2026年高考数学复习讲练测专题03 函数的性质与抽象函数（原卷版）

专题03函数的性质与抽象函数内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：函数的性质及抽象函数是近3年的高考命题热点，以选择题填空题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是函数的单调性和奇偶性，以及它们与抽象函数相结合．预测2026年：函数内容可能还会以考察函数的单调性奇偶性相互结合为主，同时还需重点关注函数与方程零点的关系．热点题型：题型01函数解析式及值域问题题型02函数的单调性和奇偶性综合应用题型03抽象函数的应用题型04奇函数加常数模型题型05具体函数抽象化解不等式题型06函数的单调唯一性的应用题型01函数解析式及值域问题解｜题｜策｜略求函数解析式常见方法：换元法，待定系数法，解方程组法求函数值域常见方法：换元法，图像法，利用单调性，反解法等【精选例题】【例1】已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．【例2】若函数（且）值域是，则实数取值范围为（）A． B． C． D．【例3】定义，若函数，且在区间上的值域为，记，则的最大值为（）A．1.9 B．2.38 C．1.62 D．0.9【例4】（多选题）已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（

）．A．B．，C．的值域为D．的解集为【例5】已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A．[2，4] B． C． D．【例6】设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【例7】定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数在的最小值为，则（

）A． B． C． D．【例8】若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【例9】已知函数满足，则的解析式是（

）A． B．C． D．【例10】（多选题）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（

）A．B．对任意整数，有C．设函数，则的值域为D．的解集为【变式训练】1．若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．定义在R上的函数满足，但不恒等于x，则下列说法正确的是（

）A．可以是R上单调递增的一次函数 B．可以是偶函数C．可以是奇函数 D．可以是周期函数3．已知函数满足，且，则（

）A． B． C． D．4．（多选题）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．的值域为C．的值域为 D．的值域为5．函数的值域为.6．定义：表示中的较大者.若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是．7．已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是．题型02函数的单调性和奇偶性综合运用解｜题｜策｜略①常见函数的奇偶性：（偶函数），（奇函数），（奇函数），（奇函数），（奇函数）【精选例题】【例1】已知函数，则下列判断中正确的是（

）A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数【例2】已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例3】已知函数，若实数，满足，则的最大值是（

）A． B．1 C． D．2【例4】已知定义域为的函数满足对任意，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例5】已知函数，则（

）A．函数是偶函数 B．函数的值域为C．存在实数，使得 D．函数的图像关于直线对称【例6】（多选题）已知函数，则（

）A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是C．函数的值域是 D．不等式的解集是【例7】（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．B．当时，C．，都有D．若在上有最大值，则b的取值范围是【例8】已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为.【例9】已知函数是定义在上的奇函数，若对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是.【例10】已知函数，对于恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例11】已知函数，且为偶函数，则实数的值为（

）A．1 B． C．5 D．1或【变式训练】1．已知函数是奇函数，则（

）A． B． C． D．12．已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，.若关于的方程在上有解，则实数的最大值为（

）A．23 B．7 C． D．3．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．4．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数都有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．6．已知定义在上的函数满足，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．7．（多选题）已知定义在R上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①，都有；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（

）A． B．若，C．若，则 D．，，使得8．（多选题）已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（

）A． B．C． D．9．（多选题）已知函数，则以下结论正确的是（

）A．的值域是B．对任意，且，都有C．对任意，都有D．若规定，其中，则10．已知函数的定义域为，对定义域内任意实数，都有，当时，，且，则不等式的解集为．11．若定义在上的函数满足则的单调递增区间为.12．（多选题）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（

）A．存在实数，使得B．存在实数，当时，有成立C．任意实数，当时，都有成立D．若，则实数的取值范围为13．（多选题）下列有关函数的论述中，正确的有（

）A．函数在上单调递减且是偶函数，则B．偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集为C．函数，则不等式的解集为D．函数对，，且，都有，则不等式的解集为题型03抽象函数的应用解｜题｜策｜略①抽象函数常用解题策略为赋值法，通过赋值法可以求出函数值，判断函数周期性，奇偶性②抽象函数单调性通常可通过定义法，特殊函数进行判断【精选例题】【例1】已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（

）A． B．是奇函数C． D．【例2】已知函数的定义域为，当时，任意不为的实数满足，不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例3】已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（

）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【例4】（多选题）已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（

）A．B．C．为奇函数D．为偶函数【例5】（多选题）已知定义在上的函数满足：，且当时，，若，则（）A． B．在上单调递减C．不等式的解集是 D．【例6】（多选题）设是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的都有，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．【例7】（多选题）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（

）A．B．C．D．为奇函数【例8】（多选题）已知定义在的函数满足且当时，.则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．当时，C．在单调递减 D．当时，【例9】（多选题）已知函数满足：①的定义域为；②对，都有；③时，．则以下说法正确的是（

）A． B．若，则C．在上单调递减 D．若，且，则【例10】（多选题）已知函数的定义域为，满足，且，则下列结论正确的为（

）A． B．是偶函数C．，使得 D．若，则【变式训练】1．（多选题）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（

）A．B．C．D．在上单调递减2．（多选题）设定义在上的函数满足：①；②当时，；③，则正确的有（

）A．B．为增函数C．D．关于的不等式，的解集为3．（多选题）已知是定义在上的函数；对于任意实数满足，当时，，则（

）A．B．C．方程有3个实数根D．若，则或4．（多选题）已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（

）A．B．函数在上单调递减C．函数是奇函数D．若对任意，成立，则实数的取值范围是5．（多选题）已知定义在上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，.则（

）A． B．在上单调递减C．不等式的解集为 D．的值域为6．已知，都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的图象关于点对称C． D．若，则7．（多选题）已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（

）A． B．是奇函数C．的图象关于点中心对称 D．8．（多选题）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（

）A．B．C．在区间上的最大值是6D．不等式的解集为题型04奇函数加常数模型解｜题｜策｜略①若奇函数+常数模型，则常数②若奇函数+常数模型，则【精选例题】【例1】已知函数，若，则（

）A． B． C．3 D．5【例2】已知函数（），，则A． B． C． D．【例3】已知函数，若，则（

）A． B．2 C．5 D．7【例4】已知函数，则（

）A． B． C．4 D．2【例5】已知函数，满足为正实数，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【例6】已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【例7】函数在上的最大值与最小值之和为（

）A．6 B．3 C．8 D．4【例8】若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（

）A．－506 B．506 C．2022 D．2024【变式训练】1．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．2．已知函数，若、，，则（

）A． B． C． D．3．已知函数，若，，，则（

）A．

B．2

C．

D．44．已知函数，若，则（）A．4 B．5 C．7 D．5．已知，设，最大值为，最小值为，那么（

）A． B． C． D．6．已知定义在上的函数满足，设，若的最大值和最小值分别为和，则A．1 B．2 C．3 D．47．已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（

）A．－10 B．10 C．5 D．－58．已知函数，其中a，b，c为常数，若，则c＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．2题型05具体函数抽象化解不等式解｜题｜策｜略看到复杂函数解抽象不等式问题，我们要去研究函数的奇偶性和单调性问题，再解不等式【精选例题】【例1】已知函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【例3】已知函数，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【例4】已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．已知函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知函数.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知函数，则不等式的解集为（

）．A． B．C． D．5．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（

）A． B．C． D．题型06函数的单调唯一性及应用解｜题｜策｜略遇到已知函数为单调函数，则定义域内每一个有唯一的值与它对应，当函数值为定值时，可以设对应的自变量为定值【精选例题】【例1】已知函数是连续的偶函数，且当时，是严格的单调函数，，则满足的所有之积为（

）A． B． C． D．【例2】若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（

）A．12 B．14 C．16 D．18【例3】定义在上的函数满足：①；②函数对任意的都有．则（

）A．0 B． C． D．【例4】已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式训练】1．已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于A．3 B．9 C．10 D．112．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．03．定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（

）A． B． C． D．4．已知单调函数满足，则函数零点所在区间为（

）A． B．C． D．5．若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．（建议用时：60分钟）一、单选题1．已知．若，则（

）A．k B．－k C．1－k D．2－k2．(25-26高三上·山东青岛城阳区·期中)已知函数满足，其中表示，中最大的数，表示，中最小的数.则（

）A．14 B．15 C．16 D．173．(25-26高三上·辽宁大连滨城联盟·期中)已知为函数的导函数，则的值为（

）A．2 B． C．0 D．20254．已知叫作双曲余弦函数，叫作双曲正弦函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．(25-26高三上·上海北中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则（

）.A． B．C．函数是奇函数 D．6．(25-26高三上·江苏南通通州区·期中)已知是定义在上的奇函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．(25-26高三上·陕西西安高新第一中学·)已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（

）A． B．为奇函数 C． D．8．(25-26高三上·河北秦皇岛、承德部分学校·期中)已知是的三条边且．设函数，则下列结论中错误的是（

）A．存在正数，使得，，不能作为一个三角形的三条边长B．存在，，，能作为一个直角三角形的三条边长C．当是钝角三角形时，函数有零点D．存在，使得9．已知函数