2025年安徽省宣城市宁国中学自主招生数学试卷（含答案）

2025年安徽省宣城市宁国中学自主招生数学试卷一、选择题：共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）已知方程（x2+3x）2+4（x2+3x）﹣45＝0，则该方程所有的实数根之和为（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．02．（4分）从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为m，n，则不等式组x-A．12 B．13 C．14 3．（4分）已知3m＝6，3n＝a，2n＝b，且ab＝27，则mn的值为（）A．30 B．27 C．92 D．4．（4分）在如图所示的平面内，△ABC中∠ACB＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿CD和DE折叠，点B和点A重合于点F．若AB＝40，AE＝7，则tan∠EDF的值为（）A．724 B．715 C．35 5．（4分）对于自变量为x的函数，我们把使函数值y等于零的实数x叫做函数的零点．如果函数在a≤x≤b上的图象是一条连续不断的曲线，并且在x＝a和x＝b时的函数值乘积为非正值，则该函数在a≤x≤b范围内至少有一个零点，那么对于函数y＝2x+2x2﹣4x﹣5在下列范围内一定有零点的是（）A．﹣2≤x≤﹣1 B．﹣1≤x≤0 C．0≤x≤1 D．1≤x≤26．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，点E在射线BD上运动，EF与边AB所在直线交于点F，且∠FEC＝90°，连接FC．当AB＝6，AC＝10时，①△ABD∽△EDC；②∠A＝∠ECF；③当EF＝EB时，则∠EFC+2∠CFB＝90°；④当EF＝EB时，则△BCF的面积为7687．则以上说法正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．7．（5分）因式分解：x3﹣2x2y﹣7xy2﹣4y3＝．8．（5分）如图，已知⊙O的半径为4，一条直线AB经过圆心O，另一条直线AC与⊙O分别交于点C和点D，∠A＝25°，∠ABD＝10°，则弦CD的弦心距等于．9．（5分）如图，已知一次函数y＝x+6的图象与反比例函数y=kx的图象在第二象限分别交于点A和点B，过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点C．当四边形ABCD的面积为12时，则k＝10．（5分）已知一列数a1，a2，a3，a4，a5，⋯，an（其中n为正整数），其中a1=32，a2=a1+32，a3=a2+98，a4=a三、解答题：共5题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．11．（15分）（1）现有十名学生参加数学素质测试，测试成绩分别为83，85，86，86，87，89，90，93，95，96，请计算这组数据的方差；（2）先化简代数式：x2xy+y212．（15分）在平面直角坐标系中，点A、B、C、D、E的坐标分别为（﹣7，1），（1，1），（1，7），（7，﹣1），（﹣1，﹣7）．（1）请在图1中用无刻度的直尺将线段DE分为五等分；（保留作图痕迹，不写作法）（2）请在图2中用无刻度的直尺画出△ABC的内切圆的圆心P；（保留作图痕迹，不写作法）（3）点Q为⊙P上一动点，求△QED面积的最大值．13．（15分）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC＝90°，过点A的直线与CD、CB的延长线分别交于点E和点F，EO的延长线平分BC并交BC于点H，∠AEO＝∠ADB，AB=23，ADCD=3（1）求∠EAO的值；（2）求线段BC的长；（3）如图2，连接FO，求证：AD∥FO．14．（15分）已知矩形ABCD中，AB＝6．（1）如图1，若AD＝AB且点E、F分别为AD、AB的中点，BE与CF交于点P，求CP的长；（2）如图2，若AD＝AB+2，点E为AD的中点，以点E为圆心，AE为半径作圆，点I为AE的中点，延长BI交⊙E于点M，求MIBI（3）如图3，若AD＝AB+2，点P在BC上且BP＝2，T为AD上任意一点，点N在四边形ABCD内，且∠TBP＝∠TPN＝∠PCN，连接AN，求AN的最小值．15．（16分）如图1，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点．（1）如图2，若点P为抛物线上位于第一象限的一点，且tan∠CBP=（2）若抛物线上有两动点F、G，且直线FG与x轴正方向夹角的正切值为2，直线BF、BG分别与y轴交于D、E两点，证明：C为DE的中点；（3）如图3，若Q为抛物线上一动点，且QD⊥BC，QE∥y轴，点N在x轴上，四边形CENM为平行四边形，求当DE最大时，CM+CN的最小值．

2025年安徽省宣城市宁国中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．解：设y＝x2+3x，则y2+4y﹣45＝0．∴判别式Δ＝b2﹣4ac＝16+180＝196，∴y=-4±1962=-4±142，即y1＝5，y2＝﹣9．∴x2+3x＝对于x2+3x＝﹣9，即x2+3x+9＝0，判别式9﹣36＝﹣27＜0，无实数根．对于x2+3x＝5，即x2+3x﹣5＝0，有实数根，根之和为-ba=-3．∴所有实数根之和为﹣32．解：∵不等式组x-m＜3，2(x-n)+3＞1∴解集为n﹣1＜x＜3+m，整数解个数为（3+m）﹣（n﹣1）﹣1＝m﹣n+3，令m﹣n+3＝2，得m﹣n＝﹣1，从1，2，3，4中选两个不同的数作为m和n，12341（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）总情况数4×3＝12，满足m﹣n＝﹣1的（m，n）对为（1，2）、（2，3）、（3，4），共3种，∴概率312=13．解：根据题意可知，ab＝3n×2n＝（3×2）n＝6n＝（3m）n＝3mn＝27，∵27＝33，∴3mn＝33，∴mn＝3．故选：D．4．解：如图，由折叠知∠3＝∠BDC，∠EDF＝∠EDA，而∠BDC+∠3+∠EDF+∠EDA＝180°，∴∠3+∠EDF＝90°，即∠EDC＝90°．又由折叠知∠B＝∠2，∠A＝∠1，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠1+∠2＝90°，即∠CFE＝90°，∴∠EDF＝∠4，∴tan∠由折叠知BC＝CF，AE＝EF，故设CE＝x，CE2﹣EF2＝CF2，CF2＝CB2＝AB2﹣AC2，∵AB＝40，AE＝7，∴CE2﹣EF2＝CF2＝CB2＝AB2﹣AC2，∴x2﹣72＝402﹣（x+7）2，解得x1＝25，x2＝﹣32（舍）．∴CE＝25，CF＝24，∴tan∠故选：A．5．解：根据条件只需验证各选项区间端点函数值乘积是否非正，A选项，x＝﹣2时，y=x＝﹣1时，y=在x＝﹣2和x＝﹣1时的函数值乘积为正值，不符合题意；B选项，x＝﹣1时，y＝1.5，x＝0时，y＝20+2×02﹣4×0﹣5＝1﹣5＝﹣4，在x＝﹣1和x＝0时的函数值乘积为非正值，符合题意；C选项，x＝0时，y＝﹣4，x＝1时，y＝﹣5，在x＝0和x＝1时的函数值乘积为正值，不符合题意；D选项，x＝1时，y＝﹣5，x＝2时，y＝22+2×22﹣4×2﹣5＝4+8﹣8﹣5＝﹣1，在x＝1和x＝2时的函数值乘积为正值，不符合题意．故选：B．6．解：∵∠ABC＝90°，∠FEC＝90°，∴∠ABC＝∠FEC，∴四边形BCEF为圆内接四边形，∴∠ECF＝∠ABD，∵D是Rt△ABC斜边AC中点，∴AD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴∠A＝∠ABD，即∠A＝∠ECF，故②正确；∵△ABD和△EDC只有一对对顶角相等，故①错误；当EF＝EB时，由四边形BCEF为圆内接四边形，∴∠1＝∠2，∵EF＝EB，过E作EH⊥FB，由∠ABC＝90°，∴HE∥BC，∴∠2＝∠3，∵D点是Rt△ABC斜边AC中点，∴BD＝CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴∠2＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF，∴∠EFC+∠CFB＝∠EBF，而∠EFC＝∠2，∠EBF+∠2＝90°，∴∠EFC+∠CFB+∠2＝90°，2∠EFC+∠CFB＝90°，故③错误；∵AB＝6，AC＝10，∴BC=AC∵∠1＝∠4，∠FEC＝∠ABC，∴△ECF∽△BAC，∵AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5，∴CE：EF：FC＝3：4：5，故设CE＝3k，EF＝4k，FC＝5k，则EB＝4k，∵∠3＝∠4，∴sin∠3=∴HB=∴FB=2在Rt△FBC中，根据勾股定理得82+(S△BCF=故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．7．解：x3﹣2x2y﹣7xy2﹣4y3＝（x3+y3）﹣（2x2y+7xy2+5y3）＝（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣y（2x2+7xy+5y2）＝（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣y（x+y）（2x+5y）＝（x+y）（x2﹣3xy﹣4y2）＝（x+y）（x+y）（x﹣4y）＝（x+y）2（x﹣4y）．8．解：如图，连接OD，OC，过O作OH⊥CD，∵∠A＝25°，∠ABD＝10°，∴∠CDB＝∠A+∠ABD＝35°，∵OB＝OC＝OD，∴∠ODB＝∠ABD＝10°，∴∠CDO＝∠CDB+∠ODB＝35°+10°＝45°，∴∠DCO＝∠CDO＝45°∴△ODC为等腰Rt△，∵CO＝DO＝4，∴CD=∴OH=故答案为：229．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴k＝x1y1＝x2y2，y1＝x1+6，y2＝x2+6．由条件可得12∴y2x1﹣x2y2+x1y1﹣y1x2＝24，∴y2x1﹣y1x2＝24，∴（x2+6）x1﹣（x1+6）x2＝24，∴x2x1+6x1﹣x1x2﹣6x2＝24，化简整理得x1﹣x2＝4，又联立方程组得x+6=∴x2+6x﹣k＝0，∴x1和x2是方程x2+6x﹣k＝0的两根．由条件可知x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣k，∴(x即(x∴36+4k＝16，解得k＝﹣5．故答案为：﹣5．10．解：已知一列数a1，a2，a3，a4，a5，⋯，an（其中n为正整数），∵a1∴a2a3a4a5∴a6∴an故答案为：10516，n三、解答题：共5题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．11．解：（1）把原数据均减去85得：﹣2，0，1，1，2，4，5，8，10，11，∴x=∴s2（2）原式==x=x=x=x=(=x∵x=y=3代入x、y，原式=(12．解：（1）如图1，H1，H2，H3，H4是线段DE的五等分点；（2）△ABC的内切圆的圆心P，如图2即为所求；（3）由图3根据网格的特点可得AC∥ED，且AC与ED两平行线间距离为10，∴点Q为AC与⊙P的切点，由图3根据勾股定理可得ED=即△QED的面积的最大值为S△13．（1）解：∵EO的延长线平分BC，∴BH＝CH，∴OH⊥BC，即∠CHO＝90°，∵AB=∴∠ADB＝∠ACB，∵∠AEO＝∠ADB，∴∠AEO＝∠ACB，在△AEO和△HCO中，∠AOE＝∠HOC，∴∠EAO＝∠CHO＝90°．（2）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，根据勾股定理得：AB2+BC2＝AD2+CD2＝AC2，∵ADCD故设AD=3k，CD＝2k（k≠0），BC＝x（x∴(23)2+x2=(3k∵S四边形∴3k2+3x=9037，即7∴把②代入①得x2+7x﹣78＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣13（舍），即BC的长为6．（3）证明：由（2）得BC＝6，又∵AB=2∴tan∠∴∠ACB＝30°，∴AC=∴AO=又由（1）得∠EAO＝90°，∴EF是⊙O的切线，∴FA⊥AC，即∠FAC＝90°，所以FA=∴AOFA又∵ADCD∴ADCD=AO在Rt△FAO和Rt△CDA中，∵ADAO=CDFA，∠FAO＝∠∴Rt△FAO∽Rt△CDA，∴∠AOF＝∠DAC，∴AD∥FO．14．解：（1）解法一：由题意可知AD＝AB＝6，AE=∴四边形ABCD为正方形，又∵E为AD中点，F为AB中点，∴∠ABE＝∠BCP，又∵∠ABE+∠AEB＝90°且∠ABE+∠CBP＝90°，∴∠AEB＝∠CBP，∴∠BCP+∠CBP＝90°，故∠CPB＝90°∴CF⊥BE，∴∠FPB＝∠A＝90°，∠FBP＝∠EBA∴△AEB∽△PFB，∴AEPF故PF=∴CP=解法二：∵矩形ABCD是正方形，AD＝AB，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵点E、F分别为AD、AB的中点，∴AE=AB=∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，又∵∠ABE+∠PBC＝90°，∴∠BCF+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∵AB＝6，BF＝3，∴FC=3∴CP=（2）如图2，过点M作MH⊥AE，∵∠MHI＝∠BAI＝90°，∠MIH＝∠AIB，∴△MIH∽△BIA，∴MIBI=HI设HI＝x（x＞0）则MH＝3x，在Rt△MHE中，由勾股定理得：HE2+MH2＝ME2，即（2﹣x）2+（3x）2＝42，解得：x1=1+∴MIBI（3）如图3，过P作PQ⊥BT，作NG⊥NC，∵S△∴BT•PQ＝12，①∵∠TBP＝∠TPN＝∠PCN，∴∠BPT+∠NPC＝180°﹣∠TPN，又∵∠CNP+∠NPC＝180°﹣∠PCN，∴∠BPT＝∠CNP，∴△BPT∽△CNP，∴BPCN∴BP•PC＝BT•CN＝12，②由①、②得：PQ＝CN，∵∠TBP＝∠PCN，∴90°﹣∠TBP＝90°﹣∠PCN，即∠QPB＝∠NCG，在△BQP和△GNC中，∠BQP∴△BQP≌△GNC（ASA），∴CG＝BP＝2，取点O为CG中点，连接NO，∴NO=12∴OD＝CD﹣OC＝6﹣1＝5，由题意可知，当N在以O为圆心、半径1的圆上，且在AO上时，AN最小，∴(AN15．（1）解：二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点，当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝3；当x＝0时，得：y＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形