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2026数学竞赛试题及答案1.设实数a,b,c满足的值，并证明你的结论。【答案】原式通分得由a+b+=2.求所有正整数n使得+3n+【答案】记f(n)f于是g(n)+故只需检验n=1。代入得g(3.设P(x)为整系数多项式，且对任意整数k有PP其中R(【答案】由费马小定理，−x≡0(mod7)对所有整数xP对任意整数k有S(k)≡P(k)≡4.在△ABC中，AB=AC，∠A=【答案】设ABB设BD=x，则DC==在△A两式相除得=而∠B∠5.设=1，=+（l【答案】平方得=累加有=由≥知余项趋于0，故l6.求所有实数x满足x其中t表示t的小数部分。【答案】令x=n+f，f因∈ℤf若2nf+f验证2nf+f解得f需f<1，仅n=0时成立，此时x7.设p为奇素数，证明【答案】在中，1,2≡8.设A为2026×2026实矩阵，满足=A+I【答案】由−A−I(设λ为A的特征值，则−λdet9.在中，给定曲面S求S所围立体的体积。【答案】配方得(令u则Jacobian为，曲面化为+=1，为圆柱。高为wπ实际曲面为椭球，重新配方：(得(令u=x+y+为标准椭球，半轴长,,·10.设f:[0,1∈并给出取等条件。【答案】由Cauchy–Schwarz，1故∈取等当且仅当(x)≡11.设G为有限群，H≤G且[G【答案】考虑G在G/H上的左乘作用，得同态ρ:[因p为最小素因子，故[G:K]无大于p的素因子，从而[G:K12.计算∈【答案】令x=I已知∈故I13.设a,b,的最小值。【答案】由Cauchy–Schwarz，∑而∑≤∑取a=b=14.设,,为复数，满足|+证明：△为正三角形。【答案】由||=1知三点在单位圆上。设=，=取模平方得3而c当且仅当三角差为，故三点均分圆周，为正三角形。15.设f(n)为nn【答案】

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