c>b+d。（）5.圆的直径所对的圆周角是直角。（）6.正弦函数的值域是[-1,1]。（）7.排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关。（）8.因式分解x⁴-1的结果是(x²+1)(x²-1)。（）9.两个独立事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。（）10.分式方程的增根是使分母为零的根。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.某工厂去年的产值为100万元，今年增长到121万元，求年平均增长率。2.如图，在△ABC中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC。3.某商店销售某种商品，每件成本为50元，售价为x元时，销售量为(100-x)件，求利润的最大值。4.证明：任意三个连续整数的和能被3整除。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，讨论△ABC的面积及形状。2.某学校要购买一批笔记本，甲店每本2元，买10送1；乙店每本1.8元，无优惠。讨论购买多少本时，甲店更划算。3.从圆外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，讨论PA与PB的关系，并说明理由。4.有A、B、C、D四人进行乒乓球单循环赛，每两人赛一场，胜一场得2分，负一场得0分，讨论当A得6分时，其他三人的得分可能情况。答案一、单项选择题1.B2.C3.A4.A5.A6.B7.A8.C9.C10.A二、填空题1.722.73.1104.05.36.2:37.5/28.√3h9.110.2600三、判断题1.错2.对3.对4.对5.对6.对7.对8.错9.对10.对四、简答题1.设年平均增长率为x，列方程100(1+x)²=121，解得(1+x)²=1.21，1+x=1.1（舍去负根），x=10%。答：年平均增长率为10%。2.因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等），根据AA相似判定定理，△ADE∽△ABC。3.利润y=(x-50)(100-x)=-x²+150x-5000，顶点横坐标x=75，此时利润y=25×25=625元。答：利润最大值为625元。4.设三个连续整数为n-1、n、n+1，和为3n，3n能被3整除，故任意三个连续整数的和能被3整除。五、讨论题1.先求坐标：A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)，AB长4，OC长3，面积=1/2×4×3=6。计算边长：AC=√10，BC=3√2，AB=4，三边平方和关系显示为锐角三角形。结论：面积6，形状为锐角三角形。2.甲店费用=2×(x-floor(x/10))，乙店=1.8x。当x为10的倍数时，两者费用相等（如x=10、20）；x非10倍数时，乙店费用更低（如x=11，甲20、乙19.8）。结论：甲店优惠力度不如乙店，无购买数量使甲店更划算。3.PA=PB且∠APO=∠BPO（O为圆心）。理由：切线长定理，连接OA、OB、OP，Rt△OPA≌Rt△OP