2025年黑龙江数学（理科）高起专真题试卷及答案

2025年黑龙江数学（理科）高起专练习题试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.90种

B.180种

C.270种

D.360种

答案：B

解析：甲站在正中间，有1种站法。乙和丙两位同学必须站在一起，可以看成一个整体，有6个位置可以放置这个整体，整体内部有两种排列方式。剩下的4名同学有4!种排列方式。所以总共有1×6×2×4!=180种不同的站法。

2.若等差数列{an}的前n项和为S_n，且S_5=15，S_10=30，则S_15的值为（）

A.45

B.60

C.75

D.90

答案：C

解析：等差数列的前n项和S_n可以表示为S_n=n/2(a_1+a_n)。由于S_5=15，S_10=30，可以列出两个方程：5/2(a_1+a_5)=15，10/2(a_1+a_10)=30。解这两个方程，可以得出a_1=3，d=1。所以S_15=15/2(a_1+a_15)=15/2(3+15)=75。

3.已知函数f(x)=x^33x^2+x，求f(x)的单调递增区间。

A.(∞,1)

B.(1,3)

C.(3,+∞)

D.(∞,3)

答案：D

解析：求导f'(x)=3x^26x+1。令f'(x)>0，解得x∈(∞,3)。所以f(x)的单调递增区间为(∞,3)。

4.若x^25x+6=0的两根为x_1和x_2，则x_1+x_2的值为（）

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：A

解析：根据韦达定理，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其两根x_1和x_2满足x_1+x_2=b/a。所以x_1+x_2=5/1=5。

5.若函数y=2x^33x^2+4x+1的图像与x轴交于A、B、C三点，且A、B、C的横坐标依次增大，则点A的横坐标为（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：A

解析：令y=0，解方程2x^33x^2+4x+1=0。通过因式分解或使用求根公式，可以得到x=1为方程的一个根，因此点A的横坐标为1。

6.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(2,3)，则b的值为（）

A.4

B.4

C.8

D.8

答案：A

解析：抛物线的顶点坐标为(2,3)，所以顶点式为f(x)=a(x+2)^2+3。由于图像开口向上，a>0。展开得f(x)=ax^2+4ax+4a+3。与原函数f(x)=x^2+bx+c比较，得b=4a。由于顶点坐标为(2,3)，代入原函数得4a8a+4a+3=0，解得a=1，所以b=4。

7.在三角形ABC中，a=8，b=10，cosA=3/5，则三角形ABC的面积为（）

A.12

B.24

C.36

D.48

答案：B

解析：利用余弦定理，求出c的值：c^2=a^2+b^22abcosA=64+10028103/5=144。所以c=12。三角形的面积S=1/2absinA=1/28104/5=24。

8.已知数列{an}的前n项和为S_n，且满足S_n=n^2+n，求该数列的通项公式。

A.a_n=2n

B.a_n=2n+1

C.a_n=2n1

D.a_n=2n+2

答案：C

解析：当n=1时，a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_nS_{n1}=(n^2+n)[(n1)^2+(n1)]=2n1。所以数列的通项公式为a_n=2n1。

二、填空题（每题5分，共20分）

9.若函数f(x)=2x^33x^2+4x+1在x=1处的切线斜率为______。

答案：5

解析：求导f'(x)=6x^26x+4。将x=1代入f'(x)，得f'(1)=66+4=4。所以切线斜率为4。

10.若x^33x^2+2x+1=0的两根为实数根，且另一根为复数根，则复数根为______。

答案：1+i

解析：根据韦达定理，三根之和为3，由于有两根为实数，设为x_1和x_2，另一根为复数根x_3。由于x_1+x_2+x_3=3，且x_3为复数，所以x_3=3(x_1+x_2)。又因为x_1+x_2=2，所以x_3=1。由于x_3为复数根，所以x_3=1+i。

11.在三角形ABC中，a=5，b=7，C=60°，则三角形ABC的面积为______。

答案：17.5

解析：三角形的面积S=1/2absinC=1/257sin60°=17.5。

12.若数列{an}是等差数列，a_1=1，a_5=9，则该数列的公差d=______。

答案：2

解析：由等差数列的性质，a_5=a_1+4d。将a_1=1和a_5=9代入，得9=1+4d，解得d=2。

三、解答题（每题20分，共40分）

13.已知函数f(x)=x^33x^2+x+1，求f(x)的单调递增区间。

解：求导f'(x)=3x^26x+1。令f'(x)>0，解得x∈(∞,1)。所以f(x)的单调递增区间为(∞,1)。

14.已知数列{an}的前n项和为S