2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，并了解基本事实和定理．1．基本事实与推论(1)基本事实1：过eq\x(\s\up1(01))不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．即eq\x(\s\up1(02))不共线的三点确定一个平面．(2)基本事实2：如果一条直线上的eq\x(\s\up1(03))两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过eq\x(\s\up1(04))该点的公共直线．(4)三个推论推论1：经过一条直线和eq\x(\s\up1(05))这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线的定义把不同在eq\x(\s\up1(06))任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)位置关系的分类eq\a\vs4\al(空间,直线)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相交直线,\x(\s\up1(07))平行直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有,公共点))(3)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线eq\x(\s\up1(08))平行．(4)定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角eq\x(\s\up1(09))相等或互补．(5)异面直线所成的角①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；②范围：eq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．3．空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个1．异面直线判定的一个方法与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．2．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案：C解析：由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据基本事实4，知a∥b，与a，b为异面直线矛盾，D错误．故选C.2．(人教A必修第二册8.4.1练习T2改编)下列说法中正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形确定一个平面C．梯形确定一个平面D．空间任意两条直线确定一个平面答案：C解析：不共线的三点确定一个平面，故A错误；四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定能确定一个平面，故B错误；因为梯形有一组对边平行，所以梯形确定一个平面，故C正确；两条异面直线不能确定一个平面，故D错误．故选C.3．(人教A必修第二册8.6.1练习T4改编)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq\r(2)，则异面直线BD与AC所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案：C解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．由条件知，BD＝DE＝EB＝eq\r(2)，则∠BDE＝60°.故选C.4.(多选)如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，A，B，C三点确定的平面记为γ，则平面γ与β的交线必过()A．点A B．点BC．点C D．点D答案：CD解析：因为AB∩l＝D，所以D∈AB.又A，B，C三点确定平面γ，所以C∈γ，D∈γ.又C，D∈β，故C，D在γ和β的交线上．故选CD.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中为假命题的是________(写出所有假命题的序号)．答案：②③④解析：由基本事实4知①为真命题；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②为假命题；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故③为假命题；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b不同在任何一个平面内，故④为假命题．考向一基本事实与推论的应用已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)B，D，E，F四点共面；(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明：(1)如图所示，连接B1D1.由题意知，EF是△B1C1D1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即B，D，E，F四点共面．(2)设平面ACC1A1为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，且R∈β.又A1C⊂α，所以R∈α，所以R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD，且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．1．证明点或线共面问题的两种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的两种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．提醒：点共线、线共点等都是应用基本事实3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线．证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，∴P∈EG，∵EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．考向二空间两条直线的位置关系(1)(2025·山东菏泽模拟)在三棱锥D－ABC中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且EF∥GH，则下列说法中正确的是()A．直线EH与FG一定平行B．直线EH与FG一定相交C．直线EH与FG可能异面D．直线EH与FG一定共面答案：D解析：如图1，由于EF∥GH，所以E，F，G，H四点确定一个平面EFGH，因此直线EH与FG一定共面，故D正确，C错误；如图2，当EF∥GH，EF＝GH时，四边形EFGH为平行四边形，此时EH∥FG，故B错误；如图3，当EF∥GH且EF≠GH时，四边形EFGH为梯形，此时EH与FG交于一点，故A错误．故选D.(2)在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，F是AB的中点，则()A．AE＝CF，AC与EF是共面直线B．AE≠CF，AC与EF是共面直线C．AE＝CF，AC与EF是异面直线D．AE≠CF，AC与EF是异面直线答案：D解析：由题意，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，F是AB的中点，AC⊂平面ABC，所以EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线．又CF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，AE＝eq\r(22＋（\r(2)）2)＝eq\r(6)，所以AE≠CF.故选D.空间两条直线位置关系的判定方法1.已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行 B．相交C．垂直 D．异面答案：C解析：直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；当l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；当l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错误；无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直，∴C正确．故选C.2.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：C解析：还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.考向三异面直线所成的角(1)如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF与AC所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案：B解析：如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别为DC，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝eq\f(1,2)AC，EG＝eq\f(1,2)BD，∴∠EFG(或其补角)为EF与AC所成的角．∵AC＝BD，∴FG＝EG.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.故选B.(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)答案：C解析：解法一(补形法)：如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DE1＝eq\r(DE2＋EEeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋（\r(3)）2)＝eq\r(5)，B1E1＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋A1Eeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋（\r(5)）2－（\r(5)）2,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).故选C.解法二(平移法)：如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以OM＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).故选C.求异面直线所成角的方法平移法将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条直线相交，一般采用图中已有的平行线或作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解坐标法如果几何图形便于建系，可以将问题坐标化，借助向量求解注意：平移法求异面直线所成的角时，选点要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角．1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)答案：D解析：如图，连接A1C1，BC1，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1(或其补角)为直线PB与AD1所成的角．设正方体的棱长为2，则PB＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，则PB2＋PCeq\o\al(2,1)＝BCeq\o\al(2,1)，所以PB⊥PC1，△PBC1为直角三角形．在Rt△PBC1中，因为sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，所以直线PB与AD1所成的角为eq\f(π,6).故选D.2.如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，在下底面内过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案：B解析：在直角梯形OO1A1A中，∵B为OA的中点，OA＝2，∴O1A1＝OB＝AB＝1，连接A1B，易知四边形OO1A1B为矩形，∴OO1∥A1B，∴∠BA1C(或其补角)为异面直线OO1与A1C所成的角．在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，∴A1B＝eq\r(3).连接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2，得BC＝eq\r(3).在Rt△A1BC中，BC＝A1B，∴∠BA1C＝45°，即异面直线OO1与A1C所成角的大小为45°.课时作业一、单项选择题1．(2025·浙江宁波模拟)若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：空间中的两条直线a，b异面，则a，b没有公共点；反之，空间中的两条直线a，b没有公共点，则不一定得到a，b异面，也可能a，b是平行直线，所以“a，b异面”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件．故选A.2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．l⊂α B．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N答案：A解析：∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，同理，N∈α.又M∈l，N∈l，则l⊂α.故选A.3．已知三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是()A．b，c是异面直线 B．b∩c＝PC．b∥c D．a与c没有公共点答案：B解析：∵α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∩b＝P，∴P∈a，P∈b，且a⊂α，b⊂γ，∴P∈α，P∈γ，又γ∩α＝c，∴P∈c，可得b∩c＝P.故选B.4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是()A．DD1 B．ACC．AD1 D．B1C答案：B解析：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选B.5.(2025·吉林模拟)如图，位于江城广场某大厦楼顶的四面钟与摇橹人雕像相映成趣，这是吉林市的重要地标之一．该时钟整体呈正方体造型，在相邻两个时钟正常运行的过程中，两时针所在直线所成角的最大值为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)答案：D解析：易知两异面直线所成角的范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，结合正方体的特征不难发现：当一侧时针指向3(或9)时，另一侧时针也指向3(或9)时时，两时针所在直线所成的角为直角，故在相邻两个时钟正常运行的过程中，两时针所在直线所成角的最大值为eq\f(π,2).故选D.6.(2024·陕西西安一模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝eq\f(\r(2),2)AA1＝1，则异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(\r(5),3)C．－eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),3)答案：B解析：将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为如图所示的正四棱柱，连接B1D，AD，则B1D∥A1C，则异面直线AB1与A1C所成的角为∠DB1A(或其补角)，又AB＝AC＝eq\f(\r(2),2)AA1＝1，所以AA1＝eq\r(2)，B1D＝B1A＝eq\r(12＋（\r(2)）2)＝eq\r(3)，AD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，由余弦定理，可得cos∠DB1A＝eq\f(（\r(3)）2＋（\r(3)）2－（\r(2)）2,2×\r(3)×\r(3))＝eq\f(2,3)，所以sin∠DB1A＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),3).故选B.7.一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为45°答案：B解析：将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB与CD是异面直线，且它们所成的角为60°.故选B.8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案：B解析：如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且N为BD的中点．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝eq\r(3)，∴EN＝eq\r(FN2＋EF2)＝2.∵M，G分别是ED，DF的中点，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，BG＝eq\r(CG2＋BC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋22)＝eq\f(5,2)，∴BM＝eq\r(MG2＋BG2)＝eq\r(7).∴BM≠EN.∵BM，EN都是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.二、多项选择题9．已知空间中的平面α，直线l，m，n以及点A，B，C，D，则下列说法错误的是()A．在空间中，若四边形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形B．若l⊄α，A∈l，则A∉αC．若A，B，C，D四点不共面，则其中任意三点不共线D．若l和m是异面直线，n和l是平行直线，则n和m是异面直线答案：ABD解析：对于A，正四面体A－BCD的各棱长均相等，四边形ABCD为空间四边形，不是菱形，故A错误；对于B，若l⊄α，则l∥α或l与α相交，所以A∉α或A∈α(此时A为l与α的交点)，故B错误；对于C，若已知四个点不共面，则其中任意三个点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故C正确；对于D，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1和BC异面(l，m是异面直线)，A1B1∥AB(l∥n)，但是AB∩BC＝B(m，n相交)，故D错误．故选ABD.10.(2024·湖南长沙二模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是()A．E，F，G，H四点共面B．EF∥GHC．EG，FH，AA1三线共点D．∠EGB1＝∠FHC1答案：ABC解析：对于A，B，如图，连接EF，GH，因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.因为B1E∥C1F，且B1E＝C1F，所以四边形B1EFC1是平行四边形，所以EF∥B1C1，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面，故A，B正确；对于C，如图，延长EG，FH相交于点P，因为P∈EG，EG⊂平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，因为P∈FH，FH⊂平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1，因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，所以P∈AA1，所以EG，FH，AA1三线共点，故C正确；对于D，因为B1E＝C1F，当GB1≠HC1时，tan∠EGB1≠tan∠FHC1，又0<∠EGB1<eq\f(π,2)，0<∠FHC1<eq\f(π,2)，则∠EGB1≠∠FHC1，故D错误．故选ABC.11.(2025·四川成都模拟)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，则下列结论正确的是()A．AB⊥SAB．AC与SB所成的角为90°C．AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案：ABC解析：对于A，SD⊥平面ABCD，则AB⊥SD，又底面ABCD为正方形，则AD⊥AB，则AB⊥平面SAD，故AB⊥SA，A正确；对于B，SD⊥平面ABCD，则AC⊥SD，又底面ABCD为正方形，连接BD，则BD⊥AC，则AC⊥平面SDB，故AC⊥SB，即AC与SB所成的角为90°，B正确；对于C，AD∥BC，则AD与SB所成的角等于∠SBC，而AB∥CD，则CD与SB所成的角等于∠SBA，在△SBC与△SBA中，SC＝SA，BC＝BA，SB为公共边，则△SBC≌△SBA，故∠SBC＝∠SBA，故AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角，C正确；对于D，AB∥CD，SD⊥平面ABCD，则AB与SC所成的角为∠SCD<90°，而DC与SA所成的角为∠SAB＝90°，则AB与SC所成的角小于DC与SA所成的角，故D错误．故选ABC.三、填空题12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案：3eq\r(2)解析：如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE.设正方体的棱长为3a，则ME＝2eq\r(2)a，MI＝eq\r(2)a，IH＝2eq\r(2)a，HG＝eq\r(2)a，FG＝2eq\r(2)a，EF＝eq\r(2)a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9eq\r(2)a，又因为正方体的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3eq\r(2).13．已知在三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，M，N分别是BC，AD的中点，则异面直线AB与MN所成的角为________．答案：60°或30°解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.因为PM∥AB，所以∠PMN(或其补角)是异面直线AB与MN所成的角．①当∠MPN＝60°时，因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即异面直线AB与MN所成的角为60°；②当∠MPN＝120°时，易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即异面直线AB与MN所成的角为30°.综上，异面直线AB与MN所成的角为60°或30°.14．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上所有正确结论的序号是________．答案：②③④解析：将正四面体的平面展开图复原为正四面体A－DEF，如图．对于①，G，H分别为DE，BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；对于②，假设BD与MN共面，则A，D，E，F四点共面，与A－DEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故②正确；对于③，依题意，得GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，点A在平面DEF内的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，所有正确结论的序号是②③④.四、解答题15.(2025·福建泉州模拟)如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BC上的点，eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2).(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AB＝CD＝3，EF＝eq\r(7)，求AB与CD所成角的大小．解：(1)证明：显然F，B，D三点不共线，故F，B，D三点构成平面FDB，而E∉平面FDB，F∈平面FDB，即EF∩平面FDB＝F，又BD⊂平面FDB，F∉BD，所以直线EF与BD是异面直线．(2)设H，I分别为AC，BD上靠近A，B的三等分点，则eq\f(BI,ID)＝eq\f(AE,ED)＝eq\f(AH,HC)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，所以