2026年初中数学几何证明与解题技巧试卷

2026年初中数学几何证明与解题技巧试卷1．（单空填空）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在BC上，且BD＝CD．若E为AC上一点，使得∠ADE＝∠CAD，则∠CDE＝__________°．2．（单空填空）正方形ABCD边长为1，以A为圆心、AB为半径作弧交对角线AC于P，则PC＝__________（结果用最简根式表示）．3．（单空填空）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝10，高为6．若E、F分别为AB、CD的中点，则四边形AEFD的面积与四边形EBCF的面积之比为__________．4．（单空填空）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点P在斜边AC上，满足AP∶PC＝1∶2，则点P到直线BC的距离为__________．5．（单空填空）圆O的半径为5，弦AB长为8，C为劣弧AB的中点，则AC＝__________．6．（单空填空）正六边形ABCDEF中心为O，边长为2，则向量→OA+→OC+→OE的模为__________．7．（单空填空）在△ABC中，AB＝7，AC＝8，∠A＝60°，点D在BC上，使得BD∶DC＝2∶1，则AD＝__________（结果保留根号）．8．（单空填空）已知圆内接四边形ABCD中，∠A＝70°，∠B＝110°，则∠C－∠D＝__________°．9．（单空填空）在△ABC中，内切圆与BC、CA、AB分别切于D、E、F，已知BC＝a，CA＝b，AB＝c，则△AEF的周长与△ABC的周长之比为__________（用a、b、c表示）．10．（单空填空）如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝4，AA′＝12，点P在棱CC′上，且CP∶PC′＝1∶2，则AP与平面BDD′B′所成角的正弦值为__________．11．（解答题）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，点D在AB上，使得AD＝BC．求证：∠BCD＝30°．12．（解答题）已知圆O与圆O′外切于点T，过T作两圆公切线l，在l上取点A、B（A、B在T同侧），使得AT＝BT．设圆O的弦AC与圆O′的弦BD均过T，且AC、BD分别交圆O、圆O′于C、D．求证：四边形ACBD为平行四边形．13．（解答题）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P在BC上，满足BP∶PC＝1∶2，点Q在AP上，满足AQ∶QP＝1∶1，直线BQ交AC于R．求CR∶RA．14．（解答题）正方形ABCD边长为1，以A为圆心、1为半径作圆，交对角线AC于P，过P作PQ⊥AB于Q，连结DQ．求∠ADQ的大小，并证明你的结论．15．（解答题）已知正三棱锥P－ABC底面边长为6，侧棱长为9，点M在侧棱PA上，满足PM∶MA＝1∶2，点N在底面△ABC内，使得MN∥平面PBC．求线段MN的最小长度，并指出此时N的位置．16．（综合探究）在平面直角坐标系中，给定两点A(－3，0)、B(3，0)，动点P满足PA＋PB＝10．设直线l：y＝kx＋1与P的轨迹交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过原点O．求k的所有可能值，并证明不存在其他值．17．（综合探究）如图，△ABC内接于圆O，H为垂心，D为BC中点，直线AD交圆O于E（E≠A）．求证：HD＝DE．18．（综合探究）在凸四边形ABCD中，AB＝CD，AD≠BC，对角线AC、BD交于O，且∠AOB＝60°．设M、N分别为AB、CD中点，求证：MN与AC的夹角为30°．19．（综合探究）已知圆O半径为R，定点A在圆内，OA＝a（0＜a＜R）．过A作两条互相垂直的弦PQ、RS，求PQ²＋RS²的最大值，并指出取得最大值时PQ、RS的位置特征．20．（综合探究）在△ABC中，∠A＝60°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，满足a²＝b²＋c²－bc．设I为内心，O为外心，H为垂心，求OI²＋IH²＋OH²的值（用a、b、c表示），并化简至最简．——————————答案与解析——————————1．答案：30解析：由AB＝AC得底角70°．D为中点，AD为高与角平分线．设∠CAD＝α，则∠ADE＝α，故△ADE为等腰，AE＝DE．在△ADC中，∠ADC＝90°，∠C＝70°，故∠DAC＝20°，于是α＝20°，∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－20°＝70°，再减去∠ADB＝90°可得∠CDE＝30°．2．答案：2解析：对角线AC＝22，AP＝1，故PC＝AC－AP＝23．答案：11∶19解析：梯形面积＝12(4+10)×6=42．中位线EF＝4+102=7．四边形AEFD为梯形，上底AD＝4，下底EF＝7，高3，面积＝4．答案：4解析：AC＝5，AP＝53．用面积法：△ABC面积＝6，P到BC距离h满足12×4×5．答案：2解析：弦长8⇒弦心距3．C为劣弧中点，则OC⊥AB，延长OC交圆于C，则AC为弦，半弦长4，弦心距3，故AC＝246．答案：2解析：正六边形中心角60°，→OA+→OC+→OE为三向量夹角各120°，和为零向量，模为0，但O为中心，对称性得和向量模＝227．答案：2解析：先用余弦定理求BC＝272+828．答案：0解析：圆内接四边形对角互补，∠C＋∠A＝180°⇒∠C＝110°，∠D＝70°，故∠C－∠D＝40°－40°＝0（注：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°，已给∠A＝70°，∠B＝110°，则∠C＝110°，∠D＝70°，差为40°，原卷误写0，更正为40）．9．答案：b+c-a解析：内切圆切点性质得AE＝AF＝s－a，故△AEF周长＝2(s－a)，△ABC周长＝2s，比值＝s-as10．答案：12解析：建系A(0,0,0)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(3,4,8)．平面BDD′B′法向量→n=(4,3,0)．→AP=(3,4,8)，夹角正弦＝|→AP·→n||→AP||→n|11．证明：在AB上取E使AE＝BC，连CE．由AB＝AC，∠A＝20°，得∠ABC＝80°．易证△BCE为等腰，∠BCE＝20°，故∠BCD＝30°．12．证明：公切线l垂直于连心线，AT＝BT⇒T为AB中点．由幂定理得AC·AT＝AT²，BD·BT＝BT²，故AC＝BD，且AC∥BD，从而ACBD为平行四边形．13．答案：CR∶RA＝1∶2解析：用质量点或梅涅劳斯定理：直线BQR截△APC，PBBC14．答案：45°解析：P在AC上，AP＝1，PQ⊥AB⇒Q为AB中点，DQ为对称线，易证△ADQ为等腰直角，故∠ADQ＝45°．15．答案：最小长度＝22解析：用空间向量，设底面中心O，建立坐标系，求平面PBC法向量，设N在底面满足MN∥平面，则MN最小值为点M到平面距离，计算得22316．答案：k＝±1解析：P的轨迹为椭圆x225+y216=117．证明：用垂心性质，D为BC中点，AD为中线，延长HD交圆于E，由对称性HD＝DE．18．证明：用向量法，设O