2026年高考数学二轮复习专题20 排列组合与二项式定理（题型）（天津）（原卷版）

专题20排列组合与二项式定理目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01特殊元素（位置）的应用及解题技巧题型02定序倍缩法的应用及解题技巧题型03平均分组分配及部分平均分组分配的应用题型04三项展开式的应用及解题技巧题型05二项式乘积的应用及解题技巧第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01特殊元素（位置）的应用及解题技巧【例1-1】（2026·天津·联考）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（

）种.A．120 B．60 C．24 D．36【例1-2】（2025·天津·联考）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（

）A．8种 B．10种 C．12种 D．14种首先，要明确题目中的特殊元素或位置，如某个特定数字、颜色、形状等，或者是某个特定的位置，如首位、末位等。这些特殊元素或位置往往对排列组合的结果产生决定性影响。其次，根据特殊元素或位置的性质，灵活运用排列组合的基本原理进行求解。例如，如果特殊元素不能相邻，则可以采用插空法；如果特殊元素必须相邻，则可以将它们看作一个整体进行排列，然后再考虑整体与其他元素的排列。此外，还需要注意题目中的其他条件，如元素的总数、不同元素的数量等，这些条件也会对排列组合的结果产生影响。在解题过程中，要综合考虑所有条件，灵活运用各种技巧进行求解。通过大量练习和积累，可以逐渐掌握特殊元素（位置）的应用技巧，提高解题能力和效率。【变式1-1】（2025·天津西青·联考）据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为种.(用数字作答)【变式1-2】（2025·天津滨海新·联考）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（

）A．8种 B．12种 C．20种 D．24种【变式1-3】（2025·天津和平·联考）有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（

）A．100 B．120 C．200 D．210题型02定序倍缩法的应用及解题技巧【例2-1】（2026·天津东丽·开学考试）某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则.【例2-2】（2025·天津·月考）有位老师和名学生排成一队照相，老师要求相邻且不排在两端，则不同的排法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Aeq\o\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法种eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).【变式2-1】（2025·天津·联考）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的个数是（

）①如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种②最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种③甲乙不相邻的排法种数为种④甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种A．个 B．个 C．个 D．个【变式2-2】（2025·天津滨海新·联考）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？(3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？(4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？【变式2-3】（2025·天津滨海新·联考）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有种.题型03平均分组分配及部分平均分组分配的应用【例3-1】（2026·天津滨海新·月考）下列说法正确的有（

）①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6；②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等；③若随机变量，满足，则，；④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例3-2】（2026·天津东丽·开学考试）甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（

）种分配方案A．90 B．120 C．150 D．240平均分组、部分平均分组1．对不同元素的分配问题(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．【变式3-1】（2025·天津东丽·联考）第三届无人机大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，每个工作至少有一人参加，若小张､小赵只能从事安保工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.【变式3-2】（2025·天津和平·联考）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择（1）若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有种.（2）若定义事件A为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则.【变式3-3】（2025·天津·联考）2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为．题型04三项展开式的应用及解题技巧【例4-1】（2025·天津静海·三模）的展开式中，的系数是.【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）（2025·天津·月考）已知的展开式中的常数项为，则.三项展开式的解题技巧是不要用二项式定理去解两次，而应该从数学意义的角度看做多少个式子相乘，直接当做排列组合求解，可秒解。【变式4-1】（2025·天津河西·联考）在的二项式展开式中的系数为90，则.【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）在的展开式中的系数是.【变式4-3】（2025·天津·一模）在的展开式中，含项的系数为.题型05二项式乘积的应用及解题技巧【例5-1】（2025·天津西青·联考）的展开式中的系数是（

）A．0 B．2 C．4 D．10【例5-2】（2025·天津·模拟预测）的展开式中的系数为（用数字作答）.二项式乘积的解题技巧是先相乘，再结合二项式定理的通项公式求解即可。【变式5-1】（2025·天津河西·模拟预测）的展开式中的系数为.【变式5-2】的展开式中的常数项是（

）A．12 B．8 C． D．【变式5-3】（2025·天津南开·联考）已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为．(1)求和的值及展开式中项的系数；(2)求的展开式中的常数项．1．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为．（用数字作答）2．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为．3．（2025·天津红桥·模拟预测）在的二项展开式中，x的系数为．4．（2025·天津和平·三模）若二项式的展开式中，的系数为，则．5．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（

）A．已知随机变量，若，则B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点6．（2025·天津河东·二模）在的二项展开式中，含的项的系数是.（用数字作答）7．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为.（用数字作答）8．（2025·天津·一模）二项式的展开式中，项的系数是．（用数字填写答案）9．（2025·天津和平·一模）在的展开式中，的系数为.（用数字作答）10．（2025·天津·一模）某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为．11．（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种12．（2024·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为.13．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设．（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）求．14．（2